Асимптоты.
Говорят, что т. по крив. удал. в бескон. если ее расст. от нач. коорд. стрем. к бескон-ти.
Асимпт. граф. – линия такая, что при удал. т. по крив. в бескон. расст. между точками. этой лин. и точками граф. стрем. к «0».
Различают: вертикальн., горизонт., наклонные (правая, левая).
Вертикальная асимптота
если то x=x0 ур-е верт. асимпт.
верт. асимп. сущ. там, где разрывы 2 рода.
Горизонтальная асимптота (правая, левая)
если то y=b ур-е прав. гор. асимпт.
то y=с - ур-е лев. гор. асимпт.
Наклонная асимптота
предположим y=kx+b прав. (x→+) наклон. асимптота для y=f(x)
=f(x)-kx-b→0
при x→
/x=f(x)/x-k-b/x→0
/x→0 b/x→0
(f(x)/x-k) →0 при x→
=>
если k то
Итак, если конеч. k и b, то асимптота, и наоборот. Для лев. накл. асимпт. ф-лы те же, но x→-.
Общ. план. иссл. ф-ий и постр. графиков.
-
обл. D
-
если есть т. разрыва - исслед. их
-
отв. на вопр. о налич. периода
-
провер. на четн./нечетн./общ. полож.
-
исслед. на монотон-ть и экстремумы
-
исслед. на выпукл./вогнут-ть, т. перегиба
-
исслед. на асимптоты
-
найти нули ф-ии
-
исслед. на интерв. знакопостоянства
-
постр. график
Первообразная. Неопред. интегр. и его св-ва.
опр.: для ф-ии y=f(x), где x[a,b] ф-ия F(x) назыв. первообразн., если x[a,b] F’(x)=f(x)
Поскольку F(x) – дифф-ма, то она непрер-на.
Теор.: если F1(x) и F2(x) – нек. превообразные для f(x), то они отлич. на константу.
Док-во: F1(x)-F2(x)=(x)
на отр. [a,x][a,b] запишем для (x) т. Лагранжа: (x)- (a)= ’(x)(x-a) , но ’(x)=(F1(x)-F2(x))’=f(x)-f(x)=0 => (x)= (a)=const
опр.: неопред. интегралом для f(x) назыв. совокуп. всех первообр.
где xD F’(x)=f(x)
f(x)-подынтегр. ф-ия; x-перем. интегр.; f(x)dx-подынтегр. выраж.
СВОЙСТВА:
1)
2)
3)
4)
5)
Теор. сущ. неопред. интегр.: если f(x) непрерывна для xD,то неопред. интегр. в этой обл. D.
C геом. точки зрен. неопред. интегр. – это семейство ф-ий, сдвинутых по оси ординат на константу.
Замена перемен. в неопред. интегр.
x - перемен. интергрир.
t – перемен. интегрир.
Теор.: если x=x(t) – непрер-но диф-мая ф-ия, допуск. обрат. и:
то ф-ла доказ. прост. диф-ем
На осн. этой теор.: вид первообраз. не завис. от вида перем. интегрир.
замеч.: находя первооб. всегда надо помн., что она должна быть непрер., т.к. она диф-ма в кажд. т. обл. определ.
Метод интегрир. по частям.
dUV=VdU+UdV проинтегрируем:
ф-ла и. по ч.
если в подынт. выр. считаем U на dV то, зная dV можно найти V как также можно найти dU как U:dx и благод. ф-ле перейти от выраж. к
1)
за U прин. многочл., а за dV – все остальное. Т.к. при диф-ии степ. многочл. пониж. то V легко найти.
зам.: метод ИПЧ можно прим. в 1 прим. столько раз ск-ко нужно.
2)
за U прин. либо logax, либо arcsinax/arccosax/arctgax/arcctgax
за dV – Pn(x)dx
3) вычисл. циклич. интегралов
4) примен. мет. ИПЧ к выводу рекуррентных соотнош.:
nN, n2
из этой ф-лы ясно, что I2=I1+1 I3=I2+1 и т.д.
Интегриров. рац. дробей.
