§8.3. Координатное представление линейных операторов
Пусть
в
заданы
базис
и линейный оператор
с областью значений в
.
В §7.2. показано, что
существует единственное разложение
.
Следовательно, также существует и
единственное разложение элемента
,
найти которое можно, разложив, в свою
очередь, по данному базису элементы
.
|
Определение 8.3.1. |
Матрица,
столбцы которой образованы компонентами
элементов
называется
матрицей
линейного оператора
|
,
в базисе
.
Отметим,
что такую матрицу можно поставить в
соответствие, и притом единственным
образом, каждому линейному оператору
в
.
При помощи матрицы линейного оператора можно находить координаты образов элементов линейного пространства.
Пусть
координатное разложение образа элемента
x
имеет вид:
.
С другой стороны,
.
Сравнивая оба полученных представления
для
и используя линейную независимость
элементов
,
приходим к выражению
.
В матричной форме полученные соотношения
(в силу очевидного
)
имеют вид:
(8.3.1.)
где
- координатные представления элементов
и
в базисе
.
Полученный результат можно выразить следующим образом:
|
Теорема 8.3.1. |
Между
множеством всех линейных операторов,
заданных в линейном пространстве
|
,
и множеством всех матриц размера
имеется взаимно однозначное соответствие.
|
|
Доказательство:
Выше
было показано, что каждому линейному
оператору в
С
другой стороны, соотношение
Теорема доказана. |
можно сопоставить матрицу размера
.
может быть принято за определение
некоторого оператора, и для завершения
доказательства достаточно заметить,
что линейность этого оператора следует
из правил операций с матрицами.
|
Пример 8.3.1. |
1.
В трехмерном векторном пространстве
c
ортонормированным базисом рассмотрим
линейный оператор, ортогонально
проектирующий радиус-векторы на
плоскость
|
.
Поскольку в данном случае
,
то
.
Действия с линейными операторами в матричной форме
Введенные в §1.1. и §5.1. операции с матрицами позволяют описать в конкретном базисе действия с линейными операторами в следующей форме.
1.
Сравнение
операторов:
.
Согласно
определению 8.2.1. условие
означает, что
,
или, в координатной форме,
.
Но тогда, по лемме 5.1.2., матрица
нулевая и, следовательно, условие
равносильно
.
2.
Сложение
операторов:
.
Действительно,
из
и
следует, что
.
3.
Умножение
оператора на число:
.
Из
для любого числа
находим, что
.
4.
Произведение
операторов:
.
По определению матрицы линейного оператора имеем
,
где
,
что совпадает с определением произведения
матриц 5.1.1.
5.
Обращение
операторов:
.
Будем
предполагать, что обратный оператор
существует. Поскольку из определения
8.2.8. следует, что
,
принимая во внимание результат пункта
3,
получаем, что искомое матричное
представление
оператора
должно удовлетворять соотношениям
,
то есть являться обратной матрицей к
матрице
.
|
Следствие 8.3.1. |
Размерность
линейного пространства линейных
операторов, действующих в
|
,
равна
.
|
|
Доказательство:
Из теоремы 8.3.1. и правил действий с линейными операторами в матричной форме следует изоморфизм линейного пространства линейных операторов и линейного пространства всех матриц размера nxn. Но тогда, по теореме 7.5.1. (об изоморфизме), их размерности равны.
Следствие доказано. |
Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса
Выясним,
как меняется матрица линейного оператора
при замене базиса. Пусть в
даны два базиса
и
,
связанные матрицей перехода
,
то есть
для
всех
.
Тогда справедлива
|
Теорема 8.3.2. |
Матрица
линейного оператора
|
в базисе
связана
с матрицей этого же оператора
в базисе
соотношением
.
|
|
Доказательство:
По
теореме 7.3.1. при переходе от базиса
|
к базису
компоненты элемента-прообраза оператора
в этих базисах связаны равенством
|
|
В
рассматриваемых базисах образы и
прообразы элементов связаны соотношениями
|
|
|
Наконец,
приходим к равенству
Теорема доказана. |
,
а компоненты образа -
.
и
,
но поскольку матрица перехода имеет
обратную, то из выписанных соотношений
последовательно получаем
.
,
из которого, в силу произвольности
столбца
и леммы 5.1.2., следует утверждение
теоремы.
|
Следствие 8.3.2. |
Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. |
|
|
Доказательство:
Из
утверждения теоремы 8.3.2. следует
|
,
но поскольку
и
,
|
|
а
Следствие доказано. |
,
то окончательно получаем, что
.
Отметим, наконец, что в силу теоремы 8.3.2. в любом базисе нулевой оператор будет иметь нулевую матрицу, а единичный оператор - единичную.