3.3. Построение симплекс-таблицы № 3.

1) В индексной строке таблицы № 2 находим максимальный положительный элемент. Это число 10, оно соответствует второму столбцу. Второй столбец будем называть ключевым. Ему соответствует переменная х₂ и он выделен серым цветом.

2) Составляем отношения элементов последнего столбца к соответствующим элементам ключевого столбца:

Среди этих трёх чисел выбираем наименьшее, это число 120, соответствующее второй строке таблицы. Вторую строку будем называть ключевой строкой. Ей соответствует базисная переменная х_4. Выделим эту строку серым цветом.

3) Элемент, расположенный на пересечении ключевой строки и ключевого столбца , называется разрешающим.

4) Свободную переменную х₂, соответствующую ключевому столбцу, вводим в базис вместо переменной x₄, соответствующей ключевой строке.

5) Все элементы ключевой строки делим на разрешающий элемент , и результаты вносим в соответствующую строку новой таблицы №3.

6) Все элементы ключевого столбца, кроме разрешающего (равного теперь единице), заменяем нулями, а результат вносим в соответствующий столбец новой таблицы.

7) Все остальные элементы преобразуем по правилу прямоугольника.

Новые элементы второй строки у нас уже есть и есть элементы второго столбца. Значит, надо получить новые элементы для первой и третьей строк, а так же для первого, и третьего-пятого столбцов, т.е. номера преобразуемых строк i = 1, 3, а номера преобразуемых столбцов j =1,3,4,5.

Пересчитываем первую строку:

Пересчитываем третью строку:

Пересчитываем индексную строку:

8) В результате получаем симплекс-таблицу № 3.

Симплекс-таблица № 3

	Неизвестные
Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
x1	1	0			0	140
x2	0	1			0	120
x5	0	0	1	-1	1	100
-F	0	0	-24	-4	0	-13200

Симплекс-таблице № 3 соответствует следующее решение задачи линейного программирования:

x₁=140 шт; x₂=120 шт; x₃=0 кг; x₄=0 кг, x₅=100 кг; F =13 200 тыс. руб.

8) Проверяем симплекс-таблицу №3 на оптимальность.

Таблица удовлетворяет ранее сформулированному критерию оптимальности (убедитесь в этом сами), а значит оптимальное решение достигнуто.

Ответ: Оптимальный план выпуска изделий составляет x₁=140 шт. Изделия 1 и x₂=120 шт. Изделия 2. Выручка от их последующей реализации в этом случае будет максимальна и составит 13200 руб. При этом все запасы Сырья I и Сырья II будут израсходованы полностью, а остаток Cырья III составит 100 кг.

4. Двойственная задача.

Выпишем еще раз симплекс-таблицу № 3 и обратим внимание на те столбцы этой таблицы, которые соответствуют переменным x₃, x₄, x₅.

Симплекс-таблица № 3

	Неизвестные
Базис	x1	x2	x3	x4	x5	bi
x1	1	0			0	140
x2	0	1			0	120
x5	0	0	1	-1	1	100
-F	0	0	-24	-4	0	-13200

На пересечении индексной строки и столбцов, соответствующих дополнительным переменным, расположены числа –24, -4, 0.

Эти числа представляют собой взятые с противоположным знаком двойственные оценки сырья первого, второго и третьего типа соответственно: y₁=24; y₂=44; y₃=0.

В экономической литературе встречаются также термины «теневые цены» и «скрытые доходы».

Они имеют следующий экономический смысл:

1. Положительную двойственную оценку имеют лишь те виды сырья, которые полностью используются при оптимальном плане производства.

Нулевую двойственную оценку имеют те виды сырья, которые при оптимальном плане производства расходуются не полностью.

Таким образом, двойственные оценки являются мерой дефицитности сырья.

2. Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастет оптимальное значение целевой функции задачи линейного программирования при увеличении запасов сырья соответствующего типа на 1 кг: .

Числа, стоящие в строках (за исключением индексной) выделенной области таблицы, носят название коэффициентов структурных сдвигов.

Поясним их смысл на примере нашей задачи:

1. Увеличение запасов сырья первого типа (столбец x₃) на 1 кг приведет к тому, что появится возможность построить новый оптимальный план выпуска изделий, по которому выручка от реализации произведенных изделий увеличится на F= у₁·Δв₁= 24·1=24 ( руб.).

Этот эффект будет получен за счет увеличения выпуска Изделия 1 на шт. и одновременного сокращения выпуска Изделия 2 на шт. Остатки сырья третьего типа при этом возрастут на 1 кг.

2. Увеличение запасов сырья второго типа (столбец x₄) на 1 кг приведет к тому, что появится возможность построить новый оптимальный план выпуска изделий, по которому выручка от реализации произведенных изделий увеличится на F=у₂ Δв₂ =4·1=4(руб.).

Этот эффект будет получен за счет уменьшения выпуска Изделия 1 на шт. и одновременного увеличения выпуска Изделия 2 на шт. Остатки сырья третьего типа при этом сократятся на 1 кг.

3. За счет увеличения запасов сырья третьего типа (столбец x₅) на 1 кг увеличить выручку не удастся. Это приведет лишь к увеличению остатков сырья третьего типа на 1 кг.

Естественно, что на практике запасы сырья каждого типа необходимо менять таким образом, чтобы добавочная продукция составляла целое число. В рассматриваемой задаче изменения запасов сырья первого и второго типа должны быть кратны 5 кг: 5 кг, 10 кг, 15 кг и т.д.