1 Модуль. Информатиканың негізгі түсініктері. Эвм архитектурасы №1.1 практикалық сабақ

Тақырыбы: Дискретті математика негіздері. Бульдік алгебра. Логикалық амалдар. Формулалар және олардың түрленуі.

Мақсаты: логикалық алгебра функцияларымен танысу, логикалық алгебра заңдылықтарына сүйене отырып ақиқат кестесін толтыруды меңгеру.

Қажетті құралдар мен материалдар: Дискретті математика негіздері бойынша жалпы мағлұматтар. Практикалық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқау.

Мазмұны мен жұмысты орындау реті:

1. Теориялық материалдармен танысу: бульдік алгебра, логикалық амалдар.

2. Өзбетінше орындауға арналған тапсырмалар.

3. Практикалық жұмыс есебі.

Тақырып бойынша теориялық материалдар

Жиын ұғымы математиканың негізгі, алғашқы ұғымдарының бірі, сондықтан ол басқа ұғымдар арқылы анықталмайды.

Берілген жиынды құрастыратын нәрселер (объектілер), сол жиынның элементтері деп аталады.

Жиындардың бірігуі. А және В жиындарының бірігуі деп олардың ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден тұратын жиынды айтады.

А мен В жиындарының бірігуі өрнегімен белгіленеді.

Яғни, АВ х,хАхВ

Мысал. А={2, 4, 6, 8}, В={5, 6, 7, 9} болсын, онда АВ={2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

болады.

Жиындарының қиылысуы. А мен В жиындарының қиылысуы деп А жиынына да, В жиынына да тиісті элементтерден тұратын С жиынын айтады.

А мен В жиындарының қиылысуы С= өрнегімен белгіленеді.

Анықтама бойынша: АВ=х, хАхВ.

Мысал. А={1, 2, 3, … +∞}, В={-∞, . . ., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} болсын, онда А В={1, 2, 3, 4}.

Жиындардың ортақ элементтері болмауы да мүмкін. Онда олардың

қиылысуы құр жиын болады. Бұл жағдайда жиындарды қиылыспайды деп

айтады.

Мысал. Егер А={1, 3, 5, 7, 9}, В={2, 4, 6, 8} болса, онда А В= Ø.

Себебі, А және В жиындарының екеуіне де тиісті болатын ортақ элемент жоқ.

Жиындардың қиылысуы шексіз жиын болуы да мүмкін.

Мысал. 12 санының еселіктерінің А жиыны шексіз жиын:

А={12, 24, 36, 48, 60,…, 2n, ...}.

Сондай-ақ 16 санының еселіктерінің В жиыны да шексіз жиын:

В={16, 32, 48, 64, …, 16m, ...}.

Бұл жиындардың қиылысуы да А В={48, 96, 144, …} шексіз жиын болады.

Жиындардың айырымы. А және В жиындарының айырмасы деп А жиынының В жиынына тиісті емес элементтерінен құралған жиынды айтады.

А мен В жиындарының айырмасы былай белгіленеді: А\В.

А\В жиынын табу үшін В жиынына тиісті емес, А жиынына тиісті

элементтерді тізіп шығу керек.

Олай болса, А \ ВххАхВ. Сол сияқты, В \ А ххВ хА

Мысал. а) А={1, 2, 3, 4}, В={1, 2} болсын, онда А\В={3, 4}.

б) А={1, 2, 3, 5, 7, 8}, В={1, 2, 5, 8}, онда А\В={3, 7}.

в) А={1, 2, 5}, В={3, 4}, онда А\В={1, 2, 5}.

г) А={1, 2}, В={1, 2, 3}, онда А\В= Ø.

Төменде берілген мысалды талдау

Мысал1. Екі жиын берілген: X={1,2,3,4,5}, Y={1,5,7}. Жиындардың бірігуін, қиылысуын, айырымын есептеу керек.

Шешімі:

Бірігу: X Y={1,2,3,4,5,7}

Қиылысу: X Y={1,3,5}

Айырым: X\Y={2,3,4}, Y/X={7}

Мысал 2. А={1, 2, 3}, В={1, 5, 8} болсын.

АВ=1,1, 1,5, 1,8, 2,1, 2,5, 2,8, 3,1, 3,5, 3,8

ВА=1,1, 1,2, 1,3, 5,1, 5,2, 5,3, 8,1, 8,2, 8,3.

