Числовые множества. Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называют числовыми. Примерами числовых множеств являются:

− множество натуральных чисел;

 множество целых неотрицательных чисел;

 множество целых чисел;

 множество рациональных чисел.

R  множество действительных чисел.

Между данными множествами существует соотношение

Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, ,  рациональные числа.

Бесконечной десятичной дробью называют запись числа в виде десятичной дроби, у которой ни один знак не является последним.

Пример. 0,1234567891011...

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью.

Определение. Иррациональным числом называют число, выражаемое бесконечной десятичной непериодической дробью.

Пример. ; ; ;  .

Число, выражаемое конечной или положительной бесконечной десятичной дробью, называют положительным действительным числом.

Множеством действительных чисел называют объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел . Обозначают множество действительных чисел символом . Таким образом,

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

Отметим основные свойства действительных чисел.

Свойство упорядоченности действительных чисел. Множество действительных чисел упорядоченное, то есть для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух соотношений a<b либо b<а.

Свойство транзитивности действительных чисел относительно отношений «равно» и «меньше». Если и , то . Если и , то .

Свойство плотности действительных чисел. Множество плотное: между любыми двумя различными числами а и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, то есть чисел, удовлетворяющих неравенству а<х<b.

Так, если а<b, то одним из них является число .

Свойство Архимеда. Для любых чисел и существует натуральное такое, что . При получим , то есть для любого числа существует натуральное число больше его.

Свойство непрерывности действительных чисел. Множество R непрерывное.

Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел выполнено неравенство Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству , для . Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Свойства операции сложения. Для каждой пары действительных чисел и сопоставляется действительное число, называемое их суммой и обозначаемое или . Сумма обладает следующими свойствами:

− коммутативность операции сложения действительных чисел:

;

− ассоциативность операции сложения действительных чисел:

; 

− существует число ноль такое, что для справедливо:

;

− для любого действительного числа существует противоположное ( ) такое, что . Данное свойство дает возможность определить операцию вычитания (разность) действительных чисел и : .

Свойства операции умножения. Для каждой упорядоченной пары действительных чисел и существует действительное число, называемое произведением этих чисел и обозначаемое или .

− коммутативность операции сложения действительных чисел:

;

− ассоциативность операции сложения действительных чисел:

; 

− для справедливо: ;

− для любого действительного числа существует обратное такое, что . Данное свойство дает возможность ввести операцию деления: ( );

− если и , то если и , то .

− дистрибутивность операции умножения действительных чисел относительно сложения: .