8. Моделювання ціни міського житла

Співавтор: Гнатюк Оксана

З допомогою лінійної алгебричної моделі ціни міського житла визначено найважливіші чинники впливу на неї. На цій основі побудовано нелінійну модель залежності ціни житла від основних факторів впливу, записану з допомогою багатовимірного степеневого полінома. Для ідентифікації параметрів полінома застосовано метод найменших квадратів, з критерієм у формі регуряризаційного функціоналу Тіхонова, для якого застосовано додаткову регуляризацію, що полягає у редукції степені апроксимаційного полінома.

Поставлено задачу побудувати математичну модель залежності ціни на житло від факторів впливу, що описують окреме житло та відображають економічний стан ринку жила.

Розв’язання цієї задачі дасть інструмент для автоматизованої оцінки вартості житла, спростить прийняття рішень під час визначення вартості житла та дозволить проводити обчислювальні експерименти з метою реального виявлення тенденцій на ринку житла.

З попереднього дослідження задачі та з апріорних даних відомо, що ціна на житло змінюється залежно від впливу двох груп чинників – загальноекономічних факторів, та параметрів, що описують стан житла та особливості його розміщення відносно інфраструктури населеного пункту, регіону.

Нижче викладено метод розв’язання поставленої задачі.

Нехай – вартість житла, виражена в грошових одиницях. Значення цієї величини відповідає сумі коштів, перерахованих покупцем продавцеві під час здійснення операції купівлі – продажу.

Для побудови моделі необхідно накопичити масив значень вартостей

(8.1)

для операцій купівлі-продажу житла.

Величина відображає вартість житла як елементарного об’єкта продаж – квартири, осібного будинку, які після купівлі стають домівкою окремої особи чи родини.

Продаж багатоквартирних котеджів розкладається як сума окремих продаж помешкань, з яких вони складаються. За таких обмежень вартість житла збігається з поняттям його ціни. Тому надалі в цій моделі вартість і ціну помешкання вважатимемо ідентичними поняттями.

Масив вартостей (8.1), за якими були здійсненні операції купівлі-продажу, необхідно вибрати так, щоб відобразити актуальний стан ринку. Тобто кожна з вибраних - тих операцій купівлі-продажу має відповідати тенденціям, які протягом останнього часу склалися у галузі соціально-економічних відносин.

Локальні параметри оцінки житла залежать від домінування соціально-економічних уподобань. Наприклад, за одних історичних умов споживачі надають перевагу помешканням у багатоповерхових будинках в “середніх окраїнах”, за інших умов – у місцях, віддалених від транспортних шляхів. Причому зміна цих домінант відбувається повільно, разом з демографічним заселеннями нових мікрорайонів та з тривалими хвилями їх демографічного оновлення. Тому обираючи масив операцій купівлі-продажу, необхідно брати до уваги лише ті з них, які знаходяться на етапі домінанти оцінки локальних параметрів житла. Практично це означає, що в масив (8.1) потрібно вибирати операції купівлі продажу для окремого регіону (населеного пункту) протягом відрізка часу, відколи намітилася стабілізація перехідної економіки. Це задає відрізок часу не більше 6-7 років.

На вартість житла впливають зовнішньоекономічні чинники, зокрема фактори, котрі протягом останнього десятиліття викликали постійне його подорожчання. Причому подорожчання одиниці площі умовного житла відбувається безперервно, тому функція, що описує залежність вартості одиниці площі житла від часу є всюди зростаючою на вибраному відрізку спостереження.

Нехай відома на області спостереження

, (8.2)

яка відповідає часовим обмеженням, поданим вище.

Введемо індекс інфляції

. (8.3)

Індекс інфляції – безрозмірна величина, яка досягає одиниці в точці, коли ціна одиниці площі середнього житла в регіоні досягнула свого максимуму.

У всіх решта точках (моментах часу) індекс інфляції менший за одиницю: .

Вартість житла є функцією середньої ціни одиниці площі

. (8.4)

Щоб визначити залежність вартості житла від часу, що необхідно для побудови моделі, розглянемо вартість житла як величину, залежну від середньої ціни одиниці площі житла в останній (поточний) момент часу помножену на індекс інфляції, вирахуваний для дати проведення -тої операції:

(8.5)

де – вартість житла під час виконання -тої операції купівлі-продажу; – індекс інфляції, що відповідає даті -ї операції; – середня вартість одиниці площі житла в поточний (останній) момент часу .

Ввівши залежність (8.5) враховано інфляцію і виключено з розгляду динамічну зміну модельованих величин.

Житло характеризують формалізовані параметри – площа квартири, наявність ремонту, площа кухні, кількість кімнат тощо - ці параметри відображають внутрішній стан житла.

Нехай

(8.6)

формалізовані параметри, що описують локальні характеристики житла; індекс – вказує значення цих параметрів для і-тої операції купівлі-продажу; індекс – номер функціонального параметра.

