37 Представление синусоидальных величин векторами. Векторные диаграммы для цепей переменного тока.

Электрические цепи, в которых действуют изменяющиеся во времени синусоидальные токи и напряжения называются цепями переменного тока.

Любая синусоидальная функция времени a(t) может быть однозначно задана тремя параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Ее значение в любой момент времени t определяется выражением вида

a(t) = a = Amsin(ωt+ ψ a), где

(1)

A_m - максимальное значение функции или ее амплитуда;

ω - угловая частота или скорость изменения аргумента функции, выраженная в [радиан/с];

ψ _a- начальная фаза (аргумент функции в момент времени, принятый за начало отсчета, т.е. при t = 0) в [радиан].

Аргумент синусоидальной функции ωt+ ψ _a , называется фазой или фазовым углом. Он определяет значение функции a(t) в любой момент времени.

Кроме угловых величин, аргумент синусоидальных функций можно представить также через временные величины, используя связь угловой частоты с частотой f [Гц=1/с] или с периодом T=1/f [с] в виде  =2 f =2 /T. Тогда ω t+ ψ _a = 2(t+_aT/2)/T. Этому представлению соответствуют верхние обозначения оси абсцисс на рис. 1.

В электрических цепях переменного тока синусоидальными функциями времени являются ток, падение напряжения и ЭДС

i = I_msin(ω t+ ψ _i) ; u = U_msin(ω t+ ψ _u) ; e = E_msin(ω t+ ψ _e) .

Для этих величин принят ряд соглашений по обозначениям, имеющим нормативную силу.

Мгновенные значения токов, напряжений и ЭДС следует обозначать строчными буквами в виде i , u и e .

Максимальное значение или амплитуда обозначается соответствующей прописной буквой с индексом m (I_m, U_m, E_m).

Помимо этих величин в цепях переменного тока широко используют т.н. действующие значения. Понятие действующего значения определяется из условия равенства теплового эффекты переменного и постоянного токов. Пусть через некоторый участок электрической цепи с сопротивлением r протекает переменный ток i. Тогда по закону Джоуля-Ленца на этом участке за время T, соответствующее периоду тока i, будет выделено количество тепла равное

.

величина постоянного тока эквивалентного переменному току по количеству выделяемого тепла называется действующим или среднеквадратичным значением переменного тока. Действующее и амплитудное значения синусоидального тока связаны между собой постоянным коэффициентом.

Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса.

Кроме действующих значений для синусоидальных величин иногда используются также средние значения. Под средним значением любой величины за интервал времени от t₁ до t₂ понимается

.

Но интеграл от синусоидальной функции за период равен нулю, поэтому для определения среднего значения используют интервал времени в половину периода. Тогда для тока получим:

.(4)

Для напряжений и ЭДС средние значения определятся аналогично

.(5)

38 Активная, реактивная, полная, комплексная мощности в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока.

Понятие потенциала или разности потенциалов u позволяет определить работу, совершаемую электрическим полем при перемещении элементарного электрического заряда dq, как dA = udq. В то же время, электрический ток равен i = dq/dt. Отсюда dA = ui dt, следовательно, скорость совершения работы, т.е. мощность в данный момент времени или мгновенная мощность равна

,

(1)

где u и i - мгновенные значения напряжения и тока.

Величины тока и напряжения, входящие в выражение (1), являются синусоидальными функциями времени, поэтому и мгновенная мощность является переменной величиной и для ее оценки используется понятие средней мощности за период. Ее можно получить, интегрируя за период T работу, совершаемую электрическим полем, а затем соотнося ее с величиной периода, т.е.

.

(2)

Пусть u=U_msin t и I_msin(ω t- ψ ), тогда средняя мощность будет равна

(3)

т.к. интеграл второго слагаемого равен нулю. Величина cos называется коэффициентом мощности.

Выражение (3) можно представить также с помощью понятий активных составляющих тока I_а и напряжения U_а в виде

P = UI cos = U(I cos ) = UIа = I(U cos ) = IUа .

(4)

Учитывая, что активные составляющие тока и напряжения можно выразить через резистивную состаляющую комплексного сопротивления цепи как I_а=U/R или U_а=IR , выражение (4) можно записать также в форме

P = I2R = U2/R .

(5)

Среднюю мощность P называют также активной мощностью и измеряют в ваттах [Вт].

Выделим подинтегральную функцию выражения (3)

(6)

Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой сети относительно постоянной составляющей UIcos равной средней или активной мощности.

При cos = 1 ( = 0) , т.е. для цепи, обладающей чисто резистивным сопротивлением

(7)

Положительные значения мгновенной мощности соответствуют поступлению энергии от источника в электрическую цепь. Следовательно, при резистивной нагрузке вся энергия поступающая от источника преобразуется в ней в тепло.

При cos = 0 ( =   /2) , т.е. для чисто реактивной цепи

	(8)
	(8)

Рассмотрим энергетические процессы в последовательном соединении rLC (рис. 2). Падение напряжения на входе цепи уравновешивается суммой падений напряжения на элементах u=u_r+u_L+u_C . Мгновенная мощность в цепи равна

u i=uri+uLi+uCi

(9)

Пусть напряжение и ток на входе равны u=U_msint и I_msin(t- ). Тогда падения напряжения на элементах будут u_r= rI_msin(t- ), u_L=  LI_msin(t- + /2) = x_LI_msin(t- + /2), u_C= I_msin(t- - /2)/( C) = x_CI_msin(t- - /2). Подставляя эти выражения в (9), получим

	(10)
	(12)

Величина S называется полной или кажущейся мощностью. Из выражения (12) следует, что полную мощность можно представить гипотенузой прямоугольного треугольника с углом  , катетами которого являются активная и реактивная мощности.

Таким образом, полная мощность это максимально возможная активная мощность, т.е. мощность, выделяющаяся в чисто резистивной нагрузке (cos = 0). Именно эта мощность указывается в паспортных данных электрических машин и аппаратов.

Реактивные составляющие токов и напряжений можно представить через активные и реактивные составляющие комплексного сопротивления, тогда для составляющих мощности

P = UIа = I2R = UаI = U2/R = U2G ; Q = UIр = I2X = UрI = U2/X = U2B ; S = UI = I2Z = U2/Z = U2Y. (13)

Треугольник мощностей можно описать также с помощью комплексных чисел и изобразить векторами на комплексной плоскости в виде