Парная корреляция и построение однофакторной модели

При корреляционной зависимости изменяются средние значения результативного признака в зависимости от того, какие значения принимает факторная переменная, т.к. при вычислении средних значений результативного признака мы отчасти пренебрегаем влиянием случайных факторов. При вычислении параметров теоретической линии связи, мы получаем однозначное изменение переменной у с изменением фактора х.

Теоретической линией регрессии называется линия, вокруг которой группируются точки корреляционного поля и которая указывает основное направление, основную тенденцию связи. Теоретическая линия регрессии отображает изменение средних величин результативного признака у по мере изменения величин факторного признака х при условии полного взаимопогашения всех прочих случайных причин. Следовательно, эта линия должна быть проведена так, чтобы сумма отклонений точек поля корреляции от соответствующих точек теоретической линии регрессии равнялась нулю, а сумма квадратов этих отклонений была бы минимальной величиной.

Важным этапом регрессионного анализа является определение типа функции, с помощью которой характеризуется зависимость между признаками.

Необходимо провести содержательный анализ природы изучаемой зависимости и сделать выводы относительно направления связи, возможности его изменения в исследуемой совокупности.

Приблизительное представление о линии связи можно получить, используя графический метод.

Можно также использовать опыт предыдущих исследований, и там, где выбранные формы уравнений связи давали удовлетворительный результат, рекомендовать их использовать в дальнейшем.

Наиболее часто для характеристики связей экономических показателей используют следующие типы функций:

В нашем примере (зависимости числа туристов от затрат фирмы на рекламу) эмпирическая линия регрессии все же больше всего приближается к прямой и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида:

Для нахождения параметров а и b уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. При применении метода наименьших квадратов, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек теоретической линии регрессии должна быть величиной минимальной:

Следовательно, применение метода наименьших квадратов для определения параметров а и b прямой, наиболее соответствующей эмпирическим данным, сводится к задаче на экстремум.

Функция двух переменных S(а, b) может достигнуть экстремума в том случае, когда первые частные производные этой функции равняются нулю, т.е. когда:

Вычисляя эти частные производные, получим

После несложных преобразований получим систему нормальных уравнений способа наименьших квадратов для определения величины параметров а и b уравнения прямолинейной корреляционной связи по эмпирическим данным:

(2)

Решая систему уравнений (2) относительно a и b, получим следующие формулы для определения этих параметров:

=(19050*2013-192310*199)/20*2013-199²=77960/659=118,3

=20*192310-199*19050/659=55250/659=83,84

Для определения коэффициентов a и b составим вспомогательную таблицу 5

Получим систему уравнений

Таблица 5

№ п/п	Затраты на рекламу (усл. ден. ед.) х	Кол-во туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, чел. У	x*y	x^2	y регрессии	y регрессии по корреляционной таблице	у2
1	8	800	6400	64	789,02	803,08	640000
2	8	850	6800	64	789,02	803,08	722500
3	8	720	5760	64	789,02	803,08	518400
4	9	850	7650	81	872,86	873,14	722500
5	9	800	7200	81	872,86	873,14	640000
6	9	880	7920	81	872,86	873,14	774400
7	9	950	8550	81	872,86	873,14	902500
8	9	820	7380	81	872,86	873,14	672400
9	10	900	9000	100	956,7	943,2	810000
10	10	1000	10000	100	956,7	943,2	1000000
11	10	920	9200	100	956,7	943,2	846400
12	10	1060	10600	100	956,7	943,2	1123600
13	10	950	9500	100	956,7	943,2	902500
14	11	900	9900	121	1040,54	1013,26	810000
15	11	1200	13200	121	1040,54	1013,26	1440000
16	11	1150	12650	121	1040,54	1013,26	1322500
17	11	1000	11000	121	1040,54	1013,26	1000000
18	12	1200	14400	144	1124,38	1083,32	1440000
19	12	1100	13200	144	1124,38	1083,32	1210000
20	12	1000	12000	144	1124,38	1083,32	1000000
Итого 20	199	19050	192310	2013	19050,16	18793,94	18497700

В результате: а = 118,3; b = 83,84 и = 118,3+ 83,84x.

Параметр a – это свободный член уравнений регрессии, он определяет положение начальной точки линии регрессии в системе координат при х=0 y=а

Параметр b называется коэффициентом регрессии, является угловым коэффициентом линии регрессии и показывает, насколько изменяется в абсолютном значении результативный признак при изменении на единицу признака фактора х.

Если данные сгруппированы (например, представлены в виде корреляционной таблицы 4), то система нормальных уравнений имеет вид

где f_x— частота повторения данного варианта значения у;

f_y — частота повторения данного варианта значения х;

f_xy — частота повторения данного сочетания значений х и у.

Для нашего примера имеем:

Выражаем из первого уравнения системы показатель a, подставляем во второе уравнение системы

а=942,6-9,95b; 199*(942,6-9,95b)+2013b=189886; b=2308,6/32,95=70,06;

а=942,6-9,95*70,06=245,5 и получаем

a=245,5; b=70,06

Уравнение регрессии будет иметь вид: =242,6 + 70,06x

Графическое изображение эмпирической и теоретической линии связи представлено на рис. 1.

Для нахождения параметров гиперболы =а+b/х по способу наименьших квадратов пользуются аналогичной прямолинейной зависимости системой нормальных уравнений , в которой х заменен на 1/х.

Для определения параметров параболы второго порядка =а+bх+сх² в соответствии метода наименьших квадратов решается система, состоящая из трех нормальных уравнений:

Выбор теоретической формы корреляционной связи всегда несколько условен, так как в действительности зависимости между признаками лишь приблизительно соответствуют функциональным. Поэтому только при высокой тесноте связи между признаками линия регрессии имеет содержательный смысл и практическое значение.