Задача № 3 Пример1

Установлено, что в данном технологическом процессе в среднем 90°/₀ выпускаемых изделий являются стан­дартными. При выборочном контроле качества продукции было случайным образом отобрано 400 изделий.

1) Каково наивероятнейшее число стандартных изделий среди 400 отобранных и чему равна соответствующая этому событию вероятность?

2) Какова вероятность того, что среди этих 400 изделий окажет­ся от 34 до 50 нестандартных?

п =400, k₁ =34, k₂=50.

Решение

1) Наивероятнейшее число k₀ событий в серии из п повторных независимых испытаний находим как целое число, заключённое в пределах

пр-q <k₀ < пр +р.

_{В нашей задаче общее число испытаний п = 400 (количест­во отобранных для контроля изделий).}

р = (90%) = 0,9 - вероятность того, что наугад выбранное изделие является стандартным (вероятность «успеха»).

q = 1-р = 1-0,9=0,1 - вероятность того, что наугад вы­бранное изделие является нестандартным(вероятность «неудачи»).

Подставляя числовые данные в двойное неравенство, по­лучим:

В этих пределах находится единственное целое число: k₀ = 360, т.е. вероятнее всего, что из наугад выбранных 400 изделий, стан­дартными окажутся 360.

Заметим, что при больших значениях п наивероятнейшее число k₀ событий приближенно можно находить из соотношения

.

2)Найдем вероятность P₄₀₀(360), используя локальную теорему Лапласа:

, где

; - нормированная функция Гаусса.

Таблицы функции Гаусса имеются в Приложениях.

Вычисляем x, используя найденные ранее значения k=k₀, p и q:

.

По таблицам находим, что .

Тогда искомая вероятность будет равна:

.

3)Вероятность того, что среди 400 изде­лий окажется от 34 до 50 нестандартных найдем, исполь­зуя интегральную теорему Лапласа:

, где

- функция Лапласа,

В данном вопросе под «успехом» понимается событие, состоящее в том, что наугад выбранное изделие является не стандартным¹. Отсюда:

р - вероятность того, что наугад выбранное изделие является не стандартным, р = 0,1;

q - вероятность того, что наугад выбранное изделие являет­ся стандартным, q = 0,9.

Находим аргументы функции Лапласа:

;

.

Тогда .

Значения функции Лапласа находим в Приложениях, учитывая, что эта функция нечетная Ф(-х) = -Ф(х): Ф( 1,67) =0,4525, Ф(-1 )=-0,3413.

Окончательно получаем:

.

Ответ: 1) Вероятнее всего, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий, стандартными окажутся k₀ = 360 шт.

2) Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий стандартными окажутся ровно 360, равна .

3) Вероятность того, что из 400 наугад выбранных для контроля изделий нестандартными окажутся не менее 34 и не более 50, будет равна .

Задача № 4 Пример 1

В таблице приведен закон распределения Р( Х=х_i ) = р_i, дискретной случайной величины. Требуется:

а) проверить, действительно ли значения, представленные в таблице, являются законом распределения дискретной случайной величины;

б) определить математическое ожидание М (х), дисперсию D(x) и среднее квадратичное отклонение этой дискретной случайной величины;

в) построить график этого закона распределения вероятностей.

X	0	1	2	3
pi	0,29	0,41	0,21	0,09