4.3. Расчет асферической линзы коллиматора

Угол рассеяния светового пучка, создаваемого коллиматором, зависит от размеров излучающего тела источника света и сферической аберрации оптической системы. Продольная и поперечная сферические аберрации возникают из-за того, что степень преломления лучей, попадающих на края линзы, больше, чем степень преломления приосевых (параксиальных) лучей, расположенных ближе к центру (рис.4.13).

Рис.4.13. Сферическая аберрация

При этом даже в случае точечного источника света, расположенного в фокусе коллиматора, световые лучи, выходящие из коллиматора, образуют с оптической осью некоторый угол (рис. 4.4), величина которого быстро возрастает с увеличением апертурного угла .

Влияние сферической аберрации можно уменьшить до необходимых пределов путем подбора комбинаций из нескольких положительных и отрицательных линз со сферическими поверхностями, так как они дают сферическую аберрацию разных знаков (рис. 4.14).

а) б)

Рис. 4.14. Сферическая аберрация в изображении точки, лежащей на оптической оси: а-положительная линза; б-отрицательная линза

Однако многолинзовый коллиматор получается довольно сложным и дорогим в изготовлении, имеет сравнительно небольшие апертурные углы, большие потери светового потока и увеличенные массогабаритные параметры.

Применение линз с асферическими поверхностями позволяет решить не только проблему массогабаритных параметров светооптической системы, но и свести к минимуму или полностью устранить различного рода аберрации при больших апертурных углах.

Формы для линз с асферическими поверхностями создаются на прецизионных станках, а сама линза изготавливается методом горячего прессования стекла с укреплением на ее поверхности тонкого асферического слоя из пластика. Другой метод предусматривает инжекторное литье под давлением пластиковых линз с требуемой формой поверхностей.

Для линзы с одной асферической поверхностью сферическую аберрацию можно устранить, если воспользоваться принципом Ферма – условием постоянства оптической длины хода вдоль любого из лучей светового пучка, исходящего из точки предмета и сходящегося в одну точку изображения [40].

Пусть преломляющая асферическая поверхность разделяет две среды с показателями преломления n′ и n. На рис 4.15 показан ход луча, исходящего из фокуса F асферической линзы и идущего параллельно оптической оси после преломления на асферической поверхности.

Определим оптические длины хода вдоль преломленного луча, а также вдоль луча, совпадающего с осью системы.

При этом условие Ферма сведется к соблюдению следующего равенства:

. (4.20)

Величина отрезка l может быть определена как гипотенуза прямоугольного треугольника FMK, в котором МK=y.

Таким образом, можно написать:

. (4.21)

Рис.4.15 Схема к расчету асферической линзы

Разделив обе части уравнения (4.21) на n′ и возведя в квадрат, после преобразований получим:

. (4.22)

С учетом того, что после асферической линзы выходит параллельный пучок лучей, отрезок будет равен переднему фокусному расстоянию f линзы. Поэтому уравнение (4.22) можно переписать в следующем виде:

. (4.23)

Формула (4.23) показывает, что условие устранения сферической аберрации приводит к асферической поверхности вращения второго порядка. При этом, если n<n′, то поверхность будет эллиптической, а при n>n′ поверхность будет гиперболической.

На основании этого можно реализовать плоско-гиперболическую линзу, обращенную плоской стороной к источнику света и свободную от сферической аберрации. Обращаясь к формуле (4.23) и полагая n′=1, что соответствует преломлению из стекла в воздух, получим:

. (4.24)

В качестве примера выполним расчет плоскогиперболической линзы для коллиматора светооптической системы LCD видеопроектора при следующих исходных данных: n=1,5; f=40мм. При этих исходных данных уравнение гиперболической поверхности будет иметь следующий вид:

. (4.25)

Максимальное значение y_max определим из условия перекрытия световым пучком всей площади кадра изображения (ЖК-матрицы), т.е. 2y_max>l_м, где l_м-диагональ матрицы.

При использовании ЖК-матрицы с диагональю 1,3дюйма (l_м=33мм) 2y_max>33мм.

Начало координат X и Y совпадает с вершиной асферической поверхности, поэтому при расчетах координата Х имеет знак минус (рис. 4.15).

Примем абсциссы Х точек преломления лучей равными: 0; -1; -2; -5, -7; -8мм. Тогда, согласно полученному уравнению (4.25), величины ординат Y в пределах половины светового диаметра линзы будут соответственно равны: 0; 6,4; 9,2; 15,2; 18,5; 20мм. Расстояние от излучающей площадки источника света до плоской поверхности линзы будет равно

.

При этом половину угла охвата плоскогиперболической линзы можно определить по формуле

.

Тогда полный угол охвата линзы будет 2U=64⁰.

