61 Понятие о бесконечности ряда

Ряды как отдельный раздел математики является основой почти всех вычислительных методов, а некоторые виды рядов, такие как тригонометрические являются основой гармонического анализа на котором основаны все волновые процессы.

Ряды разделяют на: Числовые(знакопостоянные, знакочередующиеся и знакопеременные) иФункциональные(степенные, тригонометрические ряды, логарифмические и показательные (Чебышева)).

Числовые ряды

Пусть дана некоторая последовательность чисел

U₁, U₂, U₃, … , U_n (1)

С числовыми последовательностями и рядами мы встречались и ранее, арифметическая и геометрическая последовательности тоже примера числового ряда.

Образуем частичные суммы из чисел последовательности (1)

S₁ =U₁

S₂ =U₁ + U₂

S₃ =U₁ + U₂ + U₃

S_n =U₁ + U₂ + U₃ + … +U_n

Получается некоторая последовательность

S₁, S₂, S₃, …, S_n (2)

Если существует предел последовательности частичных сумм (2)

- сумма ряда

Поэтому числовой ряд записывают как сумму

U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n+ … -

Сумма: S-S_n=r_n, гдеr_n- остаток ряда

Основным показателем числового ряда является его сходимость. Если числовой ряд имеет конечную сумму, то он сходится, в противном случае – расходится, во всех приложениях используются только сходящиеся ряды.

Рассмотрим примеры некоторых числовых рядов.

Этот ряд ещё называется гармоническим

Для установления сходимости данного ряда запишем его в виде:

Заменим в группах чисел в скобках наименьшим

как это можно видеть

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если числовой ряд сходится, то предел n^-гочлена ряда = 0

Доказательство:

(1)

т.к. ряд (1) сходится, то

так как ряд сходится. Обратное утверждение, что если пределnчлена равен 0, то ряд сходится, не имеет места (см. предыдущую шпору).

Действия над сходящимися рядами

1. Сходящийся ряд можно умножать на одно и то же число сходящийся ряд

2. Сходящиеся ряды можно почленно суммировать

3. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если в ряде отбросить или приписать конечное число слагаемых.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.

Если для числового ряда выполнено необходимое условие, то числовой ряд может сходится или расходится для определения разработаны достаточные признаки сходимости числового ряда

Первый и второй признаки сравнения числовых рядов

Пусть требуется установить сходимость числового ряда.

U₁+U₂+…+U_n+… (1) – исследуемый ряд

Данный ряд можно сравнить с некоторым другим рядом, сходимость которого известна

V₁+V₂+ …+V_n+… (2) – эталонный ряд

В качестве (2) может быть геометрическая прогрессия, гармонический ряд и любой другой ряд с известной сходимостью.

Если ряд (2) сходится, то если (1) < (2), то ряд (1) – сходится

Если (2) расходится, то при (1) => (2), ряд (1) – расходится

Первый признак сравнения

Если между членами (1) и (2) существует соотношение U_n<=V_n, то из сходимости числового ряда с большими членамисходимость и исследуемого ряда, и если существует соотношениеU_n>=V_n, то из расходимость эталонного рядарасходимость и исследуемого

Доказательство

Для того, чтобы доказать, что ряд сходится нужно показать, что существует некоторая const, которая превосходит новую частичную суммуS_n, при любомn.S_n<=A

Допустим, что ряд V_n- сходитсясуществует

Если имеет место U_n<=V_n, то такое же неравенство между суммамиS_{n исследуемого}<=S_{n эталонного}

При увеличении nдо бесконечности

σ– сумма эталонного ряда, превосходит все частичные суммы исследуемого рядаисследуемый ряд сходится.

Второе утверждение признака доказывается аналогично.

Если существует

где l– конечное числоl≠0;l≠∞, то ряды (1) и (2) сходятся и расходятся одновременно.

Пример:

Необходимые условия

Эталонный ряд (сходится)

 исследуемый ряд сходится