Решение

а) Чтобы значения, представленные в таблице, являлись законом распределения дискретной случайной величины, должны быть выполнены два условия:

1. значения x_i, следуют в строго возрастающем порядке;

2) сумма всевозможных вероятностей р_i, равна единице, т.к. в таблице представлены все возможные значения дискретной случайной величины и они образуют полную группу событий:

.

Проверяем их выполнение.

Условие 1) выполнено: значения x_i дискретной случайной величины расположены в строго возрастающей последовательности - 0, 1, 2, 3.

Проверяем второе условие:

.

Вычисляем сумму вероятностей, стоящих во второй строке:

.

Второе условие тоже выполнено.

Значит, в таблице действительно приведен закон распределения дискретной случайной величины.

б) Находим основные характеристики заданной дискретной случайной величины.

1) Определим математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины:

Итак, математическое ожидание .

2) Для нахождения дисперсии по формуле D(x) = М (х²) - а² необходимо сначала найти М(х²) - среднее значение квадрата этой случайной величины. Запишем закон распределения квадрата случайной величины x_i²:

X	0	1	4	9
pi	0,29	0,41	0,21	0,09

Определим математическое ожидание или среднее значение квадрата дискретной случайной величины x_i²:

Находим дисперсию:

D(X) = M(x²)-a² = 2,06-(1,10)² = 2,06-1,21 = 0,85.

3) Вычисляем среднее квадратичное отклонение , характеризующее средний разброс значений х_i дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения а. Оно равно корню квадратному из дисперсии:

.

в) Построим график распределения случайной величины. Для этого по оси абсцисс откладываем значения заданной случайной х_i =0; 1; 2; 3, а по оси ординат - соответствующие им вероятности р_i.

Рис.1. График распределения случайной величины.

Ответ: а) Заданная в условии задачи таблица представляет закон распределения дискретной случайной величины.

б) Математическое ожидание этой случайной величины ; её дисперсия D(x) = 0,85; среднее квадратичное отклонение .

Задача № 5

При исследовании партии картофеля было проведено n проб и полученные данные о содержании крахмала в клубнях в x% приведены в таблице. Найти:

1. выборочное среднее ;

2. выборочное среднеквадратичное отклонение ;

3. коэффициент вариации ;

4. полагая, что случайная величина X описывается нормальным законом распределения, найти доверительный интервал для среднего содержания крахмала во всей партии картофеля х на уровне надежности .

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
xi	16,2	20,10	21,40	18,90	16,50	17,3	18,20	19,50	20,40	21,0	18,20	19,4