Вважатимемо, що формалізовані параметри відомі з даних інформаційного обліку.

Житло також описують слабоформалізовані параметри, які відносяться як до приміщення, так і оточуючого архітектурно-ландшафтного середовища. Це, наприклад, престижність мікрорайону, відстань до зупинки, забезпеченість торговим сервісом, якість роботи комунальних служб тощо.

Кожну з цих слабоформалізованих величин легко описати за допомогою функції корисності, заданої функцією приналежності до бажаної нестійкої множини, вказавши аргументом функції значення, що описує окрему житлову одиницю, що продається. Але оскільки такий слабоформалізований опис потрібен для задачі регресійного моделювання, тому для відображення слабоформалізованої оцінки параметрів житла достатньо відобразити значення аргументу функції приналежності – число в межах , яке вказує значення слабоформалізованих параметрів на основі експертної оцінки.

Нехай

(8.7)

значення слабоформалізованих характеристик житла, встановлених експертно для -тої операції купівлі-продажу, де – номер слабоформалізованої величини; – кількість слабоформалізованих параметрів взятих до уваги.

Отже, вартість житла є нелінійною функцією середньої ціни одиниці площі , формалізованих параметрів (8.6) і слабоформалізованих параметрів (8.7):

(8.8)

Функція у виразі (8.8) невідома і задача побудови моделі полягає у встановленні її алгебраїчного виразу та ідентифікації її параметрів.

Згідно з теоремою Стоуна-Веєрштраса функцію (8.8) апроксимує багатовимірний степеневий поліном, складений аргументами цієї функції

Позначимо

(8.9)

вектор-аргументів багатовимірного поліному, який апроксимує (8.8). Тоді

, (8.10)

де – невідомий вектор коефіцієнтів апроксимації, – кількість аргументів багатовимірного поліному.

Виберемо – степінь поліному (8.10):

(8.11)

Рівняння (8.11) записані для випадків купівлі-продажу житла слугують ідентифікаційними співвідношеннями для параметрів .

Параметрична ідентифікація структури (8.11) полягає у визначенні коефіцієнтів апроксимації з лінійної задачі мінімізації

(8.12)

Задача (8.12) суттєво некоректна в згідно тверджень Адамара щодо умов коректності задач, тому для її розв’язання необхідно застосувати алгоритм регуляризації.

Класичний метод розв’язання (8.12) полягає у мінімізації регуляризаційного функціоналу Тіхонова [15]

(8.13)

де – параметр регуляризації, що підбирається емпірично.

Однак вектор з задачі (8.13) далеко не завжди дає бажану якість (8.11), адже в поліномі в правій частині цього рівняння записано велику кількість факторів, багато з яких мають низьку інформаційну цінність.

З уваги на це пропонується метод додаткової регуляризації задачі (8.13) [16], який полягає у виявленні та видаленні “зайвих” факторів апроксимаційного степеневого полінома (8.11).

Для цього у множину значень (8.1) та з (8.9) вносяться малі випадкові збурення, двічі розв’язується задача (8.13) без збурень та зі збуреннями і видаляється той додаток полінома, коефіцієнт якого отримав в наслідок збурень найбільше відхилення:

, (8.14)

де – -ті коефіцієнти апроксимації збуреної та незбуреної задач (8.13).

Багатократне повторення процедури редукції зменшує розмірність вектора коефіцієнтів та значно покращує якість моделі (8.11) в сенсі відтворення взаємозв’язку між житлом (8.9) та вартістю (8.1).

Подамо якісний опис алгоритму побудови математичної багатовимірної поліноміальної моделі ціноутворення на житлову нерухомість:

а) Отримати масив значень вартості житла (8.1), згідно реально виконаних операцій купівлі-продажу;

б) Визначити часові межі , з яких беруться дані для побудови моделі;

в) Вирахувати реальне значення індексу інфляції, середньої ціни одиниці площі житла згідно (8.3);

г) Вибрати формалізовані параметри впливу на вартість житла (8.6) та встановити на основі інформаційних даних їхні значення;

д) Вибрати слабоформалізовані параметри впливу на вартість житла (8.7) та встановити їх значення шляхом експертних оцінок;

е) Розв’язати задачу мінімізації (8.13), вибравши деяке значення параметра та виконуючи редукцію степені апроксимаційного полінома згідно з умовою, заданою рівнянням (8.14).

Для визначення оптимальних формалізованих і слабоформалізованих параметрів необхідно побудувати лінійну регресійну модель. Побудова цієї моделі дозволить оцінити міру впливу на досліджуваний результативний показник (ціну на житло) кожного із введених в модель параметрів впливу при зафіксованому на середньому рівні інших факторів. При цьому важливою умовою є відсутність функціонального зв’язку між факторами.

