Четные и нечетные функции

Определение. Множество Х называют симметричным относительно начала координат, если для любого х Х элемент принадлежит данному же множеству.

Определение. Функцию , , называют четной, если область ее определения есть множество симметричное относительно начала координат, и для x Х справедливо:

Пример. у=х²; ; – четные функции.

О графике любой четной функции , с областью определения Х, говорят, что он симметричен относительно оси ординат, так как для x Х точки плоскости симметричны относительно оси Оу.

Определение. Функцию с областью определения Х называют нечетной, если область ее определения есть симметричное множество относительно начала координат, и если для .

Пример. ;

О графике любой нечетной функции с областью определения Х говорят, что он симметричен относительно начала координат, так как для любого точки плоскости симметричны относительно начала координат.

Определение. Функцию , называют функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), если для справедливо: и

Пример. Функции у=х–5; у=х³+1; у=х²–8х+20 не являются ни четными, ни нечетными, то есть это функции общего вида.

Пример. Исследуем следующие функции на четность:

а) б) ; в) г)

Решение. Для этого в данных функциях заменим х на .

а) то есть и функция четная функция.

б) , .

Так как и то функция не является ни четной, ни нечетной.

в) то есть следовательно, функция является нечетной.

г) ,

Имеем: и Следовательно, данная функция не является ни четной, ни не четной, это функция общего вида.

Теорема. Если функция , , является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Рис. 48

Доказательство. Пусть – точка графика рассматриваемой функции (Рис. 48).

Так как функция – четная по условию, то (–х) Х и . Следовательно, точка также принадлежит графику функции f(x). Но точки и симметричны относительно оси . Таким образом, график четной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную с ней относительно оси Оу. Теорема доказана.

Теорема. Если функция , , является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Рис. 49

Доказательство. Пусть – точка графика рассматриваемой функции (Рис. 49). Так как по условию функция – нечетная, то и . Значит, точка также принадлежит графику функции. Но точки и симметричны относительно точки . Следовательно, график нечетной функции вместе с каждой своей точкой содержит точку, симметричную ей относительно начала координат. Теорема доказана.

Теорема. Если область определения функции симметрична относительно начала координат, то данную функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Доказательство. Пусть область определения функции симметрична относительно начала координат, тогда значение Выберем функции и

Очевидно, что функция четная, а функция нечетная.

Тогда функции может быть представлена в виде суммы функций и Теорема доказана.