Вопрос 3
Априористская философия математики.
XVIII – Кантовская философия математики.
Человеческое мышление состоит из двух уровней: содержание мышления и форма мышления. Есть некие потоки ощущений, которые разум синтезирует, упорядочивает и превращает в явления. Например, мы входим в комнату и сначала видим разные пятна, цвета. А уже потом разум дифференцирует все это, и мы видим саму комнату, различаем в ней предметы.
Человеческое познание опирается на априорные представления о пространстве и времени (априорные формы чувственности). Из пространства мы берем интуицию геометрии, а из времени - интуицию арифметики. Мы не можем абстрагироваться от идеи пространства и идеи времени.
Все первичные положения математики самоочевидны. Математика должна исходить из самоочевидных аксиом и она должна быть конструктивной. Объекты двух типов: данные в созерцании (вижу треугольник) и конструируемые из них (конструирую из треугольников 1000-угольник). Не можем созерцать 1000-угольник.
Противоречие: существует геометрия Лобачевского.
Вопрос 4
Формалистская философия математики.
Вторая половина XIX. Дело шло от математиков.
Основное положение: математика – это вообще не наука в обычном смысле этого слова. Есть ряд эмпирических наук: механика, физика, химия, биология. Они берут аспекты этого мира, сравнивают утверждения с опытом, это действительные науки.
Герман Грассман (1809-1877): математика – это второй этаж человеческого знания. Она ничего не говорит о мире. Математика - это способ выявления глубинного содержания истин, открытых другими науками. Это не наука, а метод. Математика не нуждается в истинности. Основная характеристика математики – непротиворечивость, она нужна для того, чтобы транслировать истинность.
Грассман делил науки на формальные и содержательные. Содержательные науки согласовывают бытие и мышление, их принцип - истинность. Формальные науки согласовывают истины, их принцип – непротиворечивость. К формальным наукам относится только математика. Для получения глубинной информации опыт нужно обрабатывать глубинной математикой.
Пуанкаре: "Существовать в математике значит быть непротиворечивым".
Вопрос 6
Логицистская программа обоснования математики.
Основоположник – немецкий математик Г. Фреге (1849 − 1925). Современная мат. логика, семантика идут от него. Идея логицизма принадлежит Лейбницу.
Идея: Считал, что Вейерштрасс свел матан к арифметике (на самом деле к теории R чисел + аксиома выбора). Как оправдать арифметику? Свести к логике.
Законы логики – краеугольные камни нашего мышления, они непротиворечивы
Поэтому сводим анализ к действительным числам, действительные числа к натуральным (вот тут-то и облом), а натуральные числа к логике. Логика -> онтология (категории, априорные структуры мышления). Логика по Фреге абсолютна, ее законы сдвинуть нельзя (в этом смысле все логицисты – последователи Лейбница, так как он первый это сказал).
Фреге пытался свести арифметику к логике. Как?
Все натуральные числа можно выразить через предикаты. Поэтому и вся арифметика также может быть выражена предикатами.
Исключить 0, 1, 2…
0 = !сущ x F(x)
Ф1 1 = сущ x (F(x)&F(y) -> x=y)
Ф2 2 = сущ x сущ y ((x!=y) F(x) &F(y) &F(z) -> (z=x) || (z=y))
Ф3 3 = …
1+2=3 Ф1 & Ф2 -> Ф3
Фреге настаивал на том, что существует что-то за категориями.
Бертран Рассел (английский математик, философ, 1872 - 1970) прочитал Фреге, ему понравилось. Рассел заметил, что, если не вводить ограничений на объекты, то получатся парадоксы (парадокс нормальных множеств, проблема возвратности) – первая проблема.
Он решил, что эту ошибку Фреге можно исправить и принялся разрабатывать идею типов. Идея типов состоит в том, чтобы разграничить предикаты по уровням. Математик должен мыслить с исходного предмета.
a, b, c первого типа, сами объекты.
f(a), g(b), h(c) второго типа, свойства объектов.
F(f), G(g), H(h) третьего типа, более высокие свойства. И т.д.
Предикат n-го уровня должен определяться только предикатами меньшего уровня.
Множество всех нормальных множеств тогда можно исключить. Но идея типов урезает математику, половина математики окажется некорректной. Идея типов выросла в теорию типов и математики забеспокоились, что она слишком уж ограничивает математику и стали искать ослабления. Что запретить, а что оставить? Задача: принять теорию типов в минимальном образе (устранить противоречия), определить понятия, которые можно привести к “хорошему” виду.
Уайтхед и Рассел написали Principia Mathematica (1910-1913), в котором пытались найти новый подход к логицистскому обоснованию математики, однако получили прямо противоположный результат.
Дело вот в чем: по Фреге утверждения типа 5+7=12 являются аналитическими (вспомним Канта), как и вообще все утверждения в математике, так как они получаются из натуральных чисел путем всяких переформулировок на языке предикатов. То есть если бы удалось свести математику к логике, она была бы просто тавтологией. В том числе и теория множеств. Однако есть конструктивные моменты (аксиома бесконечности, аксиома выбора), которые ну никак нельзя считать аналитическими. Это и есть вторая проблема этой программы.
Изложили математику в свете теории типов, опровергли сами себя: все аксиомы Цермело можно переложить на язык многопорядковой логики, кроме аксиомы бесконечности и аксиомы выбора. Логика + Аксиома бесконечности => Непротиворечивость аксиоматики Цермело.
Логика понимается слишком широко, можно вывести что угодно.
Аксиома бесконечности (это синтетическое рассуждение) взята из окружающего мира => окончательно точной математика быть не может, обосновать математику нельзя.
// Вероятно, аксиома бесконечности не имеет отношения к реальности.
Вывод: обосновать математику через формальную логику нельзя, так как математика обладает бОльшим содержанием, чем логика. Логика конечна, математика бесконечна. Нельзя свести бесконечное к конечному. Математика шире логики. Однако плюсы тоже есть – развитие логики + появилась крутая теория типов.