Задача № 6
Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2.
На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить а11 кг сырья первого типа, а21 кг сырья второго типа, а31 кг сырья третьего типа.
На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить a12 кг сырья первого типа, a22 кг сырья второго типа, a32 кг сырья третьего типа.
Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве b1 кг, b2 кг, b3 кг соответственно.
Рыночная цена единицы изделия 1 составляет c1 тыс. руб, а единицы изделия 2 — c2 тыс. руб.
Требуется:
1) построить математическую модель задач;
2) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации, при помощи графического метода решения задачи линейного программирования;
3) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации, при помощи табличного симплекс-метода решения задачи линейного программирования;
4) найти двойственные оценки сырья каждого типа и коэффициенты структурных сдвигов.
а11=2 |
а12=1 |
b1=400 |
а21= 3 |
а22= 4 |
b2= 900 |
а31=1 |
а32= 3 |
b3=600 |
с1=60 |
с2=40 |
|
Решение.
1. Построение экономико-математической модели задачи.
Составим следующую таблицу:
|
Изделие 1 |
Изделие 2 |
Запасы сырья |
Сырье I |
2 |
1 |
400 |
Сырье II |
3 |
4 |
900 |
Сырье III |
1 |
3 |
600 |
Цены на изделия |
60 руб. |
40 руб. |
|
Сведем данную задачу к соответствующей задаче линейного программирования.
Пусть выпущено x1 шт. Изделия 1 и x2 шт. Изделия 2.
Целевая функция представляет собой выражение для расчета выручки от реализации произведенных изделий, которую, очевидно, необходимо максимизировать:
(1)
Для построения системы ограничений найдем затраты сырья каждого типа, идущего на изготовление указанного количества изделий.
Сырье
I:
(кг.)
Сырье
II:
(кг.)
Сырье
III:
(кг.)
Мы не
можем израсходовать сырья больше, чем
имеется в наличии. Кроме того, по смыслу
задачи
.
В результате получаем систему
линейных ограничений данной задачи:
(2)
Целевая функция (1) вместе с системой линейных ограничений (2) представляет собой экономико-математическую модель данной задачи.
2. Решение производственной задачи геометрическим методом.
2.1. Построение множества решений системы линейных ограничений.
1) Выпишем уравнения прямых, соответствующих каждому из неравенств, входящих в систему (2), вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат, построим эти прямые, а затем заштрихуем полуплоскости, отвечающие решениям всех неравенств. Область пересечения всех этих полуплоскостей и будет искомым решением системы линейных ограничений (2).
(2.1)
Если x1=0, то x2=400. Получаем точку (0; 400).
Если x2=0, то x1=200. Получаем точку (200; 0).
(2.2)
Если x1=0, то x2=225. Получаем точку (0; 225).
Если x2=0, то x1=300. Получаем точку (300; 0).
(2.3)
Если x1=0, то x2=200. Получаем точку (0; 200).
Если x2=0, то x1=600. Получаем точку (600; 0).
(2.4)
.
Этой прямой соответствует ось Ox1.
(2.5)
.
Этой прямой соответствует ось Ox2.
Результаты вычислений и построений представлены на рис.2. Решением системы неравенств является многоугольник OABCD, иначе называемый симплексом решений задачи линейного программирования (1)-(2).
Рис. 2. Симплекс решений системы линейных ограничений (2).