- рац. дробь
если m<n – то дробь правильная
если mn – то дробь неправильная
Теор.: всякая прав. рац. дробь представима в виде суммы простейш. дробей 4 типов (без док-ва):
1)
2) 3)
p2-4q<0
алгоритм:
1. в числителе выделить производную квадрат. трехчлена
2. разбить на два интеграла
3. свести 1 инт. к табличн. по перемен. (x2+px+q)
4. во 2 инт. выдели в квадр. трехчлене полн. квадр, записать результат по таблич. ф-ле по перемен. x+p/2
4)
осн. теор. алг.: всяк. многочл. n-й степ. имеет ровно n корней. (Гаусс)
Интегрир. нек. иррац. ф-ий.
1) li, mi N i=
x=tn dx=ntn-1dt
n=НОК
2)
n=НОК
3)
1)
2)
3) m – параметр t – новая переменная
Тригонометрические подстановки для интегралов вида:
1)
x=asint или x=accost
dx=acosdt dx=-sintdt
2)
x=atgt или x=actgt
dx=adt/cos2t dx=-adt/sin2t
3)
x=a/cost=asect x=a/sint=acosect
Неберущ. интегралы.
неберущ. – неберущиеся в виде конечн. числа эл. ф-ии
Для т.н. интегр-в от диференц-ых биномов
взять инт. можно только в 3 случ. (док. Чебышев):
-
p - целое число
-
– целое число
-
- целое число
взять нельзя
если x2=t x=
показательная интегральная ф-ия:
эллиптические интегралы:
1 рода:
и т.д.
Общ. опред. ф-ии многих переменных.
Обл. опред. ф-ии n-перемен. назыв. совокупность точек Rn, для кот. ф-ия имеет смысл.
Говорят, что в D задана числов. ф-ия n-переменных f(M) если по з-ну f(M) кажд. т. MD поставл. в соответств. число yE – обл. знач. y=f(x)
Бывает, что ф-ии нес-ких перем. зад. с пом. описан., граф., табл.
Ф-ии 2 перемен.:
z=f(x,y) DR2
z=f(x1,x2) т. M(x,y)
y=y(x1,x2) D - совокуп. точек пл-ти
Геом. образ. ф-ии 2 перем. – пов-ть в R3
опр.: т. M наз. внутренней т. обл., если она сама и нек. ее окрест. принадлеж. D полностью. Обл. D наз. замкнут. если ей принадл. все внутр. т. границы, в противном случае – обл. D открытая.
Ф-ия 3 перемен.:
u=f(x,y,z)
u=f(x1,x2,x3)
обл. опред. – это совокуп. т. в R3. Граф. интерпретац. отсутств.
опр.: частичн. приращ. ф-ии: Δxif=f(x1,x2…xi+Δxi, xi+1…xn)-f(x1, x2…xi, xi+1…xn)
опр.: полн. приращ. ф-ии: Δf=f(x1+Δx1, x2+Δx2… xn+Δxn)-f(x1, x2…xn). Ясно, что
Говорят, что т. M0DRn если для нее вып. нерав-во :
опр.: число А наз. если >0 >0 что как только |MM0|< буде вып. нерав-во |f(M)-A|<
M→M0 x1→x10 x2→x20 xn→xn0
опр.: ф-ия f(M0) наз. непрер. в т. М0 если:
-
ф-ия опред. в т. М0
-
и
как и у ф-ий 1 перем. можно говор. о т. разр. – в кот. наруш. усл. непрер. По аналогии с ф-ей 1 перем. имеет место определение:
Ф-ия непрер. если:
Св-ва ф-ий непрер. на замкн. множ-ве:
1) непрер. ф-ия на замк. множ. достиг. своего наиб. М и наим. m.
2) если М-наиб., m- наим. знач. ф-ии на замкн. множ. D то μ, удовл. нер-ву m<μ<M, хотя бы 1 т. AD, такая что f(A)=μ
3) о корнях непрер. ф-ии: если M>0, m<0 то хотя бы 1 т. AD, такая что f(A)=0
для ф-ии 2 перем.:
опр.: линией уров. для ф-ии zx=f(x,y) наз. линия в пл-ти XOY во всех т. кот.знач. ф-ии постоянны, т.е.: f(x,y)=C
для ф-ии 3 перем. гов. о пов-ти уров.: пов-тью уров. для ф-ии u=f(x,y,z) наз. пов-ть в R3 во всех т. кот. знач. ф-ии постоянны, т.е.: f(x,y,z)=C