23. Модель визначення верхньої межі овердрафту

Співавтор: Сопотницький Степан Семенович

Повторено експеримент з вирахування граничного розміру кредиту овердрафт, вирахуваного в реальному часі під час виконання операцій з картковим рахунком.

Поставлено задачу – за відомими даними про щоденне поточне залишку на розрахунковому рахунку клієнта визначити граничну величину овердрафту, кий без ризику банк видає клієнту і визначити очікувану величину кредитних ресурсів, які банку необхідно зарезервувати, щоб виконувати всі можливі зобов’язання за овердрафтом при відповідних запитах клієнтів.

Розв’язання поставленої задачі веде до подання двох практичних трудностей, пов’язаних з обслуговуванням овердрафт-кредитів: зниження та контрольованого управління ризиками кредитування; оптимізації структури ресурсної бази банку.

Нижче викладено спосіб практичного розв’язання поставленої задачі, на основі моделі, запропонованої в [⁶², ⁶³, ⁶⁴] та в інших праціях цих авторів.

Формування як залишків на поточних рахунках, так і позичкової заборгованості має імовірнісний характер і при достатній кількості клієнтів, які кредитуються, можна з достатньою точністю стверджувати, що сумарна величина встановлених лімітів кредитування за клієнтськи­ми позичковими рахунками практично завжди буде більшою від фак­тичного рівня позичкової заборгованості. Фактична позичкова заборго­ваність визначає реальну потребу банку в ресурсах для забезпечення потреб всіх його клієнтів, які кредитуються за овердрафтом, у межах сумарного ліміту. Необхідність оцінки цього рівня визначає значимість дослідження та його актуальність для практичної діяльності комерційних банків.

Для оцінки використання клієнтом кредиту за овердрафтом застосо­вується коефіцієнт оборотності за позичковим рахунком:

, (23.1)

де L_i – встановлений ліміт кредитування, тис. грн; Оі – оборотність позичкової заборгованості за овердрафтним кредитуванням, дні.

Величина середньоденного погашення визначається діленням сумарного погашення за позичковим рахунком на кількість днів у місяці. Низьке значення коефіцієнта оборотності свідчить про активну роботу клієнта, але може привести до незначної величини позичкової заборгованості та доходів банку; високе значення коефіцієнта свідчить про недостатню активність клієнта та може привести до розгляду доцільності його кредитування за овердрафтом і переведення на разове кредитування, або перегляду величини ліміту в бік зменшення.

Ліміт кредитування досить часто обмежується банками – 50 % над­ходжень на поточний рахунок клієнта за двомісячний період. Позичальник повинен забезпечувати оборотність позикових коштів, – відсутність руху коштів на позичковому рахунку допускається, як правило, не більше 30 днів.

Необхідно відзначити, що овердрафтне кредитування може бути бланковим (без додаткових видів забезпечення) у тому випадку, якщо ліміт встановлюється в межах 20–30 % від кредитового обороту за місяць, при великих значеннях, як правило, потрібне доповнення звичайними вида­ми забезпечення (майном, майновими правами, гарантіями та поручительствами третіх осіб тощо).

Перш, ніж будувати математичну модель явища використання клієнтом залишків на своєму розрахунковому рахунку, проведемо попередній якісний аналіз модельованої величини – залишку на рахунку. Для неї характерне періодичне обнуління в результаті повного використання коштів. Формування залишків є досить різноманітним, що пояснюється різним ступенем управління коштами та значною мірою залежить від кваліфікації персоналу підприємства.

У формуванні поточних пасивів банку як сукупності депозитів до запитання на поточних рахунках клієнтів виділяється умовно-постійна частина (ТПcon_st), величина якої в загальному випадку визначається такою формулою:

(23.2)

де ТПconst – умовно-постійна частина поточних пасивів банку; mі –математичне очікування (середня величина) залишку коштів на і-му поточному рахунку клієнта; σі – середньоквадратичне відхилення залишку коштів на і-му поточному рахунку як випадкової величини, розподіленої за нормальним законом.

Якщо припустити, що параметри залишків на всіх клієнтських рахун­ках рівні, то залежність матиме такий вигляд:

(23.3)

де n – кількість поточних клієнтських рахунків у банку.

Умовно-постійна складова поточних пасивів охоплює значну частину ресурсів комерційних банків, яка за своїми параметрами може належати до стабільних і керованих ресурсів і тому використовується для розміщення у строкові, у тому числі й довгострокові, активи. При переведенні клієнтів на кредитування за овердрафтом формування залишків на поточних рахунках істотно змінюється, що пояснюється напрямком коштів, які надходять на поточний рахунок для погашення позичкової заборгованості. Приклади їх формування проілюстровано на рис. 23.3.