Завдання зводиться до знаходження аналітичного виразу, який би найкращим чином відображав зв’язок формалізованих і слабоформалізованих параметрів житла з ціною на квартиру:

(8.15)

Форму зв’язку можна визначити шляхом перебору функцій різних типів, але беручи до уваги, що любу функцію багатьох змінних шляхом логарифмування або заміни змінних можна звести до лінійного виду, і рівняння можна побудувати в лінійній формі:

(8.16)

де – ціна на окреме житло; , ... – формалізовані і слабоформалізовані параметри житла; , ,..., x_n – значення параметрів житла для кожної окремої квартири.

Параметри рівняння знаходяться за способом найменших квадратів. Кожен коефіцієнт рівняння показує ступінь впливу відповідного параметра на ціну житла при фіксованому положенні решти факторів, тобто, як із зміною окремого параметра на одиницю змінюється ціна на житло. Вільний член рівняння економічного змісту немає.

Однак на основі коефіцієнтів регресії не можна судити, яка із факторних ознак найбільше впливає на результативну ознаку, так як коефіцієнти регресії між собою непорівняльні, оскільки вони володіють різними одиницями виміру. Для виявлення окремих параметрів на ціну житла легко вираховувати коефіцієнти еластичності (έі), які показують, на скільки відсотків в середньому зміниться ціна на житло із зміною на 1% кожного параметра при фіксованому положенні інших факторів; бета – коефіцієнти (βі), які показують на яку частину середньоквадратичного відхилення змінюється ціна на житло із зміною відповідного параметра на величину її середнього квадратичного відхилення; або нормалізувати значення параметрів на одиницю. Це означає що максимальному значенню вибірки присвоюється одиниця, а всі інші елементи порівнюються відносно нього.

Отже, для побудови регресійної моделі ціноутворення на житло необхідно спочатку вибрати та проаналізувати усі можливі формалізовані і слабоформалізовані параметри житла, які впливають на ціну квартири; Потім необхідно здійснити математично-статистичний аналіз цих факторів, з метою визначення їхньої адекватності; Далі необхідно вибрати метод та побудувати регресійну багатофакторну модель; здійснити оцінку невідомих параметрів; перевірити модель на адекватність та проаналізувати отримані результати для проведення наступних досліджень.

В результаті обчислень за алгоритмом (8.1) отримаємо математичну модель, задану багатовимірним степеневим поліномом, в якому задано апроксимацій базис так, щоб затишити лише ті додатки, що вносять найістотніший вигляд у математичне відтворення впливу ціноутворюючих чинників на вартість життя.

Знайдена модель у формі поліному (8.10) з коефіцієнтами , ідентифікованими за алгоритмом (8.1) слугує математичним засобом для оцінки вартості житла. Задавши в поліномі (8.10) значення аргументів , які характеризують окреме житло, знаходимо вартість цього житла, згідно тим середнім ціноутворюючих закономірностей, які склалися на ринку впродовж останніх років, і котрі були взяті для розв’язку задачі ідентифікації.

Тобто, модель (8.10) слугує основою для розробки схеми підтримки прийняття рішень при визначенні вартості житла. Застосовуючи її у цій якості при здійсненні як операцій купівлі, так і операцій продажу житла, приходимо до деякої рівноважної ціни, котра має задовільнити обидві сторони операції купівлі-продажу.

Ще одне застосування моделі (8.10) полягає у ранньому виявленні тенденцій. Справді, припустимо, що вартість житла вирахувано за (8.10) згідно алгоритму розбігається з тим значенням, які пропонують за житло учасники операції купівлі-продажу. Це вказує на те, що суттєво зміниться співвідношення між дією ціноутворюючих чинників, що стане наслідком нових економічних змін. Виявивши за допомогою моделі нову тенденцію в ціноутворенні на житло, далі необхідно виконати економічний аналіз, спрямований для з’ясування економічних чи соціальних причин цієї тенденції.

Отже, запропонована регресійна поліноміальна модель, побудована із регуляризацією ідентифікаційної задачі та з врахуванням допоміжних змін ціноутворення на житло, а саме впливу формалізованих та слабоформалізованих чинників, яка придатна для використання як інструмент підтримки прийняття рішень при плануванні операцій купівлі-продажу житла, а також для виявлення реальних тенденцій в цьому секторі економічних відносин.

Використання моделі дозволяє автоматизувати складні процедури оцінки вартості житла, дає максимально обгрунтоване значення вартості, що, в свою чергу, сприяє стабільності роботи агенції нерухомості, а також позитивно позначається на стабілізації ринку нерухомості.

Отже, розроблено математичну модель ціни-вартості житла, з урахуванням локальних впливів, формалізованих і слабоформалізованих, а також загальноекономічних тенденцій, яка дозволяє визначати вартість окремого житла у відповідності із середніми значеннями впливу ціноутворюючих факторів.

