Дифф-е ф-ий мног. Перемен. Частные произв. 1 и высш. Пор.

Для ф–ии мног. перем. гов. о частной произв. по какой-либо перемен.

дано: u=f(x₁,x₂…x_n)

частич. прир. по перем. x_i:

Δ_xif=f(x₁, x₂…x_i-1, x_i+Δx_i, x_i+1…x_n)-f(x₁, x₂…x_i…x_n)

опр.: частной произв. по перемен. x_i наз.:

обозн.: u_xi^’=∂u/∂x_i оконч-но:

Прав., извест. для ф-ий 1 перем. вып. и здесь. Прав. нахожд. частн. произв. по какой-то перемен. те же, что и для ф-ий 1 перем., в предполож., что все остальн. перемен. явл. константами.

Поск-ку част. произв. 1 пор. - ф-ии нес-ких перем., опред. в какой-то обл., то их также можно диф-вать. Произв. от 1 произв – произв 2 пор.

дано: u=f(x₁..x_n)

∂u/∂x₁=₁(x₁, x₂…x_n) ∂u/∂x₂=₂(x₁, x₂…x_n)…∂u/∂x_n=_n(x₁, x₂…x_n)

Теор.:

iо

произв. от произв 2 пор. – произв. 3 пор. и т.д.

для ф-ии 2 перемен.: z=f(x,y)

z_x^’ z_y^’

z_xx^’’ z_xy^’’ z_yx^’’ z_yy^’’

Теор.: (о рав-ве смеш. произв.) если z=f(x,y) непрер-но диф-ма вместе со своими частн. произв. до 2 пор. включ-но, то смеш. производные равны друг другу.

зам.: при вып. соотв. условий теор. верна для частн. произв. более выс. порядка.

зам.: при выполн. соотв. условий теорема о рав-ве смеш. произв. вып. для ф-ий больш. кол-ва переменных, чем 2.

z=f(x,y)

z_x^’ z_y^’

z_xx^’’, z_xy^’’, z_yy^’’

z_xxx^’’’, z_xxy^’’’, z_xyy^’’’, z_yyy^’’’

Дифференциалы 1 порядка.

Для ф-ии 1 перемен. диф-ал 1 пор. – гл. часть приращ.

Ф-ия 2 пермен. наз. дифф-мой в т. (x,y) если ее приращ. представимо в виде: Δz=(f_x’(x,y)+α₁)Δx+(f_y’(x,y)+α₂)Δy=f_x’(x,y)Δx+f_y’(x,y)Δy+(α₁Δx+α₂Δy)

обозн.:

Диф-ал ф-ии 2 перемен. зав. от 4 пермен.: x,y,Δx,Δy

если z=x, то dz=dx=Δx, если z=y, то dy=Δy и : dz=f_x’(x,y)dx+f_y’(x,y)dy

СВОЙСТВА:

1) d(z₁(x,y)±z₂(x,y))=dz₁(x,y)±dz₂(x,y)

2) d(z₁·z₂)=z₂·dz₁+z₁·dz₂

3) d(z₁/z₂)= z₂·dz₁-+z₁·dz₂/z₂²

4) св-во инвариантн-ти: df(x)=f’(x)dx

В приближ. вычисл.: f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+dz(x,y,Δx,Δy)

Дифф-алы высш. пор. для ф-ий мног. перемен.

Диф-ал 2 пор. – это диф-ал от 1 пор. d²z=d(dz)

dⁿz=d(d^n-1z)

Для z=f(x,y) где x и y – назавис. пермен.:

d²z=z_xx’’(dx)²+2z_xy’’dxdy+z_yy’’(dy)²

Для упрощ. написан. ф-л диф-лов высш. пор. польз. оператором:

С пом. него можно написать:

Прим. ф-лу бинома Ньютона можно найти ф-лу для n-ого диф-ла:

для ф-ии z=f(x₁,x₂…x_n):

замеч.: если для ф-ии z=f(x,y) x=x(u,v) то уже для 2 диф-ла y=y(u,v) св-во инвар. отсутствует.

Табл. осн. неопред. интегр. 1) т.к. 2) 3) a>0, a1 4) 5) 6) 7) 8) 8~) a0 9) 10) «длинный логарифм»: 11) «высокий логарифм»: 12) 13) 14) 15)

Производная по напр. Градиент. Связь между произв. по

Напр. И градиентом.

Говор., что в т. М(x,y)DR² зад. скал. поле если u=u(x,y)

Хар. скал. поля – линии уровня u(x,y)=c Если т. М(x,y,z)DR³

u=u(x,y,z) u(x,y,z)=с – пов-ть уров.

дано: т. M(x,y,z) т.M₁(x+Δx,y+Δy,z+Δz)

опр.: произв. по напр. назыв.:

обозн.: ∂U/∂S

исх. из опр. ясно что произв. по напр. дает скор. измен. поля в дан. напр.

из опр.:

для плоск. поля:

Градиент скал. поля U=U(x,y,z)

направление градиента:

1) для плоск. случ.: U=U(x,y)

Град. напр. по нормали к лин. уров. U(x,y)=с

Угл. коэф. кас., норм.: k₁=y’(x)=-U’_x/U’_y k₂=-1/k₁=U’_y/U’_x

опр.: каст. пл-тью к пов-ти S F(x,y,z)=0 в т.M₀(x₀,y₀,z₀) S наз. пл-ть содерж. все каст. прямые, провед. к люб. лин, лежащим на пов-ти S и прох. через т.M₀

Нормаль – перпенд. к касат. пл-ти в дан. т.

Ур-е кас. пл-ти:

Ур-е норм.:

в папр. град. произ. по напр. максим.

Табл. произв. осн. эл. ф-ий

1) (x^)’=x^-1 степ. ф-ия

2) (a^x)’=a^xlna a>0 a1 показ. ф-ия

(e^x)’=e^x

3) (log_ax)’=1/xlna a>0 a1

(lnx)’=1/x логар. ф-ия

4) (sinx)’=cosx тригон. ф-ии

(cosx)’=-sinx

(tgx)’=1/cos²x

(ctgx)’=-1/sin²x

5) (arcsinx)’=1/ обрат.тр.ф.

(arccosx)’=-1/

(arctgx)’=1/1+x²

(arcctgx)’=-1/1+x²

6) (chx)’=shx

(shx)’=chx

(thx)’=1/ch²x

(cthx)’=-1/sh²x