8.1. Математична модель фізичних процесів у лбх

Математична модель ЛБХ може бути отримана з відповідної моделі групувача (див. розділ 7) шляхом додавання у праву частину рівняння руху (6.1) подовжньої складової електричного поля системи, що сповільнює, усередненого за поперечним перерізом пучка

, (8.1)

де  – комплексна амплітуда поля хвилі.

Поле спірального хвилеводу (СС) у не усередненому виді було отримано в розділі 6 (формули (6.4), (6.5), (6.7)). Усереднене поле (8.1) виходить з (6.7), якщо відняти з цього співвідношення поле об'ємного заряду (воно вже враховано в (7.1)), а залишок усереднити по перемінному перетині пучка

,

де С₁(z) як і раніше визначається формулою (6.5), а  – формулою (6.9) при m = 0 (основна пряма хвиля в спіральному хвилеводі азимутально-симетрична).

Додаючи (8.1) до (7.1) з урахуванням (7.2), після переходу до координат за методикою, викладеною в розділі 7, обчислюючи середнє значення першої гармоніки струму пучка в (7.2) і (6.5) за формулою (7.9), з огляду на те, що пучок на вході не модульований по високій частоті , одержуємо наступну систему нелінійних рівнянь ЛБХ:

(8.2)

де  – параметр зв'язку;

I₀ – статичний струм пучка;

,

де  – фазова швидкість хвилі;  – погонне загасання хвилі (у неперах).

Для розв’язання рівнянь (8.2) на ЕОМ звичайно вводять безрозмірні змінні, що повільно змінюються уздовж ЛБХ:

 – фаза електрона в рухливій системі координат;  – безрозмірна довжина; ; ; ;  – безрозмірні комплексні амплітуди струму і ВЧ-поля в рухливій системі координат, де ,

 – параметр підсилення;

 – параметр несинхронності;

 – параметр об'ємного заряду;

 – параметр загасання.

У безрозмірних змінних система (8.2) приймає наступний вигляд:

(8.3)

Початкові умови: при , , .

Рівняння (8.3) можуть дістати розв'язок на ЕОМ методом «великих часток», який викладено в розділі 7 (7.3).

Н а рис. 8.2 наведена схема ЛБХ у безрозмірних змінних

Рис. 8.2. Принципова схема ЛБХ у безрозмірних змінних.

Нумерація секцій системи, що сповільнює, збігається з прийнятою на рис. 8.1:

 – безрозмірні границі секції;

 – безрозмірна координата виходу системи, що сповільнює, (СС);

 – безрозмірна координата стрибка фазової швидкості у вихідній секції СС.

Поглинаючу вставку–3 можна замінити розривом СС у середині ділянки (тобто в точці ), ввівши в точці умову для величини .

Коефіцієнт корисної дії (ККД) ЛБХ:

,

де .

Оптимізацію ККД необхідно здійснювати при сталих значеннях величин шляхом стрибкоподібної зміни параметра b від b₁ до b₂ у точці x₃, що, також як і b₂, є шуканою на ділянці .

8.2. Методика постановки і розв’язання задачі на еом

• Перетворити систему диференціальних рівнянь (8.3) до системи рівнянь за методом “великих часток” (див. розділ 7) при заданих значеннях параметрів . Визначити перший максимум шляхом підбора величин x₃ і b₂.

• Проаналізувати хід і результати розв’язання, зробити висновки.

Зміст звіту