Сукупні поточні пасиви і сукупна позичкова заборгованість банку на всіх рахунках клієнтів, які кредитуються за овердрафтом, представлені на рис. 23.4. У їхньому складі також можна виділити умовно-постійні частини та середні значення (математичні очікування) цих потоків.

Формування сумарних залишків на поточних рахунках клієнтів, які кредитуються за системою овердрафт, неможливо описати розглянутими вище формулами а формування сумарної фактичної позичкової заборгованості відбувається в межах сумарного ліміту кредитування.

Для кращого розуміння процесів формування позичкової заборгова­ності та сумарного ліміту їх представлено спрощеною схемою на рис. 23.1.

Сумарний ліміт кредитування за овердрафтною системою визначається як сума всіх лімітів, встановлених для відповідних позичкових рахунків:

(23.4)

де LS – сумарний ліміт для усіх n позичкових рахунків клієнтів банків, які кредитуються за овердрафтом; L_i – ліміт кредитування, встановлений за і-тим позичковим рахунком.

Рис. 23.5. Схематичне представлення формування позичкової заборгованості клієнтів, які кредитуються за овердрафтною системою.

Величини щоденної позичкової заборгованості за окремим клієнтським рахунком розподіляються як випадкові величини відповідно до нормального (чи близького до нього) закону розподілу. При цьому за окремим ра­хунком заборгованість змінюється в межах від нуля до свого максимуму ліміту кредитування з параметрами ті (математичне очікування чи серед­ня величина позичкової заборгованості) і s_i (середньоквадратичне відхилен­ня). При цьому середня, мінімальна та максимальна величини позичкової заборгованості в цілому за банком визначаються такими формулами:

(23.5)

(23.6)

(23.7)

де МS – математичне очікування сумарної величини позичкової заборгованості за всіма овердрафтовими рахунками; ЗСm_ах – максимальна величина сумарної позичкової заборгованості за всіма овердрафтовими рахунками, визначена з імовірністю 0,9973[⁶⁵]; ЗС_min – мінімальна величина сумарної позичкової заборгованості за всіма овердрафтовими рахунка­ми, визначена з імовірністю 0,9973; σS – середньоквадратичне відхилення щоденних величин сумарної позичкової заборгованості за овердрафтовими рахунками; m – математичне очікування (середня величина) позичкової заборгованості на окремому клієнтському рахунку.

(23.8)

де σ_i – середньоквадратичні відхиленні на і-му позичковому рахунку. За умови рівності середніх залишків на рахунку:

(23.9)

(23.10)

Ці формули дають змогу стверджувати, що „недовикористання” сумарного ліміту кредитування за овердрафтовими рахунками становитиме:

(23.11)

Якщо припустити, що параметри всіх позичкових рахунків однакові, то ця формула спрощується:

(23.12)

У середньому перевищення сумарного ліміту над фактичною позичковою заборгованістю складатиме:

(23.13)

Наявність таких відхилень зумовлена випадковим характером формування сукупної заборгованості та тим, що при достатній кількості клієнти одночасне використання ними позикових коштів у межах установленого кожному ліміту малоймовірно; імовірність перевищення діапазону роз­сіювання при цьому становитиме 1 – 0,9973 = 0,0027 чи 0,135 % .

Аналіз фактичного формування позичкової заборгованості показав, що сукупний ліміт "вибирається" у діапазоні 40–70 %. Досить точні зна­чення отримуємо при обчисленні за формулою (23.11).

Використання цих функціональних формул дає можливість: прогнозувати рівень необхідних ресурсів для забезпечення овердрафтного кредитування; прогнозувати з достатньою імовірністю доходи від такого виду кредитування.

В наступному пункті описано алгоритм вирахування параметрів овердрафту на основі побудованої моделі. Програмне забезпечення моделі та обчислювальні експерименти, проведені з нею, описані в наступному розділі.

Вище виведено формули, які зв’язують величину найбільшого значення овердрафту на окремому рахунку L_i для і-ного погашення у відповідності з інтересами банку зберігати сумарну величину виданих овердрафт-кредитів LS в межах, які не впливають на структуру ресурсів банку. При цьому отримано два результати – формулу (23.12) для вирахування величини овердрафту для клієнтів, що мають приблизно рівні статистичні характеристики випадкової величини залишку на своєму рахунку, та формулу (23.11) для вирахування величини овердрафту для клієнтів з різними статистичними характеристиками величини рахунків.

