5.6. Пример решения задачи распределения ресурсов

Решим задачу распределения ресурсов по следующим данным :

1) = 200 млн. руб.;

2) = 4;

3) средства выделяются только в размерах, кратных 40 млн. руб.;

4) функции дохода заданы в таблице:

40	8	6	3	4
80	10	9	4	6
120	11	11	7	8
160	12	13	11	13
200	18	15	18	16

Этап . Условная оптимизация.

Последовательно вычисляем ; ;;.

Считать начинаем с последнего шага . Уравнение Беллмана для этого шага имеет вид (25):

,

где - это количество средств, остающихся после выделения средств предприятиям . Вычисления оформляем в таблице

= 4

0	0	0
40	4	40
80	6	80
120	8	120
160	13	160
200	16	200

Вычисления на последующих шагах осложняются тем, что необходимо учитывать найденную из предыдущего шага функцию .

Рассмотрим подробно вычисления для шага =3. Уравнение Беллмана для этого шага имеет вид:

.

Запишем вычисление для всех допустимых значений .

, ;

, .

,

,

,

,

Эти вычисления оформляем в таблицу для шага =3:

= 3

0	0	0
40	4	0
80	7	40
120	9	40
160	13	0
200	18	200

Вычисления для шага =2 проводятся аналогично. В результате получается таблица:

= 2

0	0	0
40	6	40
80	10	40
120	13	80
160	16	80
200	13	40

Поскольку начальное состояние фикировано (общее количество выделяемых средств), то для шага =1 вычисления проводятся только для значения =200.

, .

Этап . Безусловная оптимизация.

Находим безусловные оптимальные управления, используя уравнения состояний , :

.

.

Ответ. Оптимальные вложения: ,,,.Максимальный суммарный доход .

Следует отметить, что таблицу 1-го шага достаточно было заполнить для начального состояния =200 млн. руб. Полная таблица шага 1 дает решение не одной задачи, а множества задач с любыми значениями от 40 до 200.При увеличении начальных средств до 240 необходимо в каждой -ой таблице добавить еще одну строку, соответствующую начальному состоянию =240$.

4.7. Задачи о замене оборудования.

Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими

словами, старого оборудования - на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.

Построим модель ДП для следующей задачи о замене оборудования [6].

Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: - начальная стоимость оборудования; - стоимость производимой продукции на оборудовании возраста лет; - ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста лет; - ликвидная стоимость оборудования возраста лет.

При составлении модели ДП процесс замены рассматриваем как -шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца и т.д.) принимается решение либо о сохранении оборудования , либо о его замене , поэтому управление на -м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (и/или условные затраты) при сохранении оборудования, другая - тот же показатель при замене оборудования.

Состояние системы в начале -го шага - возраст оборудования. В конце -го шага под влиянием управления система перейдет в состояние (возраст оборудования увеличится на один год). Под влиянием управления система из состояния перейдет в состояние (замену произвели в начале -го года, возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояний имеет вид

Используя обратную вычислительную схему, получим рекуррентные соотношения Беллмана:

Полученное в результате решения задачи оптимальное управление представляет собой набор управлений и .