Вопрос 1
Пифагореизм как философия математики.
Математика и философия почти не отделялись. Математики и философы не отделялись вовсе.
Пифагор разделял мир на чувственный / эфемерный/преходящий (вокруг нас) и умозрительный / идеальный / вечный (космос), который способны видеть только достаточно сильные разумом. Чувственный мир мы познаем чувствами, идеальный – разумом. От чувств мы получаем мнение. Разделяет опытное и теоретическое. Опытное может быть ошибочным, но мы можем уловить суть.
Математика – наука о космосе. Космос - идеальный неподвижный мир. Поэтому математика - вечная наука. Все остальные науки – это только мнения. Математика – это истинное знание. Только математика представляет собой систему вечных истин.
Все есть число. Платон: число – это идея в голове Бога, он опирался на числа и геометрические фигуры. Бог создавал мир в соответствии с математикой. В своей основе мир математичен. Однако он был создан из материи, числа лишь формальная причина. Другая идея (не у Платона) - числа – первоматерия, предшествующая миру. Вообще в любом случае в основе мира лежит математика. Космология строится на основе правильных геометрических фигур.
Появились проблемы с соизмеримостью, поэтому все перешли от числовой (арифметической) к геометрической гармонии.
Платон: развитие пифагореизма.
Есть идеи, находятся в другом мире, а не в телах.
Есть тела.
Математика находится между идеями и вещами.
Пифагорейская школа существовала до 5 века новой эры. Однако их теория прошла через все средние века, даже есть частично у Лейбница: душа как монада связана с Богом => мат. идеи. Через Бога они входят в душу человека. Кант- пифагореец: везде четверки – категории, антиномии и т.д.
Вопрос 2
Эмпирическая философия математики.
Аристотель (эмпиризм), в отличие от Платона, считал, что идеи не могут существовать отдельно от вещей. В каждой вещи есть неустойчивые, меняющиеся элементы. Человек способен отбрасывать все преходящее в вещах и отличать самое устойчивое, неподвижное из них. Таким образом, человеческий разум способен к отвлечению. Физик отвлекается от всего, кроме движения, а математик отвлекается и от движения.
Поэтому математика – это предельная абстракция. Математические предметы создаются умом человека. Геометр и исследователь чисел изучают отдельно то, что отдельно не существует. Платон: математика строга, потому что отражает идеальный космос. Аристотель: математика строга потому, что она проста, кроме того, это система высших абстракций. Из простоты – уровень отвлеченности. Если учитывать слишком много свойств, то это не строго. Абстракция – идеально простое, ничего человеческого, физического, кроме математики.
Математика – из опыта. Вплоть до 19 века (Бэкон, Ньютон, Лобачевский, Локк.), да и в настоящее время большинство людей видят математику именно таким образом. Однако аристотелевский взгляд столкнулся с некоторыми затруднениями.
Во-первых, развитие математики стало выдвигать понятия, которые не являются явно исходящими из опыта: бесконечно малые, мнимые числа, неевклидова геометрия и т.д. Математик скорее конструирует, изобретает свои понятия. Во-вторых, все эмпирические утверждения могут быть опровергнуты опытом, а математические – не могут. В отличие от физических законов, математические законы не корректируются.