На основі спроектованої моделі розроблене програмне забезпечення, призначене для проведення експериментів з метою вививчення залежностей ціни житла залежно від параметрів квартири, а також – виявлення основних цінових тенденцій на ринку житлової нерухомості. Тобто, використання розробленого програмного забезпечення моделі відкриває шлях до кількісного уточнення значення ціни, а також – до обчислювальних експериментів, спланованих для дослідження поведінки ринку житлової нерухомості.

Для проведення експериментів була використана інформація з бази даних агенції нерухомості.

Для проведення експериментів використовувались такі параметри квартири як: кількість кімнат, район, загальна і житлова площі, площа кухні, наявність ремонту, наявність телефону, відстань до зупинки транспорту, рівень розвитку інфраструктури, а також вартість квартири. Вартість квартири записана в умовних одиницях (в даному експерименті в доларах США). Ще один параметр – відстань до зупинки транспорту записана в метрах. Розвиток інфраструктури по відношенню до об’єкта (квартири) угоди є слабоформалізованим параметром, його значення – число в межах [ 0, 1 ] визначене на основі експертної оцінки спеціалістів з нерухомості . Тобто цифра 0 означає відсутність будь-якої інфраструктури, а 1 – її повноцінну наявність (поблизу є магазин, супермаркет, культурний центр - театр, кінотеатр, церква, школа, садочок, парк, базар. При присутності кожного додаткового блага до нуля додається одна десята.

Перший експеримент – статистичний аналіз масиву апріорної інформації, перевірка її на адекватність і придатність до використання в наступних дослідженнях. Другий експеримент – визначення основних тенденцій ціноутворення на житло до кінця 2006 року методом стохастичної апроксимації. Третій експеримент – побудова лінійної регресійної моделі з метою визначення найсуттєвіших параметрів житла, які впливають на ціноутворення на ринку житлової нерухомості. Четвертий експеримент – побудова багатовимірної поліноміальної степеневої моделі з метою створення інструменту прийняття рішень щодо визначення реальної ціни на житло залежно від факторів впливу. Після виконання сценарію експериментів необхідно дати рекомендації агенції щодо впровадження.

Для проведення експериментів було використано масив 1216 даних про операції купівлі-продажі житла, кожна з яких описана 12 параметрами.

В першому експерименті були вирахувані статистичні показники для всіх параметрів житла. Ці результати подані в додатку У. Аналіз проведемо для параметру, який є предметом нашого дослідження, а саме ціни на житло. У вибірці вона вказується в умовних одиницях. Період дослідження ціни на житло - 2005 – І половина 2006 років. При цьому показники були вирахувані для вибірки, яка містила 640 даних про операції купівлі-продажу житлової нерухомості.

Область значень становить [12000 100000]. Це свідчить про те, що ціна на квартиру, залежно від її параметрів протягом цього періоду коливалася від 12000 до 100000 у.о., тобто ширина вибірки становить 88000 у.о.. Сума елементів вибірки - 2.18235e+007 (у.о.) – вказує, на яку суму грошей було проведено операцій купівлі-продажу з житловою нерухомістю. Ця інформація може використовуватись для аналізу податкових коштів, які мали б поступити в бюджет держави протягом заданого періоду. Середнє арифметичне значення складає 34099.2, тобто середня ціна на житло складає приблизно 34000 у.о., не враховуючи впливу параметрів квартири.

Дисперсія складає 1.76756e+008, і вказує наскільки сильно ринок житла схильний відхилятися від середньоринкового значення ціни в сторону заниження або завищення. Чим вища дисперсія тим ринок дозволяє собі ширші коливання, тобто в ньому проявляється сильніший вплив реклами, психологічного тиску продавців, наслідків торгу тощо.

Середнє квадратичне відхилення 13294.9 у.о. показує на скільки зміниться вартість квартири від впливу факторів, описаних вище (вплив реклами, наслідки торгу тощо).

Значення t-параметра Стюдента 0.101384 вказує, що про близькість вибірки до генеральної сукупності.

Розглядаючи результати статистичного аналізу, зауважуємо, що найчастіше купують двокімнатні квартири в цегляних будинках на середніх поверхах з загальною площею квартири – 50 кв.м., площею кімнат – 30 кв.м., площею кухні – 8 кв.м., без телефону в одному з районів з доброю інфраструктурою, за умови 121 м до зупинки транспорту за середньою ціною 34 000 у.о.

На основі статистичного аналізу був побудований закон розподілу густини імовірності для ціни на житло.

Рис. 8.1. Закон розподілу густини імовірності ціни на житло

Проте, для аналізу закону розподілу необхідно взяти значно більший масив значень, що в нашому випадку не можливо. Тому аналіз графіка є досить умовним. Єдиний висновок, який можна зробити з рисунку 8.1 є той, що видно єдиний чітко виражений максимум, що відповідає середньому арефметичному значенню ціни житла протягом 2005 року, 5 місяців 2006 року.