Бұдан А*Вжәне В*Ажиындарының әртүрлі элементтерден тұратынын

көреміз, яғни А*В В*А.

Мысал 3. А={2, 3}, В={3, 4, 5}, С={7, 8} болсын.

АВС көбейтіндісін табу керек.

АВС = 2,3,7, 2,3,8, 2,4,7, 2,4,8, 2,5,7, 2,5,8, 3,3,7, 3,3,8, 3,4,7, 3,4,8, 3,5,7, 3,5,8

А және В жиындарының декарттық көбейтіндісін тік бұрышты координаттар жүйесінде көрсетуге болады. Ол үшін декарттық көбейтіндідегі реттелген қостарды жазықтықтағы нүктемен белгілейміз, сонда А және В жиындарының декарттық көбейтіндісін бейнелейтін фигураны аламыз.

Есептеуіш техникасының түйіндерінің функционалды негізіне логикалық элементер жатады. Мұнда өңделетін ақпарат екілік сан түрінде кодталады.

Бульдік алгебрада логикалық 1 (ақиқат, true) және логикалық 0 (жалған, false) мәндерін қабылдай алатын логикалық айнымалылар мен функцияларды есептейді.

Логикалық функциялар үш базаға бөлінеді және осы базалара сәйкес төмендегідей операциялар анықталған: коньюнкция (логикалық көбейту); дизьюнкция (логикалық қосу); инверсия (логикалық терістеу).

Бульдік функциялар сөйлем, кестелік, алгебралық немесе садық әдістермен берілуі мүмкін.

Бульдік алгебраның негізгі немесе базалық операциялары болып төрт негізгі амалдар қолданылды: ЖӘНЕ (қиылысу (AND)) операциясы Коньюнкция (conjunctio - логикалық көбейту, біріктіруші) {*,Ù}, А ˄В конъюнкциясы үшін ақиқаттық кестесі:

А	В	А ˄В
а	а	а
а	ж	ж
ж	а	ж
ж	ж	ж

Анықтама. А мен В айтылымдарының екеуі де ақиқат болғанда ғана ақиқат

болатын күрделі айтылымды осы айтылымдардың конъюнкциясы деп атайды.

НЕМЕСЕ (біріктіру (OR)) операциясы Дизьюнкция (disjunctio – логикалық қосу) {+,Ú}, А ˅В Логикалық операцияларды қолдана отырып келесі пікірлерді құруға болады:

А	В	А ˅В
а	а	а
а	ж	а
ж	а	а
ж	ж	ж

Анықтама. А мен В айтылымдары жалған болғанда ғана жалған болатын

күрделі айтылымды А және В айтылымдарының дизъюнкциясы деп атайды.

НЕ (терістеу(NOT)) ЖӘНЕ НЕ операциясы Инверция (импликациясы (тығыз байланысты)) ТЕРІСТЕУ{¯,¬,→} белгісімен белгіленеді. А → В

А	В	А →В
а	а	а
а	ж	ж
ж	а	а
ж	ж	а

Анықтама. А ақиқат, В жалған болғанда ғана жалған, қалған жағдайдың

бәрінде ақиқат болатын күрделі айтылымды А мен В айтылымдарының

импликациясы деп атайды.

Анықтама. А мен В айтылымдарының екеуі бірдей ақиқат немесе екеуі бірдей жалған болғанда ғана ақиқат болатын күрделі айтылымды айтылымдардың эквиваленциясы деп атайды. А↔В

А	В	А↔В
а	а	а
а	ж	ж
а	ж	ж
ж	ж	а

Сонымен, А және В айтылымдары ақиқат болғанда ғана конъюнкция (А ˄ В )

ақиқат болады.

Ал, А және В айтылымдарының ең болмағанда біреуі ақиқат болса, онда дизъюнкция (А ˅ В) ақиқат болады.

Импликация (А →В) А – ақиқат, В – жалған болатын жағдайдан басқалары да ақиқат.

Мысал қарастырайық: Формулаға сәйкес ақиқаттық кестесін құру:

Мысал 1.

F(x,y,z) = [

x	y	z					[ ]
1	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	1	1
1	0	1	0	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
0	1	1	1	1	1	1	0
0	1	0	1	1	1	1	0
0	0	1	1	1	0	0	0
0	0	0	1	1	0	0	0

Мысал 2.

. A B C F 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0