Практическое занятие № 4 Трехфазные электрические цепи

Трехфазная симметричная система представляет собой совокупность трех синусоидальных ЭДС или напряжений, одинаковых по частоте и амплитудному (действительному) значению, сдвинутых по фазе относительно друг друга на угол 120˚ (2π/3): е_А=Е_mSinωt(E_A=Ee^j0=E); e_B=E_mSin(ωt-120˚)(E_B=Ee^-j120˚); e_С= E_mSin(ωt-240˚) или e_c= E_mSin(ωt+120˚)(E_С=Ee^j120˚). При этом алгебраическая сумма ЭДС и напряжений:

E_A+E_B+E_С= е_А+e_B+e_С=U_A+U_B+U_C=0.

С уществуют различные способы соединения фаз трехфазных источников питания (синхронные генераторы, вторичные обмотки трансформаторов) и трехфазных потребителей (синхронные и асинхронные двигатели, первичные обмотки трансформаторов, электрические печи и др.). Фазы (обмотки) источника чаще всего соединяются «звездой», фазы (обмотки) потребителей соединяются либо «звездой», либо «треугольником». Выбор схемы соединения потребителей целиком определяется номинальным напряжением фазы потребителя и напряжениями, линейным и фазным, трехфазной цепи.

Рис. 18

Напряжения U_A,U_B,U_C, (рис.18) действующее между началами (A, B, C) и концами (X, Y, Z) фаз источника называют фазными напряжениями источника U_ф, а напряжения U_а,U_в, U_с при «звезде», и U_ав,U_вс, U_са при «треугольнике», действующие между началами (а, в, с) и концами (x, y, z) фаз потребителя, - фазными напряжениями U_ф приемника.

Напряжения U_AВ,U_BС,U_CА, действующие между началами фаз источника и напряжения U_ав,U_вс, U_са – между началами фаз потребителей или между линейными проводами (Аа, Вв, Сс) являются линейными напряжениями U_л.

При соединении «звездой» фаз трёхфазного источника или потребителя электроэнергии, концы фаз (X, Y, Z и x, y, z) объединены в общую нейтральную точку (N и n), которые соединены нейтральным проводом (Nn). При этом на фазу потребителя подводится фазное напряжение трехфазного источника.

Фазные и линейные напряжения симметричных источников и потребителей (Zа=Zв=Zс), соединенных «звездой», а также несимметричных потребителей (Z_а≠Z_в≠Z_с) с нейтральным проводом (Nn), связаны соотношением . При отсутствии нейтрального провода у несимметричных потребителей происходит смещение нейтрального точки n относительно нейтральной точки N симметричного источника, что приводит к перекосу (увеличению и уменьшению относительно номинальной) фазных напряжений потребителя. Линейные токи I_Λ в питающих линиях (I_А, I_В, I_С) при соединении источника и потребителя «звездой» одновременно являются фазными токами I_ф (I_а, I_в, I_с), протекающим по фазам потребителя и источника, поэтому I_л=I_ф. Ток в нейтральном проводе I₀ определяется из первого закона Кирхгофа для узла «n» I₀=I_а=I_в=I_с.

Соединение, при котором начало одной фазы потребителя (источника) соединяются с концом другой его фазы, начало которой соединено с концом третьей фазы, а начало третьей – с концом первой фазы, к точкам соединения которых подключаются линейные провода, называются треугольником. При этом на фазы потребителя подводятся линейные напряжения источника U_ав=U_вс= U_са=U_ф=U_л. При симметричной нагрузке потребителя (Zав=Zвс=Zса) фазные токи I_ф (I_ав, I_вс, I_са) связаны с линейными токами I_л (I_А, I_В, I_С) соотношением . В общем случае по первому закону Кирхгофа I_А=I_ав-I_са; I_В=I_вс-I_ав; I_С=I_са-I_вс.

Расчет трехфазных цепей сводится к расчету отдельно каждой фазы потребителя I_ф=U_ф/Z_ф и затем определение линейных токов. При этом cosφ_ф=R_ф/Z_ф; Р_ф=U_фI_фcosφ_ф трехфазные мощности: P=P_а+P_в+P_с=P_ав+P_вс+P_св; Q=Q_а+Q_в+Q_с=Q_ав+Q_вс+Q_са; S=S_а+S_в+S_с=S_ав+S_вс+S_са. При симметричной нагрузке: ; ; .

Задача. К трехпроводной трехфазной сети с линейным напряжением U_л=220 В подключен приемник, фазы которого соединены звездой (Рис.19). Заданы сопротивления R_а=10 Ом, R_в=5 Ом, X_в=8,66 Ом, Х_с=10 Ом. Определить токи в ветвях, построить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение.

Рис. 19

1. Фазные напряжения источника образуют симметричную систему

U_A=U_фe^j0=(U_л/ )е^j0=127е^j0 В;

U_В=U_фe^-j120°=127 e^-j120°= -63,5-j110 В;

U_В=U_фe^j120°=127 e^j120°= -63,5+j110 В.

2. Комплексные сопротивления фаз приемника: Z_а=R_а+jX_a= R_а=10 Ом; Z_в=R_в+jX_в= 5+j8,66=10e^j60° Ом; Z_с=R_с-jX_с= - jX_с =-j10=10e^-j90° Ом.

Их комплексные проводимости: Y_а=1/Z_а=1/10=0,1 См; Y_в=1/Z_в=1/10e^j60° =

=0,1e^-j60°=0,1(cos60°-jsin60°)=0,1(0,5-j0,866) См; Y_с=1/Z_с=1/(-j10)=0,1e^j90° См.

3. Смещение нейтрали n относительно N по методу двух узлов

4. Фазные напряжения приемника из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контуров через фазные напряжения источника, приемника и смещения нейтрали:

U_a=U_A-U_nN=127-(-76-j35,5)=203+j35,5=| |=

=206e^j10° В;

U_в=U_В-U_nN=-63,5+j110-(-76-j35,5)=12,5-j74,5=75,5e^-j80°30’ В;

U_c=U_C-U_nN=-63,5+j110-(76-j35,5)=12,5+j145,5=145,6e^j85° В;

5. Фазные токи и токи в линии:

I_A=I_a=U_a/Z_a=206e^j10°/10=20,6e^j10° A;

I_B=I_в=U_в/Z_в=75,5e^-j80°30’/10e^j60° =7,55e^-j140°30' A;

I_С=I_с=U_с/Z_с=145,6e^j85°/10e^-j90°=14,5e^j175° A;

6) Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы напряжения М_U=40 В/см и тока М_I=5 А/см. Строим симметричную топографическую диаграмму (Рис.20) напряжений генератора и вектор смещения нейтрали U_nN=84e^j205°=-76-j35,5 В.

А,а

U_a U_AB

U_А I_a

N

U_CA

U_C U_nN U_B

C,c B,b

U_c φ_c φ_b U_b U_BC

n

I_b

I_c

Рис. 20