Найвищий коефіцієнт кореляції спостерігається для таких формалізованих параметрів як загальна та житлова площі квартири. Сила зв’язку між випадковими змінами цих параметрів і випадковою зміною ціни ю на квартиру є тісною, оскільки їхні коефіцієнти кореляції попадають в проміжок (0.7 – 0.99). Випадкові зміни таких параметрів як кількість кімнат і площа кухні мають середню силу зв’язку з випадковою зміною ціни на квартиру. Серед слабоформалізованих параметрів найбільшу силу зв’язку з ціною на житло мають такі випадкові зміни параметрів як житловий район, відстань до зупинки і розвиток інфраструктури. Випадкові зміни параметрів – відстань до зупинки та тип будинку мають обернений кореляційний зв’язок з випадковою зміною ціни на квартиру, решта параметрів – прямий. Найнижчий коефіцієнт кореляції між випадковою зміною ціни і випадковою зміною такого параметру як наявність телефону, що свідчить про те, що між випадковими процесами формування ціни і випадковими процесами формування цього параметру існує дуже слабкий зв’язок.

Ці результати підтверджують ідею про те, що фомалізовані параметри складають основу для формування ціни на житло, проте слабоформалізовані параметри теж займають вагоме місце в оцінці.

Дослідження, пов’язані із застосуванням статистичних методів дозволили виявити групу сильно скорельованих величин (параметрів впливу), групу величин, які мають між собою дуже слабкий зв’язок (наприклад, відстань до зупинки і жила площа квартири). Крім того, статистичний аналіз довів, що досліджувані величини є випадковими, що дає можливість проведення наступних експериментів з цими даними.

Для прогнозування типового ряду середніх цін на житло до кінця 2006 року проводимо наступний експеремент. Для його проведення використовуємо дані про ціну квартири та її характеристики протягом ІІ пол. 2003 - 5 місяців 2006 років. Розбиваємо всю вибірку на 6 фрагментів за часовою ознакою: І – дані за ІІ половину 2003 року; ІІ – дані за І половину 2004 року; ІІІ – дані за ІІ половину 2004 року; ІV – дані за І половину 2005 року; V - дані за ІІ половину 2005 року; VІ – дані за 5 місяців 2006 року.

В результаті отримано шість ковзних вибірок, які сформовані в шести окремих файлах. Для цих фрагментів вираховуємо середнє арифметичне значення ціни. В кінцевому результаті отримуємо шість середньоарифметичних значень що відповідають середнім значенням ціни на квартиру та їхні закони розподілу для шести послідовних точок, які відповідають певним часовим періодам. Результати цих обрахунків показано на рисунку 8.2.

Рис. 8.2. Середнє значення ціни на житло протягом ІІ пол.2003 – 5 місяців 2006 років.

Аналізуючи цей рисунок, можна прослідкувати тенденцію зміни середньої арифметичної ціни на житло протягом певного часу. Так протягом всього досліджуваного періоду спостерігалось зростання. Пік ціни після стрімкого зростання зафіксовано на початку 2004 року, потім ця величина зростає протягом року досить повільно і тільки починаючи з січня 2005 року, стрімкий ріст ціни на житло, максимум якої зафіксовано в грудні 2005-січні 2006 років. Проте, за останні п’ять місяців поточного року спостерігається деякий незначний спад, що є закономірним процесом після такого ажіотажу.

Для цих середньоарифметичних значень вибірки використовуючи лінійну апроксимацію, за допомогою лінійної функції знаходимо кутовий коефіцієнт кривої, тобто параметри лінії, що проходять через ці точки за методом найменших квадратів. Коефіцієнти апроксимації пораховані мають такі значення: де – час в півріччях (див. рис. 8.2).

Тоді на основі цих результатів, використовуючи метод лінійної екстраполяції, будуємо лінію прогнозних середньоарифметичних значень.

Рис. 8.3. Середня арифметична ціна на житло за роки і її лінійна екстраполяція

В результаті ми отримуємо графік (рисунок 8.3), на якому зображено прогнозні середньоарифметичні значення ціни на житло на наступний період. З цього рисунку можна зробити висновок, що отримана лінія апроксимує середнє значення цін. Вона відображає тенденцію подорожчання цін. Якщо припустити що ціни і надалі в певний період зростатимуть лінійно, то можна використати метод стохастичної апроксимації.

Знаючи прогнозне значення ціни, використовуємо його для модифікації законів розподілу. На основі усереднення цих законів розподілу будуємо прогнозний закон розподілу, який описує випадкову ціну на житло до кінця 2006 року. В результаті отримаємо графік (рисунок 8.4) з результатами, де прогнозний закон розподілу – R₆ зображений коричневою лінією. Він більш гладший за інші і трішки зміщений вправо, що свідчить про деякий ріст цін в майбутньому періоді, а саме до кінця 2006 року, і відзначається менший вплив малої кількості даних.

