3.7. Двойственный симплекс-метод

Метод работает с теми же симплексными таблицами, что и прямой симплекс - метод для задачи на минимум. Сначала определяется переменная, подлежащая выводу из базиса, а затем переменная, вводимая в базис [1,3].

Вычислительная схема двойственного симплекс – метода

Шаг 0. Начинаем с симплексной таблицы

	B		…
L			…
			…
…	…	…………..
			…

где .

Шаг 1. Проверка на оптимальность. Если, то решение- оптимальное.

Шаг 2. Выбор ведущей строки. Выбираем среди номеровi, для которых, номерkс максимальным по модулю значением

Строка kобъявляетсяведущей.

Шаг 3.Проверка на неразрешимость. Если в строкенет отрицательных элементов, то двойственная целевая функция неограничена и, следовательно, прямая задача не имеет допустимых решений. Процесс решения завершается.

Шаг 4.Выбор ведущего столбцаs. Выбираем среди отрицательных элементов строкиэлемент с номеромs, для которого выполняется равенство

Столбец sобъявляетсяведущим, а элемент-ведущимэлементом.

Шаг 5.Проводим стандартное преобразование симплексной таблицы (Шаг 6 из прямого симплекс-метода).

3.8. Пример

Решить задачу ЛП двойственным симплекс-методом.

Приводим задачу к каноническому виду:

Знаки в ограничениях заменили на противоположные для того, чтобы переменные иможно было взять в качестве базисных. Симплексная таблица имеет вид

	b
L	0	-1	-1	0
	-2	-1	1	-1
	-1	-2	-1	1

Таблица двойственно-допустимая, но не оптимальная. Выбираем ведущую строку – это строка переменной , ведущий столбец – это столбец переменной. После преобразования таблица принимает вид

	b
L	0	-1	-1	0
	2	1	-1	-1
	-3	-3	0	1

Так как в столбце bесть отрицательная переменная, то эту строку выбираем ведущей, а столбец переменнойбудет ведущим столбцом. После преобразования получаем таблицу:

	b
L	1	-1/3	-1	-1/3
	1	1/3	-1	-2/3
	1	-1/3	0	-1/3

которая является оптимальной. Соответствующее оптимальное решение имеет вид .

4. Двойственность в лп

4.1. Постановка задачи

Рассмотрим пару задач ЛП вида:

(I) (II)

… …

… …

… …

… …

Задачу (I) называютпрямойзадачей ЛП, а (II) –двойственной. Неравенства задач (I) и (II), соответствующие друг другу (по стрелке), называются сопряженными. Заметим, что задача двойственная к (II), есть исходная прямая задача, т.е. соотношение двойственности взаимное. Поэтому можно любую из такой пары задач считать прямой, а другую двойственной.

4.2. Пример

Построить двойственную задачу к следующей задаче ЛП.

Прежде чем приступать с построению двойственной задачи, необходимо упорядочить запись исходной: согласовать знаки неравенств в ограничениях задачи с целевой функцией. Так как ЦФ минимизируется, то неравенства должны быть записаны с помощью знака . Для этого второе неравенство умножим на -1:

Теперь, вводя двойственные переменные , запишем в соответствии с указанным правилом пару двойственных задач:

Задача слева – исходная прямая задача, задача справа – двойственная к исходной задаче.