Розглянемо спочатку метод вирахування граничного розміру овердрафту для одного клієнта із групи клієнтів з приблизно рівними статистичними характеристиками залишків на рахунках. Така група клієнтів, наприклад, відповідає одному зарплатному проекту.

Стратегічна мета банку – скоротити „недовикористання коштів”, призначених для кредитування.

Тобто управління лімітом овердрафт –кредитування відповідає умові:

(23.14)

Представляючи (23.12) у (23.14), враховуючи умову, що всі величини в цих формулах додатні, отримуємо:

, (23.15)

де L – максимальна величина овердрафту, допустимого для групи з п клієнтів, які мають середньоарифметичне відхилення їх залишку на рахунку величиною m і середньоквадратичне відхилення їх залишку від середньоарифметичного (дисперсія) рівне σ.

Згідно формули (23.15) ймовірністю одночасного звертання всіх клієнтів за нормою в межах найбільшого її розміру L менша за р = 0,0027.

Ризик овердрафт-кредиту, виданого в межах ліміту, вирахованого за формулою (23.15) оцінюється за значенням сумарного переведення величини „дозволених” кредитів над середньоарифметичним значенням залишків на рахунку:

(23.16)

де α – коефіцієнт пропорційності, який зв’язує перевищення розміру овердрафту над середнім залишком по рахунку із ризиком овердрафт-кредитування. Значення коефіцієнта α необхідно підбирати експериментально.

В формулі (23.16) припускається, що кредитування в межах середнього залишку на рахунку має нульовий ризик.

Зазначимо, що точніше ризик кредитування за овердрафтом визначає лінійна залежність (23.16), яка є лінійною відносно перевищення кредиту L над середнім залишком, а деяка лінійна функція цих аргументів. Для її встановлення необхідно опиратися на реальні практичні дані про збитки, викликані ризиками кредитування через овердрафт та переведення в лінійну над середнім залишком.

Тобто задача визначення ризику:

r = F(L – m) (23.17)

мала бути розв’язана лише після накопичення достатнього масиву даних щодо прострочених, проблемних та безнадійних овердрафт-кредитів. На даному стані проектування засобів автоматизації овердрафт-кредитування таких даних немає. Тому для оцінки ризику овердрафту доводяться обмежуватись формулою (23.16).

Нижче викладено детальний алгоритм вирахування граничного значення овердрафту для групи клієнтів з приблизно рівними статистичними характеристиками величини залишків на рахунках.

Алгоритм 23.1. Вирахування межі овердрафту для групи „близьких” клієнтів.

1. Накопичити достатню кількість даних про щоденну величину залишків S_ik для клієнтів і = 1,…,n для днів k = 1,...,К.

2. За даними п.1 вирахувати середньоарифметичне значення залишку на рахунку для різних клієнтів та моментів часу.

3. За даними п.1 вирахувати дисперсію величини залишків на рахунках групи клієнтів.

4. Встановити значення параметру ризику α.

5. За формулою (23.15) вирахувати величину граничного значення кредиту.

6. За формулою (23.16) вирахувати значення ризику овердрафт-кредитування.

Описаний алгоритм дозволяє вирахувати величину овердрафт-кредиту для групи клієнтів, об’єднаних схожою економічною поведінкою. Це, наприклад, учасники зарплатного проекту, одержувачі стипендій або пенсій.

Дальше розглянемо випадок, коли у всіх клієнтів залишки на рахунку змінюються за різними статистичними закономірностями.

Для цього випадку умова мінімуму „недовикористання” ресурсів (23.14) залишається:

, (23.18)

де Lі – граничне значення овердрафту для і-того клієнта, і = 1,...,п, mS – середньоарифметичне значення суми залишків на рахунках всіх клієнтів, σS – дисперсія випадкової величини сумарних залишків на рахунках клієнтів.

Суму (23.18) легко записати як середньозважену величину, вирахувану на основі середньоарифметичного значення залишку ті на рахунку і-того клієнта та коефіцієнта, рівного відношенню перевищення овердрафту над середнім залишком для одного клієнта mі – 3σі до такої ж величини для всіх клієнтів сумарно mS – 3σS. Тобто:

(23.19)

Звідси:

; і =1,..., п. (23.20)

Формула (23.20) дає значення граничної величини овердрафту для одного окремого клієнта.

Величина ризику овердрафт-кредиту при цьому вираховується за формулою:

(23.21)

де

(23.22)

Стисло метод вирахування граничної величини овердрафт-кредиту для групи клієнтів з різними значеннями оборотів викладено в наступному алгоритмі.

Алгоритм 23.2. Вирахування межі овердрафту для групи клієнтів з різними доходами .

