2. Статические моменты. Центр масс.

Df.1 Статическим моментом точки относительно координатной оси (или, соответственно, координатной плоскости) называется произведение массы точки на расстояние ее до этой оси (или, соответственно, плоскости).

- статический момент относительно оси OX, .

По df. будем иметь:

.

Аналогично относительно оси OY:

.

Df.2 Точка называется центром масс . Тогда , .

Аналогично для тела .

- статический момент относительно плоскости OXY.

- статический момент относительно плоскости OYZ.

- статический момент относительно плоскости OXZ.

Тогда координаты центра масс:

.

3. Моменты инерции.

Df.3 Моментом инерции точки относительно оси называется произведение массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Пластинка .

- момент инерции относительно оси OX по df. полагаем:

.

Аналогично относительно оси OY:

.

Момент инерции относительно точки (центральный, полярный).

Полярным моментом инерции точки называется произведение массы точки на квадрат расстояния ее от начала координат.

Аналогично для тела .

Моменты инерции относительно координатных плоскостей.

Моменты инерции относительно координатных осей:

- полярный (центральный) момент инерции .

§ .. Криволинейный интегрл 1-го рода.

Df.1 Пусть , - определена в , . Совокупность области и функции называется скалярным полем. - вектор.

При n=2, 3 под понимают - радиус-вектор. Тогда имеем скалярную функцию векторного аргумента:

.

Если точка , являющаяся концом радиуса-вектора , то можно писать . Если (при n=3) или , то пишут . Понятие криволинейного интеграла непосредственно связано с понятием кривой.

Кривой в называется , являющаяся непрерывным отображением:

.

Задается векторной функцией скалярного аргумента (1)

- параметр. Как известно (1) эквивалентно:

(2)

.

A – начало, B – конец кривой. Если - замкнутая.

Задать направление обхода задать начало и конец.

Следует отметить, что для криволинейных интегралов 1-го рода определение , теоремы существования, теоремы о среднем, свойства и т.д. были изложены раньше.

§ .. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.

Криволинейный интеграл 1-го рода можно преобразовать к обыкновенному определенному интегралу. Это обстоятельство и используется для вычисления криволинейных интегралов.

●

●

●

●

Пусть непрерывная спрямляемая кривая, а - функция, непрерывная на этой кривой. Установим на определенной направление, например, от к .

Положение любой точки кривой можно характеризовать длиной дуги :

(1)

.

- длина кривой .

В частности точка соответствует , а точка соответствует . При этом на уравнение (1) можно смотреть как на параметрические уравнения кривой . Тогда функция - становится сложной непрерывной функцией параметра .

Составим интегральную сумму для криволинейного интеграла 1-го рода, т.е.:

(2)

где - длина дуги .

В правой части равенства (2) стоит сумма интегрирования для обыкновенного определенного интеграла от непрерывной функции на отрезке . Переходя к пределу при стремлении к нулю шага разбиения кривой , получаем:

(3)

Выражение (3) связывает криволинейный интеграл 1-го рода с определенным интегралом.

В выражении (3) параметром является длина дуги , а для решения различных задач это не всегда удобно. Поэтому получим формулу для произвольного параметра .

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

(4)

соответствует точке , соответствует точке .

(4) непрерывно дифференцируемые функции параметра .

Запишем длину дуги , где - точка с текущими координатами.

.

Это формула длины дуги в параметрической форме, выраженная через определенный интеграл (с переменным верхним пределом ).

Найдем дифференциал дуги :

(5)

Если - плоская кривая, заданная явным уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция, то принимая «x» за параметр будем иметь:

.

В случае когда - плоская кривая, заданная полярным уравнением , где , то имея в виду, что и , получим:

.