1 Теория решения задачи

Когда говорят о задачах математического программирования, то имеют в виду задачи оптимизации, которые формально сводятся к одной общей постановке:

найти значения переменных x₁,...,x_n, доставляющие максимум (минимум) заданной функции z=f(x₁,...,x_n) при условиях g_i(x₁,...,x_n)=b_i (i=1...m).

Условия, о которых идет речь, ограничивают выбор значений x₁,...,x_n и могут обладать самыми разнообразными свойствами, определяемыми видом функций g_i(x₁,...,x_n). В каждой из m строк здесь сохраняется какой-либо знак (равенство, неравенство).

Множество точек X=(x₁,...,x_n), удовлетворяющих системе ограничений g_i(X)=b_i (i=1...m), есть область определения U поставленной выше задачи.

Учитывая сказанное, можно дать краткую запись условий задачи математического программирования:

В основу классификации таких задач положены особенности функций z и g_i, встречающихся в конкретных исследованиях. Различают два основных класса задач – задачи линейного и нелинейного программирования. К первым относятся те, в которых и целевая функция z, и все функции g_i (i=1...m) линейны относительно переменных x_j (j=1...n), ко вторым – те, в которых присутствуют различного рода нелинейности.

2 Построение математической модели

При имеющемся количестве N брёвен известной длины (L) необходимо составить план распила так, чтобы получить брусья заданных размеров 3,5: 4,5; 5 м. при условии условии максимального числа брусьев в заданном ассортименте.

Пусть единица i-го бревна содержит ai1 единиц брусьев по 3,5; ai2 – 4,5; ai3 – 5.

Обозначим ci, I = 1,..,N, в качестве длины i-го бревна; b1, b2, b3 – заданное количество соответственно брусьев по 3,5: 4,5; 5 метров (ассортимент).

Запишем условия задачи в виде математических формул.

1. Выберем переменные задачи: x1, x2,…, xn – количество брёвен, пригодных для распила.

2. Составим ограничения задачи: Ограничения по условиям задачи должны обеспечить распил брёвен в заданном ассортименте b1, b2, b3 соответственно.

Так как I – е бревно возможно распилить на ai1 количество брусьев по 3,5 метра, то xi - е единиц I – го бревна возможно возможно распилить на ai1xi количество брусьев по 3,5 метра.

Значит, общее количество брусьев по 3,5 метров из общего числа брёвен будет равно сумме:

a11x1 + a21x2+… +an1xn ≥ b1;

Записывая аналогичные условия для брусьев размерами 4,5 и 5 метров, получим, включая предыдущее, три условия:

a11x1 + a21x2+… +an1xn ≥ b1;

a12x1 + a22x2+… +an2xn ≥ b2; (1)

a13x1 + a23x2+… +an3xn ≥ b3;

Нельзя забывать очевидно вытекающие из условий задачи ограничения:

X1≥0, X2≥0, …, Xn ≥0. (2)

Эти ограничения означают, что отрицательное количество брёвен Xi не имеет содержательного смысла.

3. Составим целевую функцию. Так как общая длинна брёвен L = C1X1+C2X2+,…,+CnXn, необходимо минимизировать линейную функцию L.

Итак, математическая модель рассмотренной задачи о оптимизации использования брёвен имеет следующий вид:

Минимизировать L = C1X1+C2X2+,…,+CnXn,

При условиях:

a11x1 + a21x2+… +an1xn ≥ b1;

a12x1 + a22x2+… +an2xn ≥ b2; (3)

a13x1 + a23x2+… +an3xn ≥ b3;

X1≥0, X2≥0, …, Xn ≥0.

Или в матричном виде:

cx → min, (4)

Ax ≥ b, x ≥ 0.