Количественные критерии оценки тесноты связи Таблица 1
Величина коэффициента |
Характер связи |
До 0,3 |
Практически отсутствует |
0,3 - 0,5 |
Слабая |
0,5 - 0,7 |
Умеренная |
0,7 - 1,0 |
Сильная |
Предварительная характеристика направления и тесноты связи между признаками может быть произведена с помощью непараметрических показателей связи: коэффициента Фехнера, коэффициентов корреляции рангов (Спирмена, Кендалла), коэффициента конкордации.
Коэффициент
Фехнера Кф оценивает
направление и тесноту связи на основе
сравнения знаков отклонений значений
результативного у
и
факторного
х признаков от их средних арифметических:
где
С — число
совпадений знаков отклонений у
от
и х
от
по всем единицам
изучаемой совокупности; Н
— число
случаев несовпадений знаков
отклонений.
Совпадение знаков отклонений по обоим признакам означает согласованную вариацию, несовпадение — нарушение согласованной изменчивости. Коэффициент Фехнера изменяется от —1 до +1. При Кф = +1 имеет место согласованная изменчивость, при Кф = —1 — обратная изменчивость, при Кф = 0 — согласованная изменчивость отсутствует. Этот коэффициент улавливает направление вариации, но не учитывает ее величину.
Рассчитаем коэффициент Фехнера для рассматриваемого примера. Сравним уровни заработной платы и производительности труда по всем работникам с их средними значениями: = 41280/24 = 1720 руб./чел., = 69600/24 = = 2900 руб./чел. Подсчитаем совпадение знаков отклонений по обоим признакам (табл. 2).
Взаимосвязь уровней производительности труда и заработной платы почтовых работников и расчетные величины для оценки тесноты связи между ними Таблица 2
Номер работ-ника |
Производит. труда х, руб. чел. |
Заработная плата у, руб.чел. |
Знак отклонения от среднего уровня |
Совпадения (несовпадение) знаков |
Ранги |
Разность рангов d |
d2 |
||
|
|
Rx |
Ry |
||||||
1 |
1780 |
500 |
- |
- |
C |
1 |
2 |
-1 |
1 |
2 |
1800 |
350 |
- |
- |
C |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1840 |
850 |
- |
- |
C |
3 |
3 |
0 |
0 |
4 |
2000 |
1150 |
- |
- |
C |
4 |
5 |
-1 |
1 |
5 |
2050 |
1450 |
- |
- |
C |
5 |
9 |
-4 |
16 |
6 |
2160 |
1000 |
- |
- |
C |
6 |
4 |
2 |
4 |
7 |
2400 |
1390 |
- |
- |
C |
7 |
7 |
0 |
0 |
8 |
2550 |
1240 |
- |
- |
C |
8,5 |
6 |
2,5 |
6,25 |
9 |
2550 |
1410 |
- |
- |
C |
8,5 |
8 |
0,5 |
0,25 |
10 |
2600 |
1600 |
- |
- |
C |
10 |
10 |
0 |
0 |
11 |
2670 |
1680 |
- |
- |
C |
11 |
11 |
0 |
0 |
12 |
2800 |
1780 |
- |
+ |
Н |
12 |
14 |
2 |
4 |
13 |
3000 |
1700 |
+ |
- |
Н |
13 |
12 |
1 |
1 |
14 |
3100 |
2320 |
+ |
+ |
С |
14 |
19 |
5 |
25 |
15 |
3120 |
1850 |
+ |
+ |
С |
15 |
16 |
-1 |
1 |
16 |
3170 |
1720 |
+ |
- |
Н |
16,5 |
13 |
3,5 |
12,25 |
17 |
3170 |
2000 |
+ |
+ |
С |
16,5 |
17 |
-0,5 |
0,25 |
18 |
3340 |
2240 |
+ |
+ |
С |
18 |
18 |
0 |
0 |
19 |
3600 |
1800 |
+ |
+ |
С |
19,5 |
15 |
4,5 |
20,25 |
20 |
3600 |
2500 |
+ |
+ |
С |
19,5 |
20 |
-0,5 |
0,25 |
21 |
3800 |
2540 |
+ |
+ |
С |
21 |
21 |
0 |
0 |
22 |
4000 |
2610 |
+ |
+ |
С |
22 |
23 |
-1 |
1 |
23 |
4100 |
2600 |
+ |
+ |
С |
23 |
22 |
1 |
1 |
24 |
4400 |
3000 |
+ |
+ |
С |
24 |
24 |
0 |
0 |
Итого |
69600 |
41280 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
95,5 |
Коэффициент Фехнера для нашего примера равен 0,75[(21-3)/24]. Это дает основание считать, что между производительностью труда работников почтовой связи и их заработной платой существует достаточно тесная прямая связь.
