Теорема о пределах функции (сумма, произведение и частное)

Пусть функция f(x) и (x) имеют пределы в точке х=а, т.е. lim{xa}f(x)=B; а предел функции lim{xa}(x)=C.

Тогда предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, частному (при С0) пределов этих функций.

lim{xa}[(x) ± f(x)]= C ± В

lim{xa}(x)f(x)=CВ

Докажем для определённости предел частного двух функций.

Доказательство:

Пусть аргумент х изменяясь образует числовую последовательность x₁; x₂; x₃; …; x_n и эта последовательность сводится к а. Тогда (x) и f(x) образуют соответственно числовые последовательности:

f(x₁); f(x₂); f(x₃); …; f(x_n)B

(x₁); (x₂); (x₃); …; (x_n)C

Тогда имеем предел частного двух числовых последовательностей:

Тогда по теореме о пределе частного двух сходящихся последовательностей, имеем.

Первый, Второй замечательные пределы

Первый замечательный предел

SOBC>SOAmB>SOAB

SOAB=1/2*R²sin(x)

SOAmB=1/2*R²* x

SOBC=1/2*R²tg(x)

Подставим значение площадей в неравенство

1/2*R²tg(x)> 1/2*R²* x >1/2*R²sin(x)

tg(x)> x > sin(x) аргумент x в I четверти sin(x)>0, разделим неравенство на sin(x), получим

Перейдём к пределу при x0, получим:

В неравенстве предел sin(x)/x при x0 с одной стороны <1, а с другой >1, то остаётся одно – равно 1.

Второй замечательный предел:

или

Первый, Второй замечательные пределы

Теорема о пределах функции

(сумма, произведение и частное)

Бесконечно малые функции

и операции с ними

Связь бесконечно малых функций,

сравнение их

Функция f(x) называется бесконечно малой в точке x=0 если предел при x0 функции f(a)=0.

lim{x 0}sin(x)=0 lim{x 0}arcsin(x)=0

lim{x0}tg(x)=0

При произведении, сумме, разности бесконечно малых ф-ций получается бесконечно малая функция. Рассмотрим отношение двыух бесконечно малых функций.

(Конечное)

Эти функции называют бесконечно малыми функциями одного порядка.

Если А=1, то такие функции называют эквивалентными бесконечно малыми функциями.

Sin(x)x эквивалентно x0.

Если

то f(x)<(x)

Если

то f(x)>(x)

Аналогичное сравнение можно провести с бесконечно большими функциями.

Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывной функции.

Непрерывность функции – одно из важнейших свойств функции. Определение непрерывности ф-ции даётся на основе понятия предела функции. Определение: функция f(x) непрерывна в точке x₀, если имеет место следующее равенство: lim(x 0)f(x)= f(x₀)

Из определения непрерывности ф-ции что имеет место следующее равенствоlim(x x₀-0)f(x)= f(x)= lim(x x₀+0)f(x).

Из первого определения непрерывности ф-ции следует второе определение непрерывности ф-ции. Если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ции в точке x₀, то ф-ция непрерывна в этой точке.

Сво-во1: Все элементарные ф-ции в ОДЗ являются непрерывными ф-циями.

Докажем неразрывность одной из элементарных функций f(x)=sin(x); xx

y= f(x+x)-f(x)= sin(x+x)- sin(x)

lim(x0)y=lim(x0)[sin(x+x)-sin(x)]= = lim(x0) [sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)-sin(x)]== lim(x0) (sin(x)- sin(x))=0

Сумма, произведение, частное двух непрерывных ф-ций является непрерывная ф-ция в точке x₀.

Докажем, что частное непрерывных ф-ций в точке x₀ - есть непрерывная ф-ция. Если ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀

lim(x x₀)f(x)=f(x₀)=A; lim(x x₀)g(x)=g(x₀)=B.

На основании теоремы об операциях с предельными функциями (Предел суммы, разности, произведения, частного равен соответственно сумме, разности, произведению, частному (B0)