6,24
.docЛабораторная работа № 6.24
Изучение сложениЯ колебаний
Цель: экспериментально исследовать явления происходящие при сложении колебаний.
Приборы и принадлежности: блок генератора напряжений ГН1, блок амперметра-вольтметра АВ1, генератор звуковых частот ЗГ1, стенд с объектами исследования С3-ЭМ01, осциллограф ОЦЛ2- 01, соединительные провода.
Краткие теоретические сведения
Сложение сонаправленных колебаний
Рассмотрим два гармонических колебания совершаемые в одном направлении.
.
Для вычисления амплитуды и фазы результирующего колебания применяется метод векторных диаграмм. Сущность метода заключается в том, что каждому колебанию сопоставляется вектор, модуль которого пропорционален амплитуде колебания, а направление будет отличаться от некоторого наперед заданного на угол равный фазе колебания. Данное правило проиллюстрировано на рис. 1. Колебаниям Х1 и Х2 соответствуют вектора и . Результирующему колебанию соответствует вектор . Как видно из рисунка амплитуда результирующего колебания может быть легко найдена по теореме косинусов
(1)
а начальная фаза определяется соотношением
(2)
Картина колебаний является неизменной, если их амплитуда не изменяется со временем. Из (1) видно, что это возможно только в случае если частоты складываемых колебаний 1 и 2 одинаковы.
Биения
Биениями называются колебания получающиеся при сложении двух сонаправленных колебаний с близкими частотами, такими, что = 2-1<<1, 2. В этом случае амплитуда результирующих колебаний является медленно меняющейся периодической функцией времени. Типичная картина биений приведена на рис. 2.
Для простоты рассмотрим сложение двух колебаний с равными амплитудами А1 = А2 = А0 и одинаковыми начальными фазами . В соответствии с (1) амплитуда результирующего колебания (рекомендуется самостоятельно проделать преобразования)
. (3)
В последнем выражении поставлен модуль, так как амплитуда по своему смыслу не может быть отрицательной. Из (3) следует, что амплитуда колебаний будет меняться от минимального значения до максимального ( в общем случае от | А1 - А2| до А1 + А2) с частотой называемой частотой биений.
(4)
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим движение точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях происходящих вдоль осей X и Y :
. (6)
где - фаза колебаний
Перепишем уравнения в другом виде
. (7)
Заменив во втором уравнении cos на , а sin на , получим уравнение
. (8)
В случае когда складываются колебания с одинаковой частотой и разность их фаз остается постоянной последнее уравнение описывает эллипс, оси которого произвольно ориентированы относительно осей X и Y. В общем случае, когда частоты складываемых колебаний различны, траектории колеблющейся точки представляют собой сложные линии. Если частоты колебаний вдоль взаимно перпендикулярных осей соотносятся как целые числа
, (9)
то линии оказываются замкнутыми и называются фигурами Лиссажу (числа nX, nY можно определить посчитав количество пересечений линии, образующей фигуру Лиссажу, с осями координат X и Y, причем, если ось проходит через точку пересечения ветвей фигуры Лиссажу, то эту точку считают дважды). Вид этих кривых зависит от соотношения частот, амплитуд и разности фаз складываемых колебаний, поэтому анализ фигур Лиссажу широко используется при исследовании колебаний.
Порядок выполнения работы
Часть1. Определение разности фаз сонаправленных колебаний.
По заданию преподавателя произведите измерения по методу 1 или методу 2.
Метод 1
-
Соберите схему в соответствии с рис. 3 (ЗГ – генератор звуковых частот) используя в качестве активного сопротивления R резистор R3 или R4, в качестве реактивного сопротивления Х – конденсаторы С1, С2 или С3 по заданию преподавателя. Данные занесите в таблицу 1.
-
Установите самостоятельно частоту сигнала в диапазоне от 8 до 12 кГц (кнопка «F» на ЗГ). Занесите выбранное значение в таблицу 1.
-
Получите на экране осциллографа одновременно два гармонических сигнала, режим I, II (кнопка «режим» и «+/-»). Установите коэффициенты усиления одинаковыми для обоих каналов (кнопка «Кус» и «+/-»). Изменяя напряжение на выходе генератора звуковых частот (регулятор «U» на ЗГ) добейтесь чтобы амплитуда любого из сигналов не превышала двух делений по шкале осциллографа.
