Способы задания функций
Соответствие между величинами х и у можно задать самыми разнообразными способами. Наиболее распространенными являются аналитический, табличный и графический.
Аналитическое задание функции состоит в указании совокупности операций, которые необходимо совершить над аргументом, чтобы получить значение функции.
Примеры.
;
;
;
;
Аналитические выражения двух последних функций одинаковы, тем не менее, данные функции различны, так как заданы на различных числовых множествах. Иногда функция задается на разных числовых множествах различными аналитическими выражениями.
Пример.
Данная функция определена на отрезке [–1; 1].
Для
вычисления значений функции необходимо
выяснить, каким аналитическим выражением
следует воспользоваться для заданного
конкретного значения аргумента. Например,
если необходимо вычислить y(0,5),
учитывая, что
воспользуемся равенством у=х+2,
получим
Если необходимо вычислить у(–0,5),
то учитывая, что
воспользуемся равенством у=2х+3;
получим
При табличном задании функции приводится таблица, в которой приведены значения функции для конечного множества значений аргумента. Данный способ позволяет найти значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента без всяких вычислений. Существуют методы, позволяющие по таблице составить аналитическое выражение функции (с определенной степенью точности). Примерами табличного задания функции являются таблицы квадратов, кубов, квадратных корней, таблицы логарифмов и т.д. Таблируются обычно функции, имеющие сложное аналитическое выражение, но часто встречающиеся на практике.
Еще один способ задания функции − графический. Рассмотрим множество F точек координатной плоскости, обладающее следующим свойством: любая прямая параллельная оси ординат, пересекает это множество не более чем в одной точке.
Рис.
39
Возьмем
произвольное число х
из
отрезка [а,b]
проведем
через точку х
прямую,
параллельную оси ординат. Данная прямая
пересекает множество F
в точке М.
Спроецировав точку М
на ось ординат, найдем число f(х),
соответствующее
числу х
(Рис.
39).
Тем
самым на отрезке [a,
b]
задана функция
График функции
Введем
на плоскости прямоугольную систему
координат хОу
и рассмотрим функцию
Определение.
Графиком
функции
называют множество точек координатной
плоскости,
абсциссами
которых являются значения аргумента
х,
ординатами,
соответствующие значения функции
Это значит, что:
− всякая
точка с координатами
,
где
,
принадлежит данному множеству;
− всякая
точка, принадлежащая данному множеству
точек, имеет координаты
такие, что
,
.
Иначе
говоря, график функции
,
– это множество всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют
условию
,
и не содержащие никаких иных точек.
График функции дает возможность наглядно
представить поведение функции на
различных участках области ее определения.
Графики широко используется в научных исследованиях, технике, производстве. В практической жизни применяются приборы, которые автоматически записывают ход изменения некоторых величин с течением времени (термографы, барографы и др.). Они дают графическое задание этих величин как функций времени.