- •Высшая математика Ответы на вопросы
- •15. Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность, частные производные
- •Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения.
- •Признак Даламбера сходимости знакоположительного ряда
- •Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах
- •6. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование путем замены переменной и интегрирование по частям.
- •7. Понятия интегральной суммы и определенного интеграла. Свойства определенного интеграла
- •8. Интегральная теорема о среднем значении
- •9. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •10. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
Высшая математика Ответы на вопросы
15. Функции нескольких переменных. Предел, непрерывность, частные производные
Понятие функции нескольких переменных. Функция нескольких переменных имеет вид:
z = f (x,y,…).
Всякая функция от нескольких переменных становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать, т.е. придать им постоянные значения.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных
z = f (x,y) (15.1)
является поверхность в пространстве Оxyz.
Частные приращения. Пусть z = f (x,y) есть функция от двух переменных x и y. Дадим переменной х приращение х, оставляя переменную y неизменной. Тогда частным приращением функции f (x,y) по переменной x называется разность
xz = f (x + x,y) - f (x,y).
Аналогично записывается частное приращение функции f (х,у) по переменной у:
yz = f (x, y + y) – f (x,y).
Если обе переменные х и у получили соответственно приращения х и у, то соответствующее приращение функции
z = f (x + x, y + y) – f (x,y)
называется полным приращением функции f (x,y) или просто приращением функции. Полное приращение не равно сумме частных приращений.
Непрерывность. Функция от двух переменных f (x,y) называется непрерывной в точке (x0,y0), если 1) функция определена в данной точке; 2) бесконечно малым приращениям x0 = x – x0 и y0 = y – y0 переменных x и у соответствует бесконечно малое приращение f (x0,y0) функции f (x,y). Иначе говоря при любом (если для него имеет смысл приращение функции) стремлении приращения переменных х и у к нулю, выполнено условие
. Функция от двух переменных f (x,y) называется непрерывной в данной области, если эта функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области, т.е. для каждой точки (x,y) области выполняется равенство:
. (15.2)
Иначе говоря, функция непрерывна тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям ее аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.
Из формулы 15.2 следует, что
f (x + x, y + y) = f (x,y) + ,
где - бесконечно малая при х 0 и у 0, т. е. если функция f (x,y) непрерывна, то значения ее в двух бесконечно близких точках отличаются друг от друга на бесконечно малую функцию. Положим x + x = x1 и y + y = y1. Очевидно, что при х 0 и у 0 имеем х х1 и у у1 и обратно. Тогда из формулы 15.2 получаем эквивалентное определение непрерывности функции двух переменных:
.
Частные производные. Пусть дана функция z = f (x,y) (функция определена в некоторой полной окрестности точки х,у). Рассмотрим отношение частного приращения фукнции z по переменной х к приращениюх этой переменной:
.
Предел этого отношения при х стремящемся к нулю, если таковой существует, называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x,y) по х и обозначается так:
Аналогично определяется частная производная функции z по у. Итак, частной производной функции от нескольких переменн.
ых по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю:
.
Отсюда видно, что частная производная функции от нескольких переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными:
, где у = const, и т.д.
Следовательно, частное дифференцирование подчиняется всем известным правилам дифференцирования.
Геометрический смысл частной производной: частная производная функции двух переменных f (x,y) по переменной х есть коэффициент наклона касательной к кривой, представляющей собой сечение поверхности, описываемой данной функцией, соответствующей плоскостью, параллельной координатной плоскости Oxz.