-
Не изменяя частоты генератора звуковых частот и коэффициентов усиления, переведите осциллограф в режим I (кнопка «режим» и «+/-»). Измерьте амплитуду первого колебания (в делениях осциллографа) А1. Результат занесите в таблицу 1.
-
Не изменяя частоты генератора звуковых частот и коэффициентов усиления, переведите осциллограф в режим II (кнопка «режим» и «+/-»). Измерьте амплитуду второго колебания (в делениях осциллографа) А2. Результат занесите в таблицу 1.
-
Не изменяя частоты генератора звуковых частот и коэффициентов усиления, переведите осциллограф в режим I+II («режим» и «+/-»). Измерьте амплитуду результирующего колебания (в делениях осциллографа) А. Результат занесите в таблицу 1.
-
По формуле (1) определите разность фаз колебаний = 2-1. Результат занесите в таблицу 1.
Метод 2
-
Соберите схему в соответствии с рис. 4. Для измерения напряжений используется блок амперметра-вольтметра АВ1. В качестве активного сопротивления R подключите резистор R3 или R4, в качестве реактивного сопротивления Х – конденсаторы С1, С2 или С3 по заданию преподавателя. Данные занесите в таблицу 1.
-
Установите самостоятельно частоту сигнала в диапазоне от 8 до 12 кГц (кнопка “F” на ЗГ). Занесите выбранное значение в таблицу 1.
-
Переведите амперметр – вольтметр в режим измерения переменного напряжения, кнопка «=/» на АВ1 должна быть нажата. Измерьте напряжение U1. Результат занесите в таблицу 1 (А1).
-
Измерьте напряжение U2 между точками 2 и 3 на схеме. Результат занесите в таблицу 1 (А2).
-
Измерьте напряжение U между точками 1 и 3 на схеме. Результат занесите в таблицу 1 (А).
-
По формуле (1) определите разность фаз колебаний = 2-1. Результат занесите в таблицу 1.
Таблица 1.
R, Ом |
С, Ф |
, Гц |
А1 |
А2 |
А |
, рад |
|
|
|
|
|
|
|
Часть2. Определение частоты неизвестных колебаний исследованием биений.
-
Соберите схему представленную на рис. 5, в качестве источников сигналов используются генератор звуковых частот и генератор напряжений, осциллограф должен находиться в режиме суммирования колебаний I+II. Для переключения режима осциллографа нажмите кнопку «режим» и «+/-».
-
Выберите на генераторе напряжений неизвестный сигнал Х1, Х2, по заданию преподавателя.
-
Установите на осциллографе режим I, II. Изменяя диапазон (кнопка «F») и регулируя частоту ЗГ (регулятор «F»), получите на экране два близких по частоте колебания.
-
Переведите осциллограф в режим I+II.
-
Изменяя длительность развертки, режим “длит.” «+/-» получите на экране осциллографа картину биений.
-
Определите с помощью осциллографа период биений ТБ (см. рис. 2) , и занесите результат в таблицу 2 вместе с частотой генератора звуковых частот Г, которая отображена на индикаторе частот ЗГ.
-
Повторите измерения по п. 3 п. 4 еще два раза. Результат занесите в таблицу 2.
-
Для каждого измерения в п. 3 п.5 вычислите частоту биений , а затем по формуле (4) частоту неизвестных колебаний Х. Результаты обработайте по методике косвенных невоспроизводимых измерений.
Таблица 2.
№ |
г, Гц |
ТБ, с |
б, Гц |
х, Гц |
<Х >, Гц |
x , Гц |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
Часть3. Определение частоты неизвестных колебаний исследованием фигур Лиссажу.
-
Установите на осциллографе режим I, II. Изменяя диапазон (кнопка «F») и регулируя частоту ЗГ (регулятор «F»), получите на экране два близких по частоте колебания.
-
Переведите осциллограф в режим изображения функциональных зависимостей между двумя сигналами (режим X-Y).
-
Изменяя частоту сигнала генератора звуковых частот с помощью регулятора «F», получите на экране осциллографа изображение фигуры Лиссажу (эллипс). Запишите частоту генератора звуковых частот г
Контрольные вопросы
1. Сложение сонаправленных колебаний. Метод векторных диаграмм. Определение разности фаз колебаний.
2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Анализ вариантов траектории движения.
3. Биения. Амплитуда и частота биений.
4. Методы определения частоты неизвестных колебаний.