7

Рис. 8.4. Реальні щорічні закони розподілу (0-5) і прогнозний закон розподілу (6)

Тоді згенеруємо послідовність випадкових величин ціни на житло, які відповідають цьому прогнозному закону розподілу. В результаті отримуємо потік подій, який необхідно очікувати на найближчий період. Вони імітують ціноутворення на житло до кінця 2006 року – його прогнозна ілюстрація:

30323.3 38863.71 29234.64 45481.8 33510

32641.8 27097.5 63467.5 44296.6 28609.7

51108.8 57454.7 21807 33154 41787.5

57770.47 36331.6 41680.7 38668.49 44676.8

Проведемо математичний експеримент, який дасть змогу проаналізувати вплив формалізованих і слабоформалізованих параметрів на ціну житла на основі побудови лінійної регресійної моделі.

Для цього знайдемо відносні значення параметрів отриманих при нормалізації цінових чинників на одиницю, а саме величину коефіцієнтів регресійної апроксимації. Оскільки аналізовані вибірки нормалізовані на одиницю тому коефіцієнти можуть бути зрівняні між собою.

Для початку проаналізуємо вплив формалізованих параметрів на ціну житла. До них належать: загальна і жила площі квартири, площа кухні, кількість кімнат та наявність ремонту (рисунок 8.5).

Рис.8.5. Вплив формалізованих параметрів на ціну житла. Формалізовані параметри житла: 1 – кількість кімнат; 2 – загальна площа квартири; 3 – житлова площа квартири; 4 – площа кухні; 5 – ремонт.

З діаграми видно, що найбільше ціна квартири залежить від житлової площі квартири (коефіцієнт 6,63∙10⁴) і від площі кухні (коефіцієнт 1,93∙10⁴), слабша залежність спостерігається між ціною квартири і такими параметрами як загальна площа квартири (коефіцієнт 2,85∙10³) і наявність ремонту (коефіцієнт 4,097∙10³). Чим вищі ці показники, тим квартира дорожча.

Негативна залежність спостерігається у випадку з кількістю кімнат (коефіцієнт –1,26∙10³). Це пояснюється тим, що найдорожчими в Тернополі є однокімнатні квартири, а дво- і трьохкімнатні квартири при інших параметрах стають дешевшими в порівнянні з однокімнатними.

Тепер можна проаналізувати окремо вплив слабоформалізованих параметрів таких як житловий район, поверх, тип будинку, відстань до зупинки та розвиток інфраструктури. Як видно з рисунку 8.6 якщо вважати що на ціну впливають лише слабоформалізовані параметри, то найбільший вплив мають такі параметри як розвиток інфраструктури (+1.76∙10⁴) і номер поверху (1.36∙10⁴), на якому знаходиться квартира.

Трішки менший, але майже однаковий вплив мають такі параметри як житловий район (6.02∙10³) і тип будинку (5.9∙10³). Малий вплив має наявність телефону (2.46∙10³). Параметр «відстань до зупинки» має від’ємне значення (-9.06∙10¹), що свідчить про обернений вплив цього показника на ціну квартири. Тобто чим більша відстань оцінюваної квартири до зупинки, тим менша ціна за житло.

Для отримання точніших результатів необхідно об’єднати формалізовані і слабоформалізовані параметри, і подивитися їхню силу впливу в об’єднаному варіанті.

Отже, продовжуємо експеримент об’єднуючи дві групи параметрів впливу (рисунок 8.7). Дані розрахунки показують, що при об’єднанні в моделі формалізованих і слабоформалізованих параметрів вони змінили своє значення.

Рис. 8.6 – Вплив слабоформалізованих параметрів житла на ціну квартири. По осі Х – параметри житла: 1 – житловий район; 2 – поверх; 3 – тип будинку; 4 – наявність телефону; 5 – відстань до зупинки транспорту; 6 – розвиток інфраструктури. По осі Y – значння коефіцієнта апроксимації.

Рис. 8.7. Вплив формалізованих і слабоформалізованих параметрів житла на ціну квартири. По осі Х - параметри житла: 1 – кількість кімнат; 2 – житловий район; 3 – поверх; 4 – тип будинку; 5 – загальна площа квартири; 6 – житлова площа квартири; 7 – площа кухні; 8 – ремонт; 9 – наявність телефону; 10 – відстань до зупинки; 11 – розвиток інфраструктури. По осі Y – значення коефіцієнтів апроксимації.

Серед формалізованих параметрів найбільше відхилення спостерігається для параметра площа кухні. Вплив цього показника значно зменшується (до 5,52∙10³), а підвищується сила впливу параметра загальної площі квартири (до 2,72∙10⁴). Це свідчить про те, що все-таки слабоформалізовані параметри впливають на ціну житла. Щодо слабоформалізованих параметрів, то після проведення останнього експерименту видно, що їхній вплив зменшився в декілька разів, а такий параметр як тип будинку взагалі набув від’ємного значення (-2,29∙10³). Це свідчить проте, що квартира в панельному будинку є дешевшою ніж квартира в цегляному. Крім того посилився обернений вплив такого параметра як відстань до зупинки, його коефіцієнт склав (-7.28∙10³).

