§ .. Механические приложения криволинейных интегралов 1-го рода.

I. Масса стержня.

- плотность распределения массы.

.

2. Статические моменты относительно координатных плоскостей.

2. Моменты инерции относительно координатных осей.

2. Координаты центра тяжести.

.

§ .. Поверхностные интегралы 1-го рода. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода.

Вычисление этих интегралов сводится к вычислению двойных интегралов.

Пусть задает поверхность . . Пусть в любой точке поверхности задана непрерывная функция . Построим интегральные суммы для поверхностного интеграла 1-го рода специальным образом.

1. Разобьем область на части произвольным образом:

.

Обозначим через часть поверхности , которая проектируется в . Поверхность окажется разбитой на n частей:

.

Определим площадь поверхности :

.

Применяя теорему о среднем к двойному интегралу, получим:

.

Составим интегральную сумму для поверхностного интеграла 1-го рода:

Переходя к пределу при будем иметь:

.

Эта формула выражает интеграл по поверхности через двойной интеграл по проекции поверхности на плоскость XOY. Аналогично получаются формулы, выражающие интегралы по поверхности через двойные интегралы по ее проекции на плоскость XOZ и YOZ:

При вычислении интегралов по поверхностям более сложного вида применяется предварительное разбиение этих поверхностей на части.

Пример.

- ?

.

= = = .

§ .. Механические приложения поверхностных интегралов 10го рода.

1. Масса пластинки.

- поверхностная плотность пластинки.

.

2. Статические моменты инерции относительно координатных плоскостей.

3. Моменты инерции относительно осей координат.

4. Координаты центра тяжести.

С помощью поверхностного интеграла 1-го рода вычисляют площадь поверхности:

.