Модель Лотки-Вольтерра для конкуренції:

Представлена парою диференціальних рівнянь:

dN1/dt = r1N1(K1 – N1 – б12N2)/K1;

dN2/dt = r2N2(K2 – N2 – б21N1)/K2.

Слід звернути увагу, що кожне з цих рівнянь відрізняється від рівняння логістичного росту лише тим, що в чисельнику є додатковий елемент – чисельність популяції виду-конкурента, помножена на коефіцієнт конкуренції (б), причому б12 означає, що це конкуруючий ефект однієї особини популяції другого виду на популяцію першого і навпаки.

Кількісне значення коефіцієнта конкуренції показує, в скільки разів одна особина конкуруючого виду сильніше чи слабше за одну особину свого виду гальмує ріст чисельності. Так, якщо б12 = 1, то це означає, що вплив однієї особини популяції 2 на популяцію 1-го виду такий самісінький, як і особини свого виду на зростання щільності. Якщо б › 1, то вплив сильніший, і якщо б ‹1, то слабший, ніж вплив особин свого виду. А перемноживши коефіціент конкуренції на сумарну кількість особин, ми одержимо загальний вплив популяції виду-конкурента на ріст популяції.

4. Картографічний метод дослідження.

Картографічний метод дослідження - це метод, використання карт для пізнання зображених на ньому явищ. Пізнання має на увазі під собою вивчення по картах структури, взаємозв'язків, динаміки та еволюції явищ в часі і просторі, прогноз їх розвитку, отримання всіляких якісних і кількісних характеристик. 

Програми картографічного методу дослідження в науці і практиці досить різноманітні. Як було показано вище, він є одним з основних методів у всіх науках про земне і планетах, і в суміжних з ними соціально-економічних науках[9].

1. Система прийомів аналізу карт.

Широке використання картографічного методу дослідження в різних галузях знання призвело до виникнення безлічі прийомів аналізу карт, у розробці яких брали активну участь картографи, географи, геологи, геофізики, математики, економісти. Здавна широко використовувалися картометрія і морфометрія, пізніше активний розвиток отримали прийоми математичного аналізу, математичної статистики, теорії ймовірності та ін.

У наші дні всі методи математики так чи інакше відчувають для аналізу картографічного зображення. Таке розмаїття прийомів часом навіть утрудняє їх вибір для кожного конкретного дослідження. Найбільш вживані прийоми, отримали досить широке застосування, групуються таким чином:

• Опис:

• Загальні;

• Поліелементарні;

• Графічні прийоми:

• Двовимірні графіки;

• Тривимірні графіки;

• Графоаналітичні прийоми:

• Картометрія;

• Морфометрія;

• Математико-картографічне моделювання:

• Математичний аналіз;

• Математична статистика;

• Теорія інформації.

Кожна із зазначених у цьому переліку груп включає безліч окремих способів та їх модифікацій. Всі разом вони утворюють цілісну систему, що дозволяє досліджувати об'єкти з різних сторін. У межах кожної групи виділяють прийоми суцільного, вибіркового та ключового аналізів.

Всі прийоми аналізу карт значно варіюються залежно від технічного оснащення. Існують різні рівні механізації та автоматизації дослідження по картках:

• Візуальний аналіз, тобто читання карт, зорова оцінка вивчаються;

• Інструментальний аналіз - застосування вимірювальних приладів і механізмів;

• Комп'ютерний аналіз, що виконується в повністю автоматичному або в інтерактивному режимі з використанням спеціальних алгоритмів, програм або геоінформаційних систем.

Всі прийоми на різних рівнях механізації і автоматизації можуть бути використані для роботи з окремою картою або з серіями карт і атласами[6].

Опис по картах - це традиційний і загальновідомий прийом аналізу карт, його мета полягає в тому, щоб виявити наявність на карті досліджуваних явищ, особливості їх розміщення і взаємозв'язку. Опис - якісний спосіб аналізу картографічного зображення, але в нього можуть вводитися кількісні характеристики, прочитані по карті.

Техніка опису проста, але, тим не менш, підпорядкована деяким обов'язковим вимогам. Приступаючи до опису, необхідно перш за все оцінити якість самої карти, серії карт чи атласу, отримати уявлення про їх сучасності, детальності, принципи складання, характер спотворень, що викликаються картографічної проекцією. Слід вивчити легенду, приділяючи головну увагу принципам класифікації зображуваних явищ і самим способом зображення.