Аналізуючи рисунок 8.7 можна виділити три групи параметрів. Перша група - параметри які суттєво впливають на ціну житла і їхній зв’язок є прямим (коефіцієнти більші за нуль). До цієї групи можна віднести такі формалізовані параметри як загальна і житлова площі квартири. Їхні коефіцієнти складають 2,72∙10⁴ і 4,84∙10⁴.

Друга група – показники, які мають середній прямий вплив на ціну житла. Це формалізовані параметри – площа кухні (коефіцієнт 5,42∙10³) і наявність ремонту (коефіцієнт 3,47∙10³), а також слабоформалізовані – житловий район (коефіцієнт 2,13∙10³), поверх (коефіцієнт 3,5 10³) та розвиток інфраструктури (коефіцієнт 5,23∙10³).

Третя група – параметри, які мають обернений зв’язок з ціною на житло. Як видно з діаграми це такі слабоформалізовані параметри як тип будинку (коефіцієнт -2,29∙10³) і відстань до зупинки (коефіцієнт - 7,28∙10³). Ціна на житло зменшується при зростанні цих параметрів.

Наявність телефону, як видно з рисунку, практично на ціну квартири не впливає.

Проте, ряд параметрів були утворені на основі експертної оцінки спеціалістів з житлової нерухомості. Суб’єктивність такого оцінювання може спричинити неточність результатів. Тому проведемо ще один експеримент виключаючи такі суб’єктивно оцінені параметри як житловий район, поверх і тип будинку. Для покращення результатів необхідно взяти лише ті параметри, які мають кількісні характеристики. Результати експерименту показано на рисунку 8.8.

Рис. 8.8. Вплив формалізованих і слабоформалізованих параметрів житла на ціну квартири, які мають кількісні характеристики. По осі Х - параметри житла: 1 – кількість кімнат; 2 – загальна площа квартири; 3 – житлова площа квартири; 4– площа кухні; 5– ремонт; 6 – наявність телефону; 7 – відстань до зупинки; 8 – розвиток інфраструктури. По осі Y – значення коефіцієнтів апроксимації.

Оскільки, як видно з попереднього експерименту, виключені характеристики слабо впливали на ціну житла, тому вигляд гістограми практично не змінився. Проте посилився вплив таких параметрів як розвиток інфраструктури (6,6∙10³), зменшився обернений вплив параметра - відстань до зупинки (з - 7,28∙10³ до - 6,8∙10³).

Рівняння регресії на основі найбільш вагомих коефіцієнтів, що дозволяє визначати ціну на житло.

де, – кількість кімнат; – загальна площа квартири; – жила площа квартири; – площа кухні; – ремонт; – наявність телефону; – відстань до зупинки в метрах; – розвиток інфраструктури; – ціна житла.

На основі лінійної регресійної моделі можна зробити висновок, що серед формалізованих параметрів найсуттєвіший вплив здійснює показник житлової площі квартири, а серед слабоформалізованих – розвиток інфраструктури та відстань до зупинки. Цей висновок буде взятий за основу для проведення наступних експериментів.

Отже побудувавши лінійну регресійну модель, було отримано такі результати: повністю розв’язана поставлена задача регресійного аналізу; проведений якісний аналіз параметрів, тобто встановлено як формалізовані і слабоформалізовані параметри впливають на ціну житла; виділено три групи параметрів залежно від сили впливу на досліджуваний показник; отримано інструмент підтримки прийняття рішень для визначення ціни на житло залежно від його формалізованих і слабоформалізованих параметрів згідно лінійного регресійного рівняння; отримано проміжний результат для подальшої побудови моделі дослідження ринку житла.

Проводячи попередні експерименти, ми отримали одновимірну лінійну регресійну модель для параметрів впливу, що дало можливість виявити, які параметри суттєво впливають на ціноутворення. Але ця модель залишається доволі неточною, оскільки носить лінійний характер і з її допомогою важко точно оцінити вплив окремих чинників на одну окремо взяту квартиру, що важливо для процесу оцінювання житла під час його купівлі – продажу. Тому доцільно розробити аналогічну модель для декількох чинників, які впливають на ціну, але вищої степені.

Для проведення наступного експерименту необхідно вибрати три параметри, від яких найбільше залежить ціна на квартиру. З попередніх досліджень зроблено висновки, що такими параметрами є загальна площа квартири, жила площа і площа кухні. Проте, вони сильно скорельовані між собою, і не можуть бути використані для подальшого аналізу оскільки отримані результати будуть дублювати один одного. Тому з цих трьох формалізованих параметрів вибираємо лише один, а саме жилу площу квартири, оскільки він найвагоміший. Крім нього для експерименту вибираємо ще два слабоформалізовані параметри: відстань від квартири до зупинки і розвиток інфраструктури. На основі цих параметрів будуємо модель залежності ціни квартири від її параметрів записаної за допомогою багатовимірної поліноміальної апроксимації.

