5. Метод Гомори
5.1. Постановка задачи цлп
Задача целочисленного программирования (ЦЛП) формулируется так же, как и задача ЛП, но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение должны быть целыми неотрицательными числами:
(22)
Симплекс – метод не гарантирует целочисленности решения задачи (22), поэтому для отыскания оптимального целочисленного решения задачи ЦЛП требуются специальные методы. Один из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен американским математиков Р. Гомори [1,2]. Идея метода следующая.
С помощью симплекс – метода решается задача ЛП без условия целочисленности. Если оптимальное решение получается нецелочисленным, то вводится дополнительное ограничение, которое, уменьшая многогранник допустимых решений (отсекая некоторую его часть), не исключает из него целочисленных точек. Если оптимальное решение задачи ЛП с дополнительным ограничением целочисленное, то вычисления заканчивают; если же оптимальное решение содержит хотя бы одну дробную компоненту, добавляют новое дополнительное ограничение.
Процесс присоединения дополнительных ограничений повторяют до тех пор, пока либо не будет найдено целочисленное оптимальное решение, либо показано, что задача не имеет целочисленных решений.
5.2. Алгоритм метода Гомори
Шаг 1. Симплекс-методом находим оптимальное решение задачи (22) без учета условия целочисленности. Если задача не имеет решения, то неразрешима и исходная задача ЦЛП. В случае алгоритм завершает работу.
Шаг 2. Пусть оптимальная таблица имеет вид:
|
b |
|
… |
|
L |
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
………….. |
||
/ |
|
|
… |
|
Если
элементы
–
целые, то оптимальное решение
является целочисленным. В этом случае
вычисления заканчиваем. Иначе, переходим
к следующему шагу.
Шаг
3. Среди дробных компонент
таблицы выбираем элемент
с максимальной дробной частью
и по строке i составляем
дополнительное ограничение:
Здесь
- целая часть числа
(наибольшее целое число, не превышающее
число
).
Шаг 4. Добавляем построенное ограничение к последней симплекс-таблице и, применяя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение. Переходим к шагу 2.
Замечания.
Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление в таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами (поскольку соответствующее уравнение неразрешимо в целых числах).
На шаге 4 двойственный симплекс-метод применяется до тех пор, пока не будет получена оптимальная симплексная таблица (возможно потребуется несколько итераций).
Если на шаге 4 в базис вводится переменная дополнительного ограничения
,
то эта строка вычеркивается из симплексной
таблицы (соответствующее ограничение
является избыточным).