1. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения.

Понятие числового ряда. Числовым рядом называется символ

а₁ + а₂ + а₃ + … + а_n,

где а₁, а₂, а₃,…, a_n – элементы некоторой числовой последовательности. Иначе говоря, ряд есть сумма бесконечного числа слагаемых. Число a_n называется n-м членом ряда.

Сумма S_n = a₁ + a₂ +…+a_n называется n-й частной суммой ряда. Рассмотрим последовательность S_n, сост

,

авленную из частных сумм некоторого ряда: S₁, S₂, … S_n… Если

то данный ряд называется сходящимся, а число S = - суммой ряда. Если последовательность, составленная из частных сумм ряда не имеет предела, то ряд называется расходящимся . Таким образом, сумма бесконечного числа слагаемых не всегда имеет смысл.

Примеры:

1. Сумма бесконечного числа членов геометрической прогрессии с : 1 +q² +…+ qⁿ + … Существует сумма ряда . Поэтому такой ряд является сходящимся.

2. Ряд сходится.

3. Ряд (гармонический) расходится.

Необходимый признак сходимости. Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то . Доказательство: мы имеем

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n;

S_n-1 = a₁ + a₂ + … + a_n-1.

Отсюда a_n = S_n – S_n-1. Так как данный ряд сходится, то . Следовательно

ч. т. д.

Некоторые ряды (например, гармонический) удовлетворяют этому признаку, однако являются расходящимися.

Замечания:

1. Если ряд сходится и имеет сумму A, то ряд (k = const  0) также сходится и имеет сумму kA. Если ряд расходится, то также расходится.

Доказательство: рассмотрим n-ю частную сумму ряда :

ka₁ + ka₂ +…+ ka_n = k (a₁ + a_n) = kA_n.

Константу можно выносить за знак предела, поэтому ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится ряд .

2. Если отбросить конечное число первых членов ряда, то характер сходимости не изменится. Доказательство: отбросим первые k членов ряда:

a_k+1 + a_{k + 2} = _n = a_k+1 +…+ a_k+n.

Весь ряд S_k+n:

S_k+n = a₁ + a₂ +…+ a_k + _n = _n + const.

Поэтому ряд с отброшенными k членами сходится тогда же, когда сходится исходный ряд (по свойствам пределов).

3. Пусть даны два ряда: и. Тогда:

а) Если оба ряда сходятся и имеют суммы А и В соответственно, то ряд также сходится и имеет сумму А + В.

б) Если один ряд сходится, а другой расходится, то ряд расходится.

Доказательство: а) Ряд получается почленным сложением двух исходных, поэтому таким же образом получаются и частные суммы. Поскольку предел суммы существует и равен сумме пределов, то рядсходится, а его сумма равна А + В; б) Предположим, что рядS_n = cходится. Ряд сходится, т.е. существует; рядрасходится, т.е. не существует предела последовательности его частных суммB_n. Так как ряд получен почленным сложением двух исходных, тоB_n = S_n – A_n. Предел правой части существует, следовательно должен существовать и предел левой. Но это не так. Мы пришли к противоречию. Следовательно, ряд расходится.

Если оба ряда расходятся, то о сходимости ряда, полученного их почленным сложением ничего сказать нельзя. Например, ряды 1 + 1 + 1 + 1… и – 1 – 1 – 1 – 1 расходятся, их сумма равна 0 + 0 + 0 + 0, она сходится; ряды 1/n и 2/n расходятся, их сумма 3/n также расходится.

Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Ряд называется знакоположительным, если для всех n а_n  0.

1-й признак сравнения: пусть даны два знакоположительных ряда и, причем все члены первого ряда меньше соответствующих членов второго ряда:. Тогда а) если рядсходится, то и рядсходится; б) если рядрасходится, то и рядрасходится.

Доказательство: а) известно, что знакоположительный ряд сходится:. Заметим, чтоB_n монотонно возрастающая последовательность, имеющая предел, следовательно, она ограничена сверху. Поэтому В_n B (В – точная верхняя граница). Но . Следовательно, последовательность монотонно возрастающая последовательность A_n также ограничена сверху и имеет предел, следовательно ряд сходится, ч. т. д.; б) имеем расходящийся ряд. Допустим, что рядсходится. Тогда меньший рядтакже сходится (см. пункт а) данной теоремы), а это не так. Мы пришли к противоречию. Следовательно, ряд.

Замечание: 1-й признак сравнения остается в силе, если неравенство a_n b_n верно не для всех n, а для n  n₀. Это вытекает из свойств сходимости.

2-й признак сходимости: пусть даны два знакоположительных ряда ии пусть существует= С 0 (С > 0, т.к. предел отношения двух положительных последовательностей также положителен). Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство: по условию , это означает, чтоили - < - C < ; С -  < < C + ;

(C - ) b_n < a_n < (C + ) b_n. *)

Поскольку  - любое число, мы можем взять 0 <  < C, тогда С -  > 0. Допустим, что ряд сходится. Тогда, по 1-му признаку сравнения, рядтакже сходится, следовательно (по тому же признаку) сходится и ряд(неравенство выполняется, начиная с некоторого номера). Аналогично (через правую часть двойного неравенства *) доказывается эта теорема для двух расходящихся рядов.