Производная сложной и обратной функции
Производная сложной функции.
Например ln(cos(2x))
Для любой функции: y=y`x+x (1)
y=f(x) φ(t)
x – промежуточный аргумент
t – конечный аргумент
Разделим
(1) на t
получим (2)
Перейдём к пределу (2)
y`t=y`x x`t+0
Второе слагаемое в правой части обращается в 0 т.к. – бесконечно малая функция более высокого порядка чем x и t.
Производная обратной функции
y=f(x) x=f-1(y)
y=sin(x) x=arcsin(y)
y=ax x=logay
Если имеем прямую ф-цию, непрерывную, дифференцируемую в точке x0, то производная прямой и обратной функции связаны следующим соотношением:
Доказательство:
Запишем производные в приращениях.
Перейдем к пределу в равенствах (1) при y0
Производная сложной и обратной
функции
lim{x0}y=0
Ввиду того, что прямая ф-ции y=f(x) непрерывна при y0; x0 x0 тогда, то что прямая дифференцируема существует предел в знаменателе правой части соотоношения (2). Существует предел в левой части x `(y)=1/y по x.
Правило дифференцирования
(Суммы, производной, частного ф-ций)
Понятие производной.
Геометрический и физический смысл
Геометричесский смысл производной – тангенс угла наклона касательной к кривой.
Таблица Производных Элементарных
Функций
Таблица производных элементарных фуекций. Вычисление производных связано с вычислением предела отношения Δy/x. Поэтому на практике удобно пользоваться готовой таблицей элементарных функций:
Параметрическое Дифференцирование Функций
Пусть дана функция
по определению производной имеем
Производная
параметрически заданной функции.
Пример:
Логарифмическое дифференцирование
Если дифференцируемая функция имеет сложный вид, а именно содержит степени, произведения, частное, то перед дифференцированием её целесообразно прологарифмировать, при этом функция примет линейный или более простой вид, дифференцирование которой намного проще. Дифференцирование степенно-показательных функций проводится только после предварительного логарифмирования.
Пример:
y=xx
ln(y)=xlnx
y`=xx(lnx+1)
Логарифмическое Дифференцирование
Пусть дана функция
по определению производной имеем
Производная
параметрически заданной функции.
Пример:
Логарифмическое дифференцирование
Если дифференцируемая функция имеет сложный вид, а именно содержит степени, произведения, частное, то перед дифференцированием её целесообразно прологарифмировать, при этом функция примет линейный или более простой вид, дифференцирование которой намного проще. Дифференцирование степенно-показательных функций проводится только после предварительного логарифмирования.
Пример:
y=xx
ln(y)=xlnx
y`=xx(lnx+1)
Логарифмическое Дифференцирование
Параметрическое Дифференцирование Функций
Таблица Производных Элементарных
Функций
Дифференциал Функции
Геометрический Смысл Дифференциала
y=y`x+αx
Xn=A+αn,
где
α
–
Бесконечно малая
величина.
Из этого равенства видно, что приращение функции y состоит из двух слагаемых.
y=BD = DC+CB. Отрезок DC есть приращение касательной.
y=y`x+x (1)
y=DC+BC
(1) при x0 есть бесконечно малая ф-ция стремящаяся к нулю. Т.о. дифференциалом функции называют главную часть приращения функции.
Для однотипного обозначения x и y обозначим x через dx
