3.1 Формирование схемной и математической моделей

При анализе схем с высококачественными транзисторами и ОУ целесообразно применение схем замещения электронных компонентов с аномальными элементами (нуллаторами, нораторами, нуллорами).

Рассмотрим особенности формирования схемной и математической модели схемы с аномальными элементами методом узловых напряжений.

Формирование схемной модели для малосигнального анализа в частотной области предполагает:

- замену в заданной цепи условных обозначений компонентов (диодов, транзисторов, ОУ, активных преобразователей) их соответствующими схемами замещения с аномальными элементами;

- исключение из схемы источников, определяющий статический режим;

- преобразование источников напряжения в источники тока (см. п.2.1).

Далее, исходя из схемной модели, формируется математическая модель прямыми или косвенными методами. Рассмотрим формирование узловых уравнений для цепи, содержащей аномальные элементы, пассивные двухполюсники, независимые источники тока:

1. Для регулярной части цепи (анализируемая цепь без аномальных элементов) записываем систему уравнений:

YU = I, (3.1)

где Y - матрица проводимостей регулярной части схемы;

U - вектор узловых напряжений;

I - вектор независимых источников тока.

2. Так как напряжение, приложенное к нуллатору, равно нулю, уравниваем соответствующие узловые напряжения и суммируем между собой столбцы матрицы Y, соответствующие узлам, между которыми включены нуллаторы. Полагаем равными нулю узловые напряжения и вычеркиваем из матрицы Y столбцы, соответствующие узлам, которые соединены нуллаторами с базисным узлом. Таким образом, число неизвестных узловых напряжений и число столбцов матрицы Y уменьшается на число нуллаторов.

3. Поскольку количество уравнений превышает количество неизвестных узловых напряжений, суммируем между собой строки матрицы Y и задающие узловые токи, соответствующие узлам, между которыми включены нораторы. Удаляем узловые токи и строки матрицы Y, соответствующие узлам, которые соединены нораторами с базисным узлом.

4. Полученная система уравнений представляет собой математическую модель анализируемой схемы. Решение полученной системы уравнений дает искомые значения узловых напряжений.

3.2 Передаточная функция. Частотные характеристики

Для проведения анализа электронных схем необходимо использовать наиболее удобные формы представления схемных функций. Рассмотрим их. В общем случае каждая схемная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной , поскольку, согласно формуле Крамера (3.2), она выражается через алгебраическое дополнение и определитель Δ матрицы эквивалентных параметров схемы. Последние составляются, в свою очередь, из параметров компонентов схемы, в том числе реактивных (конденсаторов, имеющих сопротивление Z_c=1/рС, индуктивностей Z_L=pL). В результате:

, (3.2)

или в общем случае

. (3.3)

Здесь все коэффициенты а_i и b_i вещественны и определяются только параметрами компонентов эквивалентной схемы цепи. Выражение (3.3) можно записать в ином виде в соответствии с основной теоремой алгебры:

, (3.4)

где Н=а_п/b_т - постоянный множитель (масштабный коэффициент). Его часто опускают, предварительно пронормировав функцию;

z_I - корни числителя. Когда текущее значение р принимает значение p=z_i, функция F(p)=0, поэтому корни числителя z_i, называют нулями (zero) функции;

р_i - корни знаменателя. Когда р=р_i, функция стремится к бесконечности, поэтому р_i называют полюсами (pole) функции.

Если имеется несколько одинаковых корней числителя или знамена­теля, то их называют кратными нулями или кратными полюсами соответ­ственно, а их числом определяют порядок кратности нуля или полюса. При отсутствии кратных нулей или полюсов их называют различными или простыми.

Поскольку коэффициенты функции F(p) могут быть только дей­ствительными, она обладает свойством сопряженной симметрии. Это означает, что ее нули и полюсы на плоскости комплексной переменной могут располагаться либо на действительной оси, либо симметрично от­носительно ее, т. е. могут быть либо действительными, либо мнимыми или комплексными, но только попарно сопряженными.

Переход от функции цепи F(p) к комплексной входной или передаточной функции F(ω) ocyществляется заменой в выражении (3.3) переменной ω на jω [1].

(3.5)

Или

(3.6)

Из модели (3.5) следует, что АЧХ определяется по выражению:

(3.7)

а ФЧХ определяется по выражению:

(3.8)

Частотной характеристикой схемы называют совокупность значе­ний функции на отрезке положительной полуоси , соответ­ствующем некоторому заданному диапазону изменения частот .

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) схемы называют соответствующую совокупность значений модулей f(co) в заданном диа­пазоне изменения частот .

Фазово-частотной, или фазовой, характеристикой (ФЧХ) схемы на­зывают соответствующую совокупность значений фазовых углов в заданном диапазоне частот .

При построении графиков АЧХ и ФЧХ используется либо равномерная шкала частот, при которой ( - шаг приращения частоты), либо логарифмическая шкала, при которой очередное значение частоты определяется из рекуррентного соотношения .

При наличии индуктивностей в цепи (3.1 а) уравнения следует формировать модифицированным методом узловых напряжений или осуществить замену индуктивностей гираторами (3.1 б), нагруженными на емкость, схема замещения в этом случае имеет вид, представленный на рисунке 3.1 в [5].

а) б) в)

Рисунок 3.1 Схема замещения

Появляющийся при использовании гиратора дополнительный узел d приводит к увеличению количества уравнений на число индуктивностей.

Расчет частотных характеристик проводится согласно алгоритма, приведенного в учебном пособии П.Н. Ганского «Машинный анализ и расчет электронных схем».