Задание №2

Исследовать на экстремум функцию двух переменных.

1	Z=x3+3x2y+3xy2-12x+15y+2	17	Z=x3+6x2y+12xy2-27x+42y-3
2	Z=x3+3xy2+6x2+6y2-18x-18y+1	18	Z=y3+3x2y-6x2-6y2-36x-27y+2
3	Z=6xy2-12x2y-y2+54x+48y+1	19	Z=4-y3-6xy2-12x2y+30x+27y
4	Z=x3+3xy2 -3x2-3y2-48x-24y+2	20	Z=x3+3y2x-15x2-15y2+15x-48y
5	Z=x3+6x2y+12xy2-3x+18y+3	21	Z=x3-3x2y+3xy2-34x-27y+2
6	Z=x3+3y2x-6x2-6y2-27x-36y+4	22	Z=y3+3x2y+6x2+6y2-48x-48y+2
7	Z=9xy2-27x2y-y3-27x+12y-2	23	Z=2-y3-3xy2-3x2y+36x+12y
8	Z=x3+3xy2+3x2 +3y2 -75x-30y+2	24	Z=x3+3xy2-6x2-6y2-63x+72y+2
9	Z=x3-6x2y+12xy2-27x+30y+3	25	Z=x3+9x2y+27xy2-12x-27y+2
10	Z=x3+3xy2+6x2+6y2-48x-48y+1	26	Z=x3+3xy2-6x2-6y2-99x-36y+1
11	Z=-y3-3y2x-3x2y-24x+3y+2	27	Z=6xy2-12x2y-y3+18x+3y+2
12	Z=x3+3xy2+3x2+3y2-75x+30y+1	28	Z=x3+3xy2-3x2-3y2-108x+36y+2
13	Z=x3-3x2y+3xy2-12x-36y+3	29	Z=x3+6x2y+12xy2-48x+54y-2
14	Z=x3+3x2y+6xу2+6y2-18x-18y+3	30	Z=x3+3y2x-9x2-9y2-57x+38y+3
15	Z=6y2x-12x2y-y3+42x+27y-1	31	Z=3xy2-3x2y-y3+15x+12y+1
16	Z=y3+3x2y-3x2-3y2-48y-24x	32	Z=y3+3x2y-3x2-3y2-108y+36x+2

Пример. Исследовать на экстремум функцию двух переменных Z=у³+3x²y-3x²-3y²-108у+36х+2.

Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум, используя необходимое условие экстремума. Находим частные производные первого порядка:

z'_x=6xy-6x+36;

z'_y=3y²+3x²-6y-108.

Находим стационарные точки:

Поделим оба уравнения системы на 3 и сложим их:

2ху-2х+12+у²+х²-2у-36=0.

Группируем слагаемые, выделяя полный квадрат:

(х²+2ху+у²)-2(х+у)-24=0,

(х+у)²-2(х+у)-24=0.

Получили квадратное уравнение относительно х+у. Обозначим х+у=t, тогда t²-2t-24=0. Решим квадратное уравнение

D=b²-4ac

D=4+96=100

t_1,2=

1. х+у=6

у=6-х, подставляя в первое уравнение системы, получим:

6х(6-х)-6х+36=0

х(6-х)-х+6=0

6х-х²-х+6=0

5х-х²+6=0

х²-5х-6=0

D=b²-4ac

D=25+24=49

x_1,2=

2. х+у=-4

у=-4-х, подставляя в первое уравнение системы, получим:

6х(-4-х)-6х+36=0

х(-4-х)-х+6=0

-4х-х²-х+6=0

-х²-5х+6=0

х²+5х-6=0

D=b²-4ac

D=25+24=49

x_3,4=

Найдем соответствующие у:

у₁=6-6, у₂=6-(-1), у₃=-4-1, у₄=-4-(-6),

у₁=0, у₂=7, у₃=-5, у₄=2.

Итак, получим следующие точки:

М₁(6,0), М₂(-1,7), М₃(1,-5), М₄(-6,2).

Проверим выполнение в этих точках достаточного условия экстремума. Найдем частные производные второго порядка:

z"_xx=6y-6, z"_xy=6x, z"_yy=6y-6.

Выясним, какие из четырех точек являются экстремумами.

1. М₁(6;0)

А= z"_xx|_M1=60-6=-6;

B= z"_xy|_M1=66=36;

C= z"_yy|_M1=60-6=-6.

Проверим достаточное условие экстремума:

АС-В²=(-6)(-6)-36²=36-1296=-1260<0  экстремума в точке М₁(6;0) нет.

2. М₂(-1;7)

А= z"_xx|_M2=67-6=36;

B= z"_xy|_M2=6(-1)=-6;

C= z"_yy|_M2=67-6=36.

Проверим достаточное условие экстремума:

АС-В²=3636-(-6)= 1296-36=1260>0  экстремум в точке М₂(-1;7) существует, причем так как А=36>0, то минимум. z_min=z(М₂)=z(-1;7)=

=7³+3(-1)²7-3(-1)²-37²-1087+36(-1)+2=343+21-3-147-756-36+2=-576.

3. М₃(1;-5)

А= z"_xx|_M3=6(-5)-6=-36

B= z"_xy|_M3=61=6

C= z"_yy|_M3=6(-5)-6=-36

Проверим достаточное условие экстремума:

АС-В²=-36(-36)-6²= 1296-36=1260>0  экстремум в точке М₃(1;-5) существует, причем так как А=-36<0, то максимум.

z_min=z(М₃)=z(1;-5)=(-5)³+31²(-5)-31²-3(-5)²-108(-5)+361+2=

=-125-15-3-75+540+36+2=360.

4. М₄(-6;2)

А= z"_xx|_M4=62-6=6;

B= z"_xy|_M4=6(-6)=-36;

C= z"_yy|_M4=62-6=6.

Проверим достаточное условие экстремума:

АС-В²=66-(-36)²=36-1296=-1260<0  экстремума в точке М₄(-6;2) нет.

Задания 3-5. Найти неопределенные интегралы.

ЗАДАНИЕ 3а ЗАДАНИЕ 3б

1			1
2			2
3			3
4			4
5			5
6			6
7			7
8			8
9			9
10			10
11			11
12			12
13			13
14			14
15			15
16			16
17			17
18			18
19			19
20			20
21			21
22			22
23			23
24			24

ЗАДАНИЕ 3в ЗАДАНИЕ 3г

1			1
2			2
3			3
4			4
5			5
6			6
7			7
8			8
9			9
10			10
11			11
12			12
13			13
14			14
15			15
16			16
17			17
18			18
19			19
20			20
21			21
22			22
23			23
24			24

Пример. Вычислить .

Решение. Интегрируем по частям.

Обозначим .

Получим

ЗАДАНИЕ 4

1		13
2		14
3		15
4		16
5		17
6		18
7		19
8		20
9		21
10		22
11		23
12		24