1. Накопичити достатню кількість даних про щоденні к = 1, ... К значень записів S_iк на рахунках клієнтів і = 1, ...п.

2. За даними п.7. вирахувати середньоарифметичне значення залишку на рахунку окремого клієнта

. (23.23)

3. За даними п.1 вирахувати середньоарифметичне значення залишку на рахунку всіх клієнтів

(23.24)

4. За даними п.1 знайти дисперсію залишку на рахунку одного клієнта:

. (23.25)

5. За даними п.1 знайти дисперсію залишку на рахунок всіх клієнтів:

(23.26)

6. За формулою (23.20) знайти граничне значення овердрафту для всіх клієнтів.

7. За формулами (23.21-23.22) знайти величину ризику овердрафт-кредитування.

Описання алгоритмів дозволяє вирахувати величину овердрафт-кредиту для групи клієнтів, які дотримуються економічної поведінки, котра приводить до відмінних статистичних характеристик величини залишку коштів на їхніх рахунках.

В результаті дослідження особливостей формування залишків на рахунках клієнтів-фізичних осіб та дослідження сумарного залишку на рахунках групи таких клієнтів встановлено особливості зміни цих величин від часу дня за умов використання овердрафту та без нього.

На основі вивчення закономірностей формування залишків та обсягів наданих коштів при використанні овердрафту вибрано метод оцінки граничного розміру кредиту через вирахування ймовірності бажання отримати овердрафт-кредит окремим клієнтом або всіма клієнтами разом в межах, які не позначаються на структурі ресурсів банку.

Оптимальну величину кредиту за овердрафтом визначено як величину, співмірну з надмірами залишків на клієнтських рахунках, з яких формуються ресурси під овердрафт.

Граничне значення овердрафту для окремого клієнта вибрано за умовою, що ймовірність одночасного зняття повного розміру овердрафту всіма клієнтами є меншою за 0,0027, що охоплює область значень випадкового кредиту шириною 3σ.

На цій основі встановлено граничне значення овердрафту для групи клієнтів з приблизно рівними статистичними властивостями їхніх залишків та оборотів на овердрафтному рахунку. А також – встановлено граничне значення овердрафту для клієнтів, які мають залишки коштів на овердрафтному рахунку з різними статистичними характеристиками.

Запропоновано алгоритми вирахування граничного значення овердрафту на основі даних статистичних вибірок про величину залишків клієнтів на їхніх розрахункових рахунках, при якій овердрафтне кредитування виконується з коштів на розрахункових овердрафтних рахунках клієнтів.

Розроблений метод оцінки граничного значення овердрафту враховує як статистичні характеристики випадкових явищ, пов’язаних з отриманням кредитів через карткові рахунки, так і явища формування структури ресурсів банку. Зокрема, в моделі граничного значення кредиту покладено умову про цільове спрощування залишків по карткових овердрафтних рахунках на формування кредитних ресурсів для надання позик за овердрафтом. Завдяки цьому введеня овердрафтного кредитування не позначиться на структурі капіталу банку, зокрема – не призведе до погіршення якості капіталу банку.

Розробка програмних інструментів автоматизованого вирахування граничної величини овердрафту дозволить суттєво вдосконалити інформаційні системи автоматизації обслуговування клієнтів-фізичних осіб, що отримують кредити через овердрафт, що використовують нормативні платіжні системи.

Для розробки програмного забезпечення прогнозування групи агрегованих величин було вибрано бібліотеку програмних класів [⁶⁶] мовою С++, в якій, крім іншого, передбачено вирахування параметрів випадкових величин. Для зв’язку з інформаційною системою банку також вибрано мову програмування С++. Як інструмент для проектування бюджету взято табличний процесор Excel, який зручний як для зв’язку з різнорідними інформаційними системами, в тому числі – базами даних, так й для поліграфічної підготовки документів, що дуже важливо за умов напруженої оперативної роботи, якою є проектування бюджету банку.

Отже, для зв’язку з інформаційною системою банку та для моделюючих обчислень доцільно вибрати мову програмування С++ з використанням готової бібліотеки математичних класів.

Програмне забезпечення моделі границі овердрафту розроблено з допомогою мови програмування С++. За його основу покладено програмний клас Owerdraft, в якому виконуються всі потрібне обчислення.

Для практичного врахування величини овердрафту на основі реальних даних створено функцію, яка розміщена в бібліотеці динамічного завантаження – файлі DLL.

Нижче подано опис цих програм. Як було показано в розділі 2, граничну межу овердрафту вирахувано на основі статистичних характеристик групи випадкових чисел – статистичної вибірки, що відповідає залишку на клієнтському картковому рахунку.