Коэффициент
корреляции рангов
(коэффициент
Спирмена) учитывает
согласованность рангов, т.е. номеров
или мест, которые занимают единицы
совокупности по каждому из анализируемых
признаков, и
рассчитывается по формуле:
,
где п — количество единиц совокупности; d— разность рангов по признакам х и у.
Порядок сопоставления рангов факторного и результативного показателей таков: единицы совокупности ранжируются по факторному и результативному признакам и каждой единице присваивается номер (место) в упорядоченном ряду признаков. Если встречаются в ряду одинаковые варианты по результативному и факторному признакам, то каждой из них присваивается среднее арифметическое значение их рангов. Коэффициент корреляции рангов может принимать значения от —1 до+1. Значение = +1 означает строгое изменение рангов в одном направлении, = — 1 — в противоположном, при = 0 связь отсутствует.
В рассматриваемом примере работники почтовой связи ранжированы по возрастанию факторного признака — уровню производительности труда с 1-го по 24-й номер. При ранжировании почтовых работников трижды встретились одинаковые варианты: х = 2550 у работников, занимающих 8-е и 9-е места, х = 3170 у работников, занимающих 16-е и 17-е места, и х = 3600 у работников, занимающих 19-е и 20-е места по возрастанию производительности труда, поэтому им присвоены средние ранги: 8,5; 16,5 и 19,5.
Коэффициент
корреляции рангов составил
=
,
что подтверждает
ранее полученный вывод о положительной
тесной связи между признаками.
Достоинством непараметрических показателей связи является возможность их использования при анализе взаимосвязи социально-экономических явлений, не имеющих количественного выражения (атрибутивных признаков, например, зависимости заработной платы от уровня образования; от формы собственности предприятия - государственной, частной, кооперативной.
М. Кендэл предложил еще одну меру связи между переменными х и у — коэффициент корреляции рангов Кендэла (т):
S=P+Q
Для вычисления т надо упорядочить ряд рангов переменной х, приведя его к ряду натуральных чисел. Затем рассматривают последовательность рангов переменной у (табл. 7. 6).
Для нахождения суммы S (формула 7.10) находят два слагаемых Р и (). При определении слагаемого Р нужно установить, сколько чисел, находящихся справа от каждого из элементов последовательности рангов переменной у, имеют величину ранга, превышающую ранг рассматриваемого элемента.
Ранг депутатов по экспертной оценке (х) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Ранг депутатов по результатам выборов (у) |
2 |
1 |
7 |
6 |
3 |
4 |
5 |
9 |
10 |
8 |
Так, например, первому значению в последовательности рангов переменной у, т.е. числу 2, соответствует восемь чисел (7, 6, 3, 4, 5, 9, 10, 8), которые превышают ранг 2; второму значению соответствует также восемь чисел (7, б, 3, 4, 5, 9, 10, 8), превышающих 1, и т.д. Суммируя полученные таким образом числа, мы получим слагаемое Р, которое можно рассматривать как меру соответствия последовательности рангов переменной у последовательности рангов переменной х. Для нашего примера Р= 35; (8 + 8 + 3 + 3 + 5 + 4 + 3 + 1).
Второе слагаемое Q характеризует степень несоответствия последовательности рангов переменной у последовательности рангов переменной х. Чтобы определить Q, подсчитаем, сколько чисел, находящихся справа от каждого из членов последовательности рангов переменной у, имеет ранг меньше, чем эта единица. Такие величины берутся со знаком «минус».
В рассматриваемом примере Q= -10; (-1-0-4-3-0-0-0-1-1). Следовательно, S = Р + Q = 35 - 10 = 25.
Коэффициент корреляции рангов Кендэла в нашем примере равен:
= (2 *25)/(10 * 9) = 0,556.
Коэффициент Кендэла также изменяется в пределах от -1 до +1 и равен нулю при отсутствии связи между рядами рангов.
Для определения тесноты связи между произвольным числом признаков применяют множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации):
,
где
m- количество факторов; т-число наблюдений; S-отклонения суммы квадратов суммы рангов по всем факторам от среднего квадрата суммы рангов.
Например, Произведем оценку взаимосвязи между уставным капиталом, количеством и ценой выставляемых на аукцион акций связи. Данные приведены в таблице.
