Задача № 7

На трёх базах А₁, А₂, А₃, находится однородный груз в количестве а₁ т, a₂ т, а₃ т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В₁, В₂, В₃, В₄, В₅, потреб­ности которых в данном грузе составляют b₁ т, b₂ т, b₃ т, b₄ т, b₅ т соответственно.

Известны тарифы, т.е. затраты на перевозку одной тонны груза от каждого склада до каждого потребителя и значения а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ , которые приведены в таблице. Требуется:

1. найти первый опорный план методом минимальных тарифов;

2. построить оптимальный план перевозок методом потенциалов.

Таблица № 1

Поставщики	Потребители										Запасы
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	200
А2		8		7		9		13		10	200
А3		10		5		12		7		20	100
Потребность	70		80		150		110		90

1. Построение исходного опорного плана транспортной задачи методом минимальной стоимости.

1) В таблице №1 находим клетку с наименьшим тарифом. Это клетка (1,1). Ее будем заполнять первой.

В нее вместо x₁₁ надо записать поставку, которую находим как минимум значения а₁ = 200 m запаса груза на первой базе и значения b₁ = 70 т заявки от первого магазина, т.е. x₁₁ = min{200, 70} =70.

Потребности в грузе первого магазина удовлетворены. Поэтому заполняем оставшиеся клетки первого столбца нулями.

Запасы груза у первого поставщика уменьшились на величину 70 m. Это запишем в последнем столбце первой строки.

В результате получим таблицу № 2.

Таблица № 2

Поставщики	Потребители										Остатки запасов
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	200-70=130
	70
А2		8		7		9		13		10	200
	0
А3		10		5		12		7		20	100
	0
Потребность	70-70=0		80		150		110		90

2. В оставшейся таблице № 2 снова находим пустую клетку с наименьшим тарифом. Это клетки (1,4) и (3,2), в них c₁₄=c₃₂=5. Выбираем любую, например (3,2).

Вместо неизвестной поставки x₃₂ записываем значение, которое находим как минимум значения a₃ = 100 m запаса груза на третьей базе и значения b₂= 80 m заявки от второго магазина: x₃₂ = тin{100, 80} =80.

Потребности в грузе второго магазина удовлетворены. пустые клетки второго столбца заполняем нулями. Запасы груза у первого поставщика уменьшились на величину 80 m. Это отметим в последней строке второго столбца.

В результате получим таблицу № 3.

Таблица № 3

Поставщики	Потребители										Остатки запасов
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	130
	70		0
А2		8		7		9		13		10	200
	0		0
А3		10		5		12		7		20	20
	0		80
Потребность	0		80-80=0		150		110		90

3. В оставшейся части таблицы №3 опять находим клетку с наименьшим тарифом. Это клетка (1,4), для нее c₁₄= 5. Вместо неизвестной поставки x₁₄ записываем значение, которое находим как минимум значения остатков запаса груза на первой базе 200-70=130m. и значения b₄ =110 m заявки четвертого магазина: x₁₄ = min{130, 110} = 110.

Потребности в грузе четвертого магазина удовлетворены. Четвертый столбик из дальнейшего рассмотрения исключаем.

Запасы груза у первого поставщика еще уменьшились на величину 110 m и составили 130 - 110 = 20 m. Записываем это в последнем столбце первой строки и получаем таблицу № 4.

Таблица № 4

Поставщики	Потребители										Остатки запасов
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	130-110=20
	70		0				110
А2		8		7		9		13		10	200
	0		0				0
А3		10		5		12		7		20	20
	0		80				0
Потребность	0		0		150		110-110=0		90

4. Среди пустых клеток таблицы № 4 находим клетку с наименьшим тарифом. Это клетка (1,3), в ней с₁₃= 6.

Находим неизвестную поставку x₁₃ как минимум значения остатка запаса груза на первой базе 130-110=20 m и значения b₃= 150 m заявки третьего магазина: x₁₃ = min{20, 150} =20.

Запасы груза у первого поставщика израсходованы полностью, поэтому все пустые клетки первой строки заполняем нулями. Но потребности в грузе третьего магазина удовлетворены не полностью, оставшаяся потребность составляет 150 - 20 = 130m. Отражаем все это в таблице № 5.

Таблица № 5

Поставщики	Потребители										Остатки запасов
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	20-20=0
	70		0		20		110		0
А2		8		7		9		13		10	200
	0		0				0
А3		10		5		12		7		20	20
	0		80				0
Потребность	0		0		150-20=130		0		90

5. Среди пустых ячеек таблицы № 5 ищем клетку с наименьшим тарифом. Это клетка (2,3), ее тариф c₂₃ = 9.

Неизвестную поставку х₂₃ найдем как минимум значения запаса груза на второй базе a₂= 200 m и значения оставшейся потребности в грузе у третьего магазина 150 - 20 = 130 m : x₂₃ = min{200, 130} = 130.

Потребности в грузе третьего магазина полностью удовлетворены. Пустые клетки третьего столбца заполняем нулями. Запасы груза у второго поставщика уменьшились на величину 130 m и теперь равны 200 - 130 = 70 m. В результате получаем таблицу № 6.

Таблица № 6

Поставщики	Потребители										Остатки запасов
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	0
	70		0		20		110		0
А2		8		7		9		13		10	200-130=70
	0		0		130		0
А3		10		5		12		7		20	20
	0		80		0		0
Потребность	0		0		130-130=0		0		90

6. Для рассмотрения остался последний пятый столбец, соответствующий потребителю В₅. Наименьший тариф в оставшихся для заполнения клетках с₂₅= 10.

Находим неизвестную поставку x₂₅ как минимум значения остатка запаса груза на второй базе 200 - 130= 70 m и значения b₅ = 90 m : x₂₅=min{70,90} =70.

Запасы груза у второго поставщика израсходованы полностью. Вторую строку вычеркиваем. Потребности в грузе пятого потребителя удовлетворены не полностью, оставшаяся потребность составляет 90 - 70 = 20 m.

Таблица № 7

Поставщики	Потребители										Остатки запасов
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	0
	70		0		20		110		0
А2		8		7		9		13		10	70-70=0
	0		0		130		0		70
А3		10		5		12		7		20	20
	0		80		0		0
Потребность	0		0		0		0		90-70=20

7. Заполнение последней клетки (3,5) не составляет никаких трудностей. Наконец - то все грузы развезены, а каждый потребитель получил полностью все заказанное.

Опорный план транспортной задачи, построенный методом минимальных тарифов, в своем окончательном виде представлен в таблице № 9. В ней значения запасов груза и заявок сохранены первоначальными.

Таблица № 9

Поставщики	Потребители										Запасы
	В1		В2		В3		В4		В5
А1		4		11		6		5		15	200
	70		0		20		110		0
А2		8		7		9		13		10	200
	0		0		130		0		70
А3		10		5		12		7		20	100
	0		80		0		0		20
Потребность	70		80		150		110		90

8. Проверим полученный опорный план на вырожденность. Считаем количество ненулевых клеток в таблице 9, их семь. Значение m+n-1=3+5-1=7 также равно семи, значит, полученный опорный план невырожденный.²

9. Вычисляем транспортные расходы при таком плане перевозок, перемножая значения, стоящие в нижних и верхних уголках каждой из ненулевых клеток: