- •Свойства Элементарных функций
- •Понятие предела функции в точке. Односторонние пределы.
- •Понятие предела функции в точке.
- •Теорема о пределах функции (сумма, произведение и частное)
- •Первый, Второй замечательные пределы
- •Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывной функции.
- •Свойства непрерывной функции на отрезке, Типы точек разрыва
- •Свойства непрерывной функции на отрезке,
- •Правило дифференцирования (Суммы, производной, частного ф-ций)
- •Производная сложной и обратной функции
- •Производная сложной и обратной
- •Логарифмическое Дифференцирование
- •Производные и Дифференциалы Высших Порядков
- •Основные Теоремы Анализа (Ферма, Ролля)
- •Основные Теоремы Анализа
Свойства непрерывной функции на отрезке, Типы точек разрыва
Если ф-ция f(x) непрерывна в каждой точке отрезка АВ, то говорят она непрерывна на этом отрезке. Ф-ция непрерывная на АВ обладает следующими св-ми:
1.Если ф-ция f(x) непрерывна на АВ, то внутри этого отрезка найдётся такое значение x, хотя-бы одно при котором ф-ция принимает наименьшее или наибольшее значение.
2.Если ф-ция f(x) непрерывна на интервале АВ, принимает некоторое значение М и m, а значение m<k<M, то найдётся такое x на интервале АВ, что f(x)=k
Точки разрыва ф-ции. Если ф-ция f(x) разрывна в точке x0, то точку x0 называют точкой разрыва f(x).
Точки разрыва определяют по следующим типам:
1.Точки устранимого разрыва – это такие точки в которых ф-ция не существует, а левый и правый пределы равны в этой точке. (Пример: I замечательный предел). Чтобы устранить разрыв нужно доопределить ф-цию в этой точке.
Точки разрыва первого типа: такие точки в которых левые и правые пределы конечны и неравны между собой. Этот разрыв называют – разрыв типа скачка.
Точки разрыва второго типа – когда левый или правый или оба – бесконечны.
Свойства непрерывной функции на отрезке,
Типы точек разрыва
Непрерывность функции в точке.
Свойства непрерывной функции.
пределов этих функций.) можем записать предел частного. На основании определения непрерывности ф-ции является непрерывной.
Если имеем сложную ф-цию образованную суперпозицией некоторых других ф-ций
Если образующие сложную ф-цию образующих x0, то сложная ф-ция непрерывна в этой точке.
Если f(x)>0 и непрерывна в точке x0 и ф-ция g(x) непрерывна в точке x0, то степенно-показательная ф-ция непрерывна в этой точке.
Связь бесконечно малых функций,
сравнение их
Понятие производной.
Геометрический и физический смысл
Возьмём отношение y и x при x0 и y0, но в отношении эти две бесконечно малые величины y и x могут иметь любое значение. Тогда имеет смысл рассмотреть предел этого отношения при x0
Выражение (1) показывает какая из величин x и y стремиться к нулю быстрее. И если этот предел конечен, то соотношение (1) называют производной ф-ции, и обозначают или.
В механическом смысле – производная представляет следующее: пусть некоторая точка М движеться по некоторой траектории S(t) в некоторый момент (t) точка М находится в А
(S(t)A, через некоторое время t точка М перейдёт в точку S(t+t)- S(t)0
Средняя скорость движения точки недостаточно характеризует движение т.е. на каких-то участках скорость меньше средней, а на других больше. Чтобы получить скорость в каждый момент времени т.е. мгновенную скорость, нужно уменьшать t и перейти к пределу при t0;
Производная – мгновенная скорость движения точки по своей траектории.
Правило дифференцирования (Суммы, производной, частного ф-ций)
Если имеем две функции U(x) и V(x), которые имеют производные в точке x0 т.е. U`(x) и V`(x), то производные суммы произведения, частного этих функций соответственно равны:
Доказательство:
U+V=(x)
xx +x; (x)(x+x)-(x)=U(x+x)+V(x+x)-
-U(x)-V(x)