4. Двойственность в лп

4.1. Постановка задачи

Рассмотрим пару задач ЛП вида:

(I) (II)

… …

… …

… …

… …

Задачу (I) называют прямой задачей ЛП, а (II) – двойственной. Неравенства задач (I) и (II), соответствующие друг другу (по стрелке), называются сопряженными. Заметим, что задача двойственная к (II), есть исходная прямая задача, т.е. соотношение двойственности взаимное. Поэтому можно любую из такой пары задач считать прямой, а другую двойственной.

4.2. Пример

Построить двойственную задачу к следующей задаче ЛП.

Прежде чем приступать с построению двойственной задачи, необходимо упорядочить запись исходной: согласовать знаки неравенств в ограничениях задачи с целевой функцией. Так как ЦФ минимизируется, то неравенства должны быть записаны с помощью знака . Для этого второе неравенство умножим на -1:

Теперь, вводя двойственные переменные , запишем в соответствии с указанным правилом пару двойственных задач:

Задача слева – исходная прямая задача, задача справа – двойственная к исходной задаче.

4.3. Теоремы двойственности

Двойственность является одним из фундаментальных понятий в теории ЛП. Исключительно важную роль играют следующие утверждения, получившие названия теорем двойственности [1,3].

Первая теорема двойственности. Если одна из пары двойственных задач (I) и (II) разрешима, то разрешима и другая задача, причем оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают:

где – оптимальные планы задач (I) и (II) соответственно.

Говорят, что допустимые решения x,y удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости (УДН), если при подстановке этих векторов в ограничения задач (I) и (II) хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство.

Вторая теорема двойственности. оптимальны в задачах (I) и (II) тогда и только тогда, когда они удовлетворяют УДН.

4.4. Пример

Используя теоремы двойственности решить двойственную задачу, если известно решение прямой задачи.

(20)

Пусть решение задачи найдено одним из стандартных методов: . Построим двойственную задачу:

(21)

По первой теореме двойственности задача разрешима, причем . Найдем оптимальный план задачи (21), используя вторую теорему двойственности. Подставим координаты вектора в ограничения задачи (20). Получим

Следовательно, в силу УДН, неравенство должно выполняться как равенство, т.е. . Далее так как , то в силу УДН,

Получаем систему линейных уравнений и решаем ее:

Планы и удовлетворяют УДН, следовательно, в силу второй теоремы двойственности, являются оптимальными в задачах (20) и (21) соответственно.

4.5. Пример

Исследовать вектор на оптимальность в задаче ЛП.

Вначале нужно проверить, является ли вектор допустимым. Для этого подставляем координаты вектора в ограничения:

Так как второе ограничение выполняется как строгое неравенство, то в силу УДН для оптимальности вектора необходимо выполнение равенства .

Построим двойственную задачу.

Поскольку , то из третьего и четвертого ограничений получаем . Но по УДН из условия следует, что должно выполняться равенство в первом ограничении двойственной задачи:

Подставляя значения получим Следовательно, УДН не выполняются и вектор не является оптимальным в исходной задаче.