§8.7. Линейные функционалы

Рассмотрим специальный случай линейного оператора, когда его область значений содержится в одномерном линейном пространстве, изоморфном множеству вещественных чисел. Такого рода зависимости, следуя классификации, введенной в §5.2., следует относить к функционалам. Напомним данное ранее

Определение 8.7.1.

Пусть каждому элементу линейного пространства поставлено в соответствие однозначно определяемое число, обозначаемое . Тогда говорят, что в задан функционал .

Пример 8.7.1.

1. В пространстве n-компонентных столбцов можно задать функционал, поставив столбцу в соответствие число , где - некоторые фиксированные константы.

2. В векторном геометрическом пространстве функционалом является длина вектора, то есть . 3. В пространстве функций , определенных на [-1,1] функционалом является - ”дельта-функция”, обозначаемая как , ставящая в соответствие каждой функции ее значение в нуле. 4. В пространстве функций , непрерывных на , функционалом является определенный интеграл, то есть , где - некоторая заданная на непрерывная функция. 5. В линейном пространстве квадратных матриц вида функционалом является определитель .

Определение 8.7.2.

Функционал называется линейным функционалом (или линейной формой), если для любых и любого числа : 1. 2. .

Задача 8.7.1.

Доказать, что функционалы в примерах 1, 3 и 4 являются линейными, а функционалы в примерах 2 и 5 - нет.

Представление линейного функционала в

Пусть в дан базис и пусть координатное представление элемента линейного пространства имеет вид . Тогда, в силу линейности функционала, справедливы соотношения , где - числа, называемые компонентами линейного функционала в данном базисе.

Из последних равенств следует, непосредственно проверяемая

Теорема 8.7.1.

Каждый линейный функционал в в конкретном базисе имеет однозначно определяемую строку компонентов , а каждая строка компонентов в конкретном базисе определяет в некоторый линейный функционал .

Запись координатного представления линейного функционала в в виде строки (а не столбца) использована, чтобы обеспечить соответствие этого представления определению 8.4.5., поскольку линейный функционал в можно рассматривать как линейное отображение .

Заметим, что в в матричной форме каждый линейный функционал в базисе может быть записан как .

Задача 8.7.2.

Показать, что в с базисом операции сложения и умножения на число для линейных функционалов и в координатном представлении имеют вид: и , где и .

Получим теперь правило изменения компонент линейного функционала в при переходе от одного базиса к другому.

Пусть в даны два базиса и , связанные матрицей перехода , где для  j=[1,n]. Координатные представления некоторого элемента будут иметь в рассматриваемых базисах вид , а координатные представления линейного функционала , соответственно .

Найдем выражения для величин через . Используя введенные обозначения, получаем , что доказывает следующее утверждение:

Теорема 8.7.1.

В в базисах и компоненты координатных представлений линейного функционала и связаны соотношением , где коэффициенты - коэффициенты матрицы перехода от первого базиса ко второму.

В матричной форме это утверждение имеет вид , что означает, что компоненты линейного функционала в преобразуются при замене базиса так же, как преобразуются столбцы базисных элементов (см. §7.3.).

Двойственное (сопряженное) пространство. Взаимный (биортогональный) базис

Поскольку линейные функционалы в являются частным случаем линейных операторов, то для них можно ввести операции сравнения, сложения и умножения на число. Очевидно, что при этом будут справедливы все утверждения §8.2. В том числе и

Теорема 8.7.2.

Множество всех линейных функционалов, заданных в линейном пространстве , является линейным пространством.

Определение 8.7.3.

Линейное пространство линейных функционалов, заданных в , называется двойственным (или сопряженным) пространству и обозначается .

Теорема 8.7.1. устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством линейных функционалов и множеством компонентных строк, последнее из которых является линейным мерным пространством. Принимая во внимание, что операции с линейными функционалами в координатном представлении в совпадают с аналогичными операциями для компонентных строк, можно прийти к заключению об изоморфности линейных пространств и . Поэтому будет справедлива

Теорема 8.7.3.

Размерность пространства , двойственного , равна .

Как и во всяком мерном линейном пространстве, в должен существовать базис. Пусть он состоит из элементов . Тогда каждый элемент может быть представлен (и притом единственным образом) в виде линейной комбинации базисных элементов, то есть , а соответствующее координатное представление элемента будет - стандартное для мерного линейного пространства столбцовое представление.

Связь между базисами в и в задается квадратной, порядка матрицей , элементами которой являются числа - значения функционала на элементе .

Определение 8.7.4.

Если матрица , то есть , то базисы и называются взаимными (биортогональными).

Отметим, что, если базис в является взаимным для базиса в , то для любого линейного функционала его координатные представления в и в связаны очевидным соотношением .

Задача 8.7.3.

Доказать, что, если базис в не является взаимным для базиса в , то .

Вторичное двойственное (вторичное сопряженное) пространство

Поскольку является мерным линейным пространством, то в нем, также как и в , возможно определить линейные функционалы и рассматривать их множество как новое линейное пространство , двойственное к . Будем называть пространство вторичным двойственным для линейного пространства .

Вполне очевидно, что линейные пространства , и мерные и, следовательно, изоморфны друг другу. Однако, между пространствами и существует специальный изоморфизм, позволяющий не делать различия между ними, и который может быть построен следующим образом.

Пусть - некоторый элемент из , а - действующий в функционал такой, что . Убедимся вначале, что линейный на , то есть он будет некоторым элементом в . Действительно,

.

Это означает, что , где, согласно теореме 8.4.1., - подпространство линейного пространства .

Теперь рассмотрим отображение , которое можно записать и как . Оно будет линейным, как произведение (композиция) линейных отображений и . Пусть тогда, из условия , очевидно вытекает , то есть это отображение является также и взаимно однозначным. Следовательно, - отображение, устанавливающее изоморфизм линейного пространства и множества , а тогда, в силу теоремы 7.5.1., .

Наконец, отметим, что сочетание условий и означает совпадение множества и линейного пространства .

Таким образом, мы приходим к заключению, что отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами линейных пространств и , позволяющее считать их одним и тем же пространством и записывать связь между значениями линейных функционалов, действующих в и , в симметричной форме вида .

1) Доказывается, например, в курсе ТФКП.

1) См. приложение 3.

1) Правило деления комплексных чисел приведено в Приложении 3.