Многофакторный корреляционно-регрессионный анализ

Задача многофакторного корреляционно-регрессионного анализа заключается:

1) в изучении факторов, которые оказывают влияние на исследуемый показатель и отборе наиболее значимых;

2) в определении степени влияния каждого фактора на результативный признак путем построения модели — уравнения множественной регрессии. Уравнение множественной регрессии позволяет установить, в каком направлении и на какую величину изменится результативный показатель при изменении каждого фактора входящего в модель;

3) в количественной оценке тесноты связи между результативным признаком и факторными.

Математически задача состоит в нахождении функции

От правильного выбора функции регрессии зависят результаты теоретического анализа и возможность их применения на практике.

Построение моделей множественной регрессии включает следующие этапы:

1. выбор формы связи (уравнения регрессии) путем перебора нескольких аналитических функций;

2. отбор значимых факторных признаков (опирается на сравнение частных коэффициентов эластичности, -коэффициентов, -частных коэффициентов детерминации );

3. обеспечение достаточного объема совокупности для получения несмещенных оценок (их количество должно быть в несколько раз больше, чем число факторов, включаемых в модель. На каждый фактор должно приходиться, как минимум, 5-6 наблюдений.

Сложность выбора функции состоит в том, что результативный признак с разными факторами может находиться в различных формах связи— прямолинейных и криволинейных. Эмпирическое обоснование типа функции с помощью графиков парных связей практически непригодно для множественной корреляции и регрессии.

Выбор формы уравнения множественной регрессии основывается на теоретическом анализе изучаемого явления.

Практика многофакторного регрессионного анализа социально-экономических явлений показывает, что для описания их взаимосвязей можно использовать пять типов моделей:

линейная

степенная

показательная

параболическая

гиперболическая

Чаще всего останавливаются на линейных моделях. Это объясняется тем, что параметры линейных уравнений легко интерпретируются, а сами модели просты и удобны для экономического анализа.

Проблема отбора факторных признаков для построения моделей взаимосвязи может быть решена используя сравнительный анализ частных коэффициентов эластичности Э_i, -коэффициентов и частных коэффициентов детерминации _i.

Рассмотрим принципы анализа степени влияния факторов на примере, когда в уравнение регрессии были включены пять факторов (табл. 1).

Если сопоставить значения коэффициентов эластичности (графы 2 и 5 табл. 1), то можно видеть, что главным фактором изменения результативного показателя является фактор х₅; при его изменении на 1% у возрастает на 79,5%. Вторым по силе влияния на результативный показатель является фактор х₁ и т.д. (графа 5).

Сравнение значений _j позволяет сделать вывод, что наибольший вклад в изменение результативного признака вносят факторы х₅, х₄ и х₁ (графа 6 табл. 1)

Сопоставление значений коэффициентов _j, позволяет сделать вывод, что наибольшую долю влияния имеет фактор х₅: роль этого фактора в вариации результативного показателя составляет 52,5% общего влияния пяти факторов на результативный показатель. Доля влияния других факторов значительно уступает доле влияния фактора х₅. Следовательно, наибольшие возможности в изменении результативного показателя связаны с изменением фактора х₅, затем х₁ и далее х₄..

Таблица 1

Факторы	Значения коэффициентов			Ранг факторов по величине коэффициентов			Средний ранг
	Эj	j	j	Эj	j	j
1	2	3	4	5	6	7	8
X1	0,173	0,204	0,162	2	3	2	2
X2	0,133	0,114	0,076	4	5	5	5
X3	0,108	0,144	0,104	5	4	4	4
X4	0,158	0,253	0.,133	3	2	3	3
X5	0,795	0,732	0,525	1	1	1	1

Также часто используется метод пошаговой регрессии, состоящий в последовательном включении факторов в модель и оценке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение. При введении фактора определяется, насколько увеличивается величина множественного коэффициента корреляции R. Если при включении в модель фактора x_i величина R увеличивается, а коэффициент регрессии а_i не изменяется или меняется незначительно, то данный фактор существенен и его включение в модель необходимо. Одновременно используется и обратный метод, т.е. исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента.

Наличие между двумя факторами весьма тесной линейной связи (линейный коэффициент корреляции г превышает по абсолютной величине 0,85) называется коллинеарностью, а между несколькими факторами — мультиколлинеарностью.

Причины возникновения мультиколлинеарности между признаками состоят, во-первых, в том, что анализируемые признаки характеризуют одну и ту же сторону явления или процесса (например, уставной фонд и численность работников характеризуют размер предприятия) и включать их в модель одновременно не целесообразно; во-вторых, факторные признаки являются составными элементами друг друга, дублируют друг друга или их суммарное значение дает постоянную величину (например, энерговооруженность и фондовооруженность, удельный вес заемных и собственных средств).

Если в модель включены мультиколлинеарные факторы, то уравнение регрессии будет неадекватно отражать реальные взаимосвязи, будут искажены величины параметров модели (завышены) и затруднена экономическая интерпретация коэффициентов регрессии и корреляции.

Поэтому при построении модели исключают один из коллинеарных факторов исходя из качественного и логического анализа.

В уравнении множественной регрессии в линейной форме параметры а₁, а₂, а_з, ..., а_n — коэффициенты регрессии, показывают степень влияния соответствующих факторов на результативный признак при закреплении остальных факторов на среднем уровне, т.е. насколько изменится у при увеличении соответствующего фактора x_i на 1 пункт его единицы изменения;

параметр а₀ — свободный член, экономического смысла не имеет.

Параметры уравнения множественной регрессии, как и парной, рассчитываются методом наименьших квадратов на основе решения системы нормальных уравнений. Для линейного уравнения регрессии с п факторами строится система из (n+1) нормальных уравнений:

Поскольку коэффициенты регрессии между собой несопоставимы (факторы имеют разные единицы измерения), то нельзя сравнивать силу влияния каждого фактора на результативный признак на основании коэффициентов регрессии.