3.2. Алгоритм симплекс-метода для задачи на минимум

Шаг 0 Подготовительный этап. Приводим задачу ЛП к специальной форме (15).

Шаг 1 Составляем симплекс-таблицу, соответствующую специальной форме:

	B		…		…
L			…		…
			…		…
..	..	…………
			…		…
..	..	…………
			…		…

Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение задачи (15). Значение целевой функции на этом решении

Шаг 2 Проверка на оптимальность.

Если среди элементов индексной строки симплекс – таблицы нет ни одного положительного элемента то , оптимальное решение задачи ЛП найдено: .Алгоритм завершает работу.

Шаг 3 Проверка на неразрешимость.

Если среди есть положительный элемент , а в соответствующем столбце нет ни одного положительного элемента , то целевая функция L является неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случае оптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

Шаг 4 Выбор ведущего столбца q.

Среди элементов выбираем максимальный положительный элемент .Этот столбец объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 5 Выбор ведущей строки p.

Среди положительных элементов столбца находим элемент , для которого выполняется равенство:

Строку p объявляем ведущей (разрешающей). Элемент объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 6 Преобразование симплексной таблицы.

Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

а) вместо базисной переменной записываем , вместо небазисной переменной записываем ;

б) ведущий элемент заменяем на обратную величину ;

в) все элементы ведущего столбца (кроме ) умножаем на ;

г) все элементы ведущей строки (кроме ) умножаем на ;

д) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника».

Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:

первый - соответствующий элемент ведущего столбца;

второй - соответствующий элемент ведущей строки;

третий - обратная величина ведущего элемента .

Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».

Шаг 7 Переход к следующей итерации осуществляется возвратом к шагу 2.

3.3. Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум

Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум отличается от алгоритма для задачи на минимум только знаками индексной строки коэффициентов в целевой функции , а именно:

На шаге 2: :

На шаге 3 . Целевая функция является неограниченной сверху на допустимом множестве.

На шаге 4: .

3.4. Пример

Решить задачу, записанную в виде (15).

Составим симплексную таблицу:

L	0	1	2
	3	1	1
	1		1

Так как коэффициенты строки целевой функции неотрицательны, то начальное базисное решение не является оптимальным. Значение целевой функции для этого базиса L=0.

Выбираем ведущий столбец – это столбец, соответствующий переменной .

Выбираем ведущую строку. Для этого находим . Следовательно, ведущая строка соответствует переменной .

Проводим преобразование симплексной таблицы, вводя переменную в базис и выводя переменную из базиса. Получим таблицу:

L	-2	2	-2
	2		-1
	1		1

Одна итерация метода завершена. Переходим к новой итерации. Полученная таблица неоптимальна. Базисное решение, соответствующее таблице, имеет вид . Значение целевой функции на этом базисе L= -2.

Ведущий столбец здесь – столбец, соответствующий переменной . Ведущая строка – строка, соответствующая переменной . После проведения преобразований получим симплексную таблицу:

L

Еще одна итерация завершена. Переходим к новой итерации.

Строка целевой функции не содержит положительных значений, значит, соответствующее базисное решение , является оптимальным и алгоритм завершает работу.