Значні похибки в обчислення з багатовимірним поліномом робить задачу некоректною. Для того, щоб понизити вплив похибок обчислення, зумовлений великою кількістю коефіцієнтів апроксимації, потрібно незначимі коефіцієнти відкинути. Для цього застосовано два алгоритми регуляризації: критерій методу найменших квадратів, записаний за допомогою регуляризуючого функціоналу Тіхонова і алгоритм пониження степеня поліному за допомогою методу запропонованого в [³⁰]. В результаті чого отримуємо ефективний метод поліноміальної багатовимірної апроксимації.

В результаті експерименту було отримано трьохвимірний графік, в якому зображено по осі абсцис – параметр – житлова площа квартири, по осі ординат – ціна квартири в у.о., і по осі аплікат – відстань до зупинки транспорту, при умові, що розвиток інфраструктури = 0,5. На рисунках 8.9.-8.12 зображений графік з різних просторових точок.

Рис. 8.9а. Трьохвимірний графік, що показує залежність ціни житла з від площі та відстані до зупинки.

З рисунку 8.9 можна зробити висновок, що при деякій відстані до зупинки – 45-50м, ціна на житло стає найдорожчим. Зображена крива типу сідла, в якій ліве крило піднімається вгору, що свідчить про те, що певного моменту (з точки сідла) ціна на житло починає стрімко зростати.

При повороті графіка на декілька градусів (рисунок 8.10) можна побачити точку мінімуму. Це свідчить про те, що в Тернополі квадратний метр житла стає дешевшим при відносних інших параметрах, коли житлова площа квартири становить 30-40 кв.м. В квартирах з більшою чи меншою (відносно цього інтервалу) житловою площею квадратний метр житла є дорожчим.

За допомогою цього експерименту було проведено якісний аналіз залежності ціни на житло від житлової площі квартири, відстані до зупинки та розвитку інфраструктури.

Підставляючи реальні дані в цю модель, отримуємо інструмент для визначення того, на скільки запропонована ціна на житло відповідає його справжній ринковій кон’юнктурі. Тобто розроблено точний інструмент оцінки кон’юнктурно-ринкової ціни житла. Якщо припустити, що вартість житла вирахуваного згідно рівняння розбігається з тим значенням, які пропонують за житло учасники операції купівлі-продажу, то це вказує на те, що суттєво зміниться співвідношення між дією ціноутворюючих чинників, що стане наслідком нових економічних змін.

Рис. 8.10б. Трьохвимірний графік, що показує взаємодію параметрів житла з ціною на квартиру.

На наступному рисунку 8.11 видно, що при збільшенні житлової площі квартири і її відстані до зупинки ціна починає зростати. Аналізуючи цей графік, можна виділити дві тенденції. По-перше, можна припустити, що мова йде про елітне житло покращеного планування для заможних громадян, з великою житловою площею і подалі від транспортних вузлів.

Рис. 8.11в. Трьохвимірний графік, що показує взаємодію параметрів житла з ціною на квартиру

По-друге, друга категорія житла – квартири із житловою площею 30-40 кв.м. досягають свого максимуму в ціні за умови відстані до зупинки 50-60 м. (рисунок 8.12)

Рис. 8.12г. Трьохвимірний графік, що показує взаємодію параметрів житла з ціною на квартиру

Отже, провівши цей експеримент, можна зробити такі висновки: в результаті досліджень був отриманий інструмент для підтримки прийняття рішень щодо ціни на житлову нерухомість, який дозволяє вираховувати, як зміниться ціна квартири залежно від збільшення чи зменшення тих чи інших досліджуваних параметрів житла.

Застосування розробленої моделі вирахування ціни на житло залежно від факторів впливу дозволяє планувати ефективну роботу з клієнтами окремої агенції нерухомості, виявляти складні економічні тенденції розвитку ринку, тобто слугує ефективним інструментом підтримки прийняття рішень як при визначенні ціни на окреме житло, так й при вивченні закономірностей на ринку житлової нерухомості.

Розроблена математична модель дослідження ринку житла придатна не лише для вирахування цін на житло, але і перевіряти її достовірність, коли вона вже є визначена. Крім того вона придатна для вивчення особливостей та основних тенденцій ринку на тривалий період за умов діючого економічного піднесення. Працівникам агенції, які здійснюють дослідження в сфері житлової нерухомості, достатньо змінити параметри моделі, на ті фактори впливу, які їх цікавлять, в результаті чого можна отримати якісний аналіз впливу на ціну квартири всіх, чи деяких окремо формалізованих і слабоформалізованих параметрів житла.