Описуючи будь-яке явище чи територію, дуже важливо дотримуватися порядку від загального до приватного, тобто надавати спершу характеристику основних, визначальних рис, потім детально проаналізувати окремі особливості й деталі. На закінчення чітко формулюється висновки. Будь-яке наукове опис має бути логічно, суворо впорядковано, побудоване за певним планом, причому добре, якщо цей план ясний читачеві.

Основні принципи, яким має задовольняти науковий опис, складене по картках:

- Логічність, упорядкованість і послідовність опису;

- Відбір і систематизація фактів;

- Введення в опис елементів порівняння, аналогії, зіставлення з використанням кількісних показників;

- Оцінка описуваних явищ або процесів з точки зору конкретних завдань дослідження;

- Чітке формулювання висновків і рекомендацій.

Описи по картах широко використовуються на попередній стадії дослідження для загального ознайомлення з досліджуваним об'єктом, планування дослідження, визначення раціональної методики, вибору вихідних картографічних матеріалів. Опис абсолютно необхідний і на заключному етапі, коли потрібно дати змістовну інтерпретацію отриманих результатів. При добре спланованому дослідженні математичні прийоми поєднуються з описами, не підміняючи та не витісняючи їх. Це забезпечує необхідну рівновагу між якісними і кількісними методами картографічного аналізу.

Графічні прийоми аналізу карт полягають у побудові по них різного роду профілів, розрізів, графіків, епюр, діаграм і блок-діаграм. Основне призначення цієї групи прийомів - дати наочне двох-або тривимірне зображення досліджуваних явищ.

Багато графічні побудови завдяки своїй простоті стали звичними доступними інструментами дослідження.

Комплексні профілі зручні для аналізу карт з різною тематикою. На них можуть, наприклад, поєднуватися гіпсометричний профіль, геологічний розріз, грунтово-рослинний покрив, графік гідро кліматичних показників. Аналогічним шляхом можна побудувати і комплексний соціально-економічний розріз. Подібні побудови потрібні для наочного подання зв'язків між явищами та районування території за комплексом показників.

Графіки, епюри. Графіки складаються найчастіше для виявлення залежності між явищами. При вивченні різночасових карт звертаються до складання графіків, що показують динаміку розвитку явищ і процесів. Особливим видом графіка є епюра, що поєднує на площині різні просторові перетворення.

Діаграми. Дані, зняті з карти, зручно аналізувати за допомогою різних діаграм. У картографії широко вживаються лінійні, площинні, об'ємні діаграми, які подібно графіками ілюструють залежність між явищами або динаміку їх розвитку. У дослідницьких цілях часто використовують троянди-діаграми, які чудово передають панівні і підлеглі напрямки явищ, локалізованих на лініях.

Блок-діаграми - це тривимірний малюнок, що поєднує перспективне зображення будь-якої поверхні, подовжній і поперечний профілі.

Графоаналітичні прийоми аналізу карт - картометрія і морфометрія - ці прийоми аналізу карт використовують для вимірювання та обчислення по картах різних кількісних показників об'єктів, форми і структури[6,7].

Ці прими найбільш докладно розроблені в картографічному методі дослідження. Методи картометрії дозволяють безпосередньо вимірювати наступні показники:

• географічні і прямокутні координати;

• довжини прямих і звивистих ліній, відстані;

• площі;

• обсяги;

• вертикальні і горизонтальні кути і кутові величини;

Крім того в рамках картометрії досліджується точність вимірювань по карті. На відміну від картометрії, морфометрія займається розрахунком показників форми і структури об'єктів. Число їх велика - до кількох сотень. Найбільш уживані наступні групи показників і коефіцієнтів:

• обриси (форма) об'єктів;

• кривизна ліній і поверхонь;

• горизонтальне розчленування поверхонь;

• вертикальне розчленовування поверхонь;

• ухили і градієнти поверхонь;

• щільність, концентрація об'єктів;

• густота, рівномірність мереж;

• складність, роздробленість, однорідність / неоднорідність контурів.

Прийоми математико-картографічного моделювання.

Спочатку картографічне зображення добре пристосоване для математичного аналізу. Кожній точці карти з координатами x і y відповідає лише одне значення картографуючого параметра z, а це дозволяє представити зображення даного явища як функцію z = F (x, y). В інших випадках картографічне зображення зручно представити як поле випадкових величин і скористатися для його аналізу ймовірнісно-статистичними методами.

У принципі майже всі розділи математики застосовні для обробки та аналізу картографічного зображення. Проблема лише в тому, що б точно підібрати математичну модель і - головне - дати надійне змістовне тлумачення результатами моделювання. Досить міцно в картографічний аналіз увійшли деякі розділи чисельного аналізу, багатовимірної статистики, теорії ймовірностей і теорії інформації[9].