Человечество в процессе своей деятельности постоянно сталкивается с необходимостью принятия решений. Чаще всего ситуация осложняется тем, что возможных вариантов поведения слишком велико и выбор наилучшего с позиций практического опыта или интуиции не представляется возможным. Современное производство, будучи сложной системой, состоящей из множества взаимосвязанных экономических объектов, является ярким тому подтверждением.

Таким образом, жизненно необходимым стало вместо так называемых "волевых" решений принимать решения, опирающиеся на научно обоснованный расчет. Такими математическими расчетами, облегчающими принятие обоснованных решений, занимается теория математических моделей и методов принятия оптимальных решений или, по-другому - исследование операций. Термин "операция" здесь употребляется как синоним слова "проблема". Классическим примером операции может являться широко известная транспортная задача [1].

Схема исследования типичной проблемы (операции) может быть представлена в виде следующих этапов:

1. Уяснение смысла проблемы и содержательная формулировка задачи;

2. Построение математической модели;

3. Поиск оптимального решения (алгоритм решения задачи);

4. Выдача рекомендаций лицу, принимающему решение или корректировка модели.

Обратим внимание на то, что схема исследования классической транспортной задачи, подробно изложенная в предыдущем методическом пособии [1], полностью соответствует данной схеме.

Основными и наиболее трудными этапами исследования операций являются:

- умение строить математические модели, как можно более адекватные реальным ситуациям;

- разработка методов решения чисто математических задач

оптимизационного типа.

Если вторая задача касается главным образом математиков, то первая имеет непосредственное отношение к экономистам. Идеальная картина складывается тогда, когда оба эти качества сочетаются в одном лице.

Данное методическое пособие содержит примеры перехода от некоторых весьма актуальных реальных задач к их математическим моделям. Большинство из них являются задачами ЛП и ЦЛП и могут быть решены симплекс-методом или методом отсечения [1], однако для некоторых приводятся более экономные алгоритмы решения. Доказательства не приводятся, но формулировки основных результатов снабжены ссылками на литературу. Изложение сопровождается примерами решения типовых задач.

1. Элементы теории игр

1.1. Основные понятия

Теория игр - это особый раздел исследования операций, в котором изучаются математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Под конфликтом обычно понимают любое явление, применительно к которому имеет смысл говорить, кто и как в этом явлении участвует, каковы его возможные исходы, кто в этих исходах заинтересован и в чем состоит эта заинтересованность. Важно отметить, что приведенная формулировка весьма универсальна и охватывает не только конфликты между участниками так называемых "салонных" игр (шахматы, шашки, карточные игры и т.д.), но и экономические столкновения интересов различных фирм в условиях конкуренции, а также военные конфликты.

В зависимости от числа сторон, участвующих в конфликте, различают игры многих лиц и игры двух лиц (парные игры). Мы будем рассматривать только парные игры. Конфликтующие стороны назовем игроками и обозначим и (это могут быть и команды).

Игра состоит из последовательности ходов. Стратегией

игрока называют систему правил, определяющих его выбор варианта действия при каждом ходе. В большинстве игр игрок принимает решение о своем очередном ходе перед самым этим ходом или на несколько ходов вперед. Иначе и не может быть, поскольку в таких играх, как шахматы, число возможных ходов в большинстве позиций очень велико, и это не дает возможности игрокам заранее спланировать все свои действия от начала до конца. Однако, с теоретической точки зрения ничто не мешает нам предполагать, что уже до начала игры каждый игрок решил, как он будет играть в любой позиции. Таким образом, мы предполагаем, что каждый игрок выбирает стратегию еще до начала игры.

Множества стратегий игроков и будем обозначать и соответственно. Пусть игрок выбрал стратегию , а игрок - стратегию . Комбинация этих стратегий называется ситуацией. Некоторые комбинации стратегий могут оказаться несовместимыми, и в этом случае говорят о невозможной ситуации.

Пример 1.1. Игра "крестики-нолики".

Имеется поле размером 33, клетки поля пронумерованы числами 1, …, 9. Игрок делает ход первым, ставя "крестик" в одну из свободных клеток. Игрок играет "ноликами". Максимальное число ходов в одной партии игры 9 (5 ходов игрока и 4 хода игрока ). Таким образом, любую стратегию игрока можно закодировать набором , где- номер клетки, занятой "крестиком" при-м ходе.Аналогично, любая стратегия игрока есть набор .

Пусть =53489, =1762. Тогда ситуация (,) определяет ничейный исход (рис. 1а). Если же =53489, а =1742, то ситуация (,) невозможна: игрок не может своим третьим ходом поставить "нолик" в клетку 4, так как она уже занята "крестиком" (рис 1б).

а б

Рис. 1

По количеству возможных стратегий игроков игры делятся на конечные и бесконечные.

Заинтересованность игроков в исходах игры проявляется в том, что каждый из них предпочитает одни ситуации другим. Чаще всего отношение предпочтения задается с помощью функций выигрыша, определенных на множестве ситуаций. Обозначим - выигрыш игрока в ситуации (,). Таким образом, - это тот выигрыш (количество очков, сумма денег и т. д.), на который может рассчитывать игрок , если он выберет стратегию , а его соперник - стратегию . Аналогично определяется функция выигрыша игрока .

Далее мы будем рассматривать игры с нулевой суммой, когда +=0, то есть =- для любых , . В таких играх выигрыш одного игрока одновременно является проигрышем другого, и мы можем рассматривать его как платеж проигравшего победителю.