Номер организации |
Уставной капитал, х млн. руб. |
Число акций у, ед. |
Цена акции z, тыс. руб. |
Rx |
Ry |
Rz |
Сумма рангов |
Квадрат суммы рангов |
1 |
310,6 |
180 |
2,3 |
7 |
5 |
7 |
19 |
361 |
2 |
245,0 |
196 |
2,1 |
5 |
6 |
3 |
16 |
256 |
3 |
147,6 |
120 |
1,9 |
3 |
1 |
5 |
7 |
49 |
4 |
185,3 |
160 |
1,8 |
4 |
4 |
2 |
10 |
100 |
5 |
420,2 |
280 |
2,5 |
9 |
10 |
9 |
28 |
784 |
6 |
570,1 |
260 |
2,6 |
10 |
8 |
10 |
28 |
784 |
7 |
263,2 |
200 |
2,4 |
6 |
7 |
8 |
21 |
441 |
8 |
80,8 |
126 |
2,2 |
1 |
2 |
6 |
9 |
81 |
9 |
127,3 |
140 |
1,6 |
2 |
3 |
1 |
6 |
36 |
10 |
346,2 |
270 |
2,0 |
8 |
9 |
4 |
21 |
441 |
Итого |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
165 |
3333 |
S=3333-(1652/10)=3333-2722,5=610,5
W=
Величина коэффициента конкордации W свидетельствует о весьма тесной связи между размером организации, числом выставляемых акций и их ценой.
Для
оценки тесноты связи между двумя
признаками исчисляется эмпирическое
корреляционное отношение
=
,
где
-межгрупповая
дисперсия;
-общая
дисперсия.
2-коэффициент детерминации.
Если коэффициент детерминации 0,7, то связь между признаками достаточно тесная.
По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного.
По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (связь между явлениями приближенно выражена уравнением прямой линии) и нелинейные (криволинейные) (связь выражена уравнением кривой линии: гиперболы, параболы и др.)
Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных, аналитических группировок, графический, корреляционный и регрессии.
Простейшим приемом обнаружения связи являете сопоставление двух параллельных рядов — ряда значений факторного признака и соответствующих ему значений результативного признака. Значения факторного признака располагают в возрастающем порядке и затем прослеживают направление изменения величины результативного признака. Результативный признак (функцию) в дальнейшем будем обозначать через у, а факторный признак — через х.
Например, по 20 туристическим фирмам были установлены затраты на рекламу (факторный признак) и количество туристов, воспользовавшихся услугами каждой фирмы (результативный признак) В табл. 3 фирмы ранжированы по величине затрат на рекламу.
Можно видеть, что в целом для всей совокупности фирм увеличение затрат на рекламу приводит к увеличению количества туристов, пользующихся услугами фирмы, хотя в отдельных случаях наличие такой зависимости может и не усматриваться. Например, сопоставим данные по фирмам с порядковыми номерами 7 и 11. Здесь мы видим даже обратное соотношение: у фирмы 11 количество туристов, воспользовавшихся ее услугами, меньше, чем у фирмы 7 и составляет 920 человек, хотя затраты на рекламу выше, чем у фирмы 7 на 1 усл. ден. ед. В каждом отдельном случае количество туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, будет зависеть не только от размера затрат фирмы на рекламу, но и от того, как сложатся прочие факторы, определяющие величину результативного признака.
Ранжирование 20 туристических фирм по факторному и результативному признаку. Таблица 3
№ фирмы |
Затраты на рек-ламу (усл. ден. ед.) |
Кол-во туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, чел. |
№ фирмы |
Затраты на рек-ламу (усл. ден. ед.) |
Кол-во туристов, воспользовавшихся услугами фирмы, чел. |
1 |
8 |
800 |
11 |
10 |
920 |
2 |
8 |
850 |
12 |
10 |
1060 |
3 |
8 |
720 |
13 |
10 |
950 |
4 |
9 |
850 |
14 |
11 |
900 |
5 |
9 |
800 |
15 |
11 |
1200 |
6 |
9 |
880 |
16 |
11 |
1150 |
7 |
9 |
950 |
17 |
11 |
1000 |
8 |
9 |
820 |
18 |
12 |
1200 |
9 |
10 |
900 |
19 |
12 |
1100 |
10 |
10 |
1000 |
20 |
12 |
1000 |
В тех случаях, когда с возрастанием факторного признака возрастает величина результативного признака, то можно говорить о наличии прямой корреляционной связи. Если же с увеличением факторного признака величина результативного признака уменьшается, то можно предполагать обратную связь между признаками.
Статистическую связь между двумя признаками можно изобразить графически и по графику судить о наличие, направлении и форме связи. При этом на оси абсцисс откладывают значение факторного признака, а по оси ординат –результативного.
а) зависимость между признаками
отсутствует
б) прямая зависимость между признаками
в) обратная зависимость между признаками
Однако большое число единиц в совокупности, а также если одному значению факторного признака соответствует несколько значений результативного признака затрудняет восприятие рядов.
В таких случаях целесообразнее воспользоваться для установления факта наличия связи корреляционными или групповыми таблицами.