Таким образом, с помощью линзы с одной асферической поверхностью можно обеспечить исправления сферической аберрации для одного апертурного угла (в данном случае угла охвата), если обеспечивается необходимое для этой цели расположение асферической поверхности в системе.

Вместе с тем, в случае исправления сферической аберрации для нескольких апертурных углов или высот при соблюдении условия синусов для всех тех углов, для которых будет исправлена сферическая аберрация, необходимы как минимум две асферические поверхности, разделенные толщиной или воздушным промежутком конечной величины.

На рис. 4.16 показан ход луча через две асферические поверхности.

Рис.4.16. Схема к расчету линзы с двумя асферическими поверхностями

Апертурный луч N₁N₂F' пересекает первую поверхность в некоторой точке N₁ на высоте h₁=Y₁ от оси системы. Вторую преломляющую поверхность луч пересекает в точке N₂ на расстоянии У₂ от оси.

Абсциссами точек N₁ и N₂ в системах координат, начала которых совмещены с вершинами S₁ и S₂ обеих поверхностей, являются x₁ и х₂. Апертурный луч пересекает ось системы в точке F' (задний фокус системы). За показатели преломления сред, разделяемых обеими поверхностями, приняты n_l n₂ и n₃. Фокусное расстояние системы равно fo'.

В соответствии с условием синусов можно написать

, (4.26)

где u₃ - величина выходного апертурного угла;

sin u₃=A - числовая апертура линзы.

Отрезок от вершины второй поверхности до заднего фокуса обозначим S₀'.

В первом приближении примем, что преломление луча происходит не на асферической поверхности, а на плоскостях, касательных к вершинам асферических поверхностей в некоторых точках N₁*и N₂*, отстоящих от оси системы на расстояния, равные Y₁*и Y₂*. Ход такого фиктивного луча показан на рис. 4.16 пунктирной линией.

Угол этого фиктивного луча с осью системы обозначим через u₂*. Этот угол можно определить по формуле

. (4.27)

Определив величины углов u₁=0, u₂* и u₃, найдем значения углов γ нормалей к обеим асферическим поверхностям [40].

(4.28)

. (4.29)

Если через данную систему задан ход нескольких лучей, то для всех этих лучей необходимо найти значения углов нормалей с осью системы. Сначала, задавая профили обеих поверхностей в виде уравнений

(4.30)

(4.31)

и дифференцируя полученные формулы, находим выражения тангенсов углов γ₁ и γ_2;

(4.32)

(4.33)

В формулах (4.30) - (4.33) коэффициенты A₁ и А₂ представляют собой обратные величины удвоенных радиусов кривизны г₀ поверхностей в их вершинах:

. (4.34)

Из рис. 4.16 видно, что

.

Величину радиуса кривизны r₀₂ в вершине второй поверхности можно определить из выражения [40]

(4.35)

Тогда

. (4.36)

С учетом того, что

формула (4.36) будет иметь вид:

. (4.37)

Таким образом, в формулах (4.32) и (4.33) неизвестными являются величины коэффициентов, начиная с коэффициентов В и выше.

Приравнивая в формулах (4.32) и (4.33) значения тангенсов углов γ₁ и γ₂ их значениям, найденным по формулам (4.28) и (4.29), получим для нескольких апертурных углов две системы линейных уравнений относительно коэффициентов В, С и т.д.

Каждый луч, для которого устраняем сферическую аберрацию и отступление от условия синусов, даст по два уравнения (4.32) и (4.33).

Получив в результате решения систем линейных уравнений коэффициенты В, С и т.д. и введя их в уравнения (4.30) и (4.31), найдем ряд значений величин X, соответствующих некоторым новым профилям асферических поверхностей, более близких к истинному профилю, нежели исходные прямые, перпендикулярные оси системы. На этих новых профилях можно определить высоты (величины Y) входящего и выходящего из системы лучей. Величину Y₂ на второй преломляющей поверхности (см. рис.4.16) можно определить по формуле

(4.38)

Величина высоты Y₁ на первой преломляющей поверхности останется неизменной.

Полученные более точные значения координат точек пересечения рассматриваемых лучей с обеими преломляющими поверхностями позволяют уточнить величину угла u₂. Из рис.4.16 имеем

tgu₂=Y₁-Y₂/(d-x₁+x₂). (4.39)

Определив из этой формулы значение угла u₂, введем его в формулы (4.16) и (4.17), заменив в них этим значением прежние значения углов u₂*.

В результате получим более точные значения углов γ₁ и γ₂

Далее, используя уточненные значения углов γ₁ и γ₂ и величин Y₂ (величины Y₁ сохраняются неизменными), получим уже второе приближение для величин X и т.д.

Процесс последовательных приближений может быть прерван в тот момент, когда при переходе к следующему приближению, величины Y будут изменяться в шестой значащей цифре, т.е. уже за пределами точности пятизначных логарифмических таблиц.