Для обчислення параметрів статистичної вибірки, зокрема границі овердрафту, спроектовано клас Owerdraft, для об’єднаної вибірки – клас Owerdrafts, в яких розміщені дані та функції вирахування статистичних характеристик.

Клас Owerdraft містить дані вибірки long double* Owerdraft::elem та їх назву char Owerdraft::name[]. Для створення об’єктів вибірки передбачені чотири конструктори. Конструктор без параметрів Owerdraft (void) дозволяє створювати масив вибірок. Конструктор з одним параметром Owerdraft(int) створює вибірку вказаного розміру.

Конструктор з двома параметрами Owerdraft(int, char*), створюючи вибірку вказаного розміру, присвоює їй назву. Конструктор копіювання і оператор присвоєння дозволяють записувати оператори присвоєння. А також застосовувати об’єкти Owerdraft як параметри функцій, та значення, що їх функції повертають. Для виділення пам’яті застосовано функцію void init_mem(void), котру викликають конструктори, оператор присвоєння і функція створення вибірок Owerdraft Owerdraft::make (char*) за даними, зчитаними з файла.

Після створення вибірки, необхідно присвоїти значення її елементам. Для цього годяться два тотожних оператори поелементного доступу Owerdraft1(індекс), Owerdraft1[індекс]

Для створення вибірки за даними, зчитаними з файла, служить функція Owerdraft Owerdraft::make (char*), параметр якої – назва файла з даними вибірки. Формат цього файла відповідає формату виводу даних оператором ostream &operator << (ostream&, const Owerdraft&). Перший рядок файла вибірки містить її назву. Все наступні рядки – числа в текстовому десятковому форматі з можливим кінцевим коментарем після роздільника. При помилках зчитування або відсутності даних функція make (char*) створює вибірку одиничного розміру. Для створення вибірки за даними з файла достатньо викликати функцію make().

Щоб впровадити це програмне забезпечення в експлуатацію необхідно періодично отримувати реляційної бази системи автоматизації банку дані про залишки на рахунку, передавати ці дані у функцію вирахування границі овердрафту, в цій на основі отриманих даних, і з допомогою класу Owerdraft вираховувати граничну величину овердрафту. Отримане значення заносити в інформаційну систему банку дня подальшого використання в роботі в автоматизованому режимі.

Схематично спосіб використання процедури обчислення граничної межі овердрафту показано на рисунку 23.1.

Рис. 23.1. Схема автоматизованого уточнення величини овердрафту.

На основі розробленої функції легко уточняти границю овердрафту під час виконання періодичних банківських робіт. Наприклад – пи нарахуванні відсотків, під час формування звітності, або, запровадивши окрему періодичну технологічну операцію.

Технічно для виконання цієї операції достатньо викликати функцію з динамічної бібліотеки, передавши їй через параметри список залишків на рахунку, які отримані з допомогою відповідного запиту до реляційної бази системи автоматизації банку.

Нижче приведено приклад, який ілюструє використання розробленого алгоритму для обчислення величини залишку на клієнтському рахунку.

Рис. 23.2. Графік залишку на рахунку та відповідної межі овердрафту.

На рисунку 23.2 проілюстровано типовий результат виконання обчислень за алгоритмом вирахування граничної межі овердрафту виходячи з умови запобігання впливу овердрафтного кредитування на структуру капіталу банку. Результат, показаний на рисунку вище, ілюструє, як протягом 320 днів змінювався залишок на картковому рахунку, падаючи декілька разів до короткочасних від’ємних значень. Проте переважно, більшість часу залишок на рахунку був додатнім. За умов, які відображені на рис. 23.2 банк обмежував розмір кредиту на рівні 2000 гривень. Після обчислення межі овердрафту з’ясувалося, що для вибраного рахунку доцільно поставити межу овердрафту на рівні 745 гривень. Саме ця величина отримана з допомогою розробленої програми моделювання граничної величини овердрафту.

При цій величині овердрафту банк з високою ймовірністю на потрапить у різновид «ліквідної пастки», коли більшість клієнтів захочуть одночасно взяти кредит з карткового рахунку, змінивши тим структуру капіталу банку в стотону суттєвого погіршення його якості, зниження прибутковості. Отже, встановивши межу овердрафту на рівні запобігання деформації структури капіталу, банк досягає кращих показників ліквідності банку.

Крім того, як легко зауважити з рисунка 23.1, при вибраній межі кредитування з карткового рахунку банк досягає зниження ризику. Адже, прийнявши межу кредиту, вирахувану за алгоритмом 223.1, банк відмовляє клієнту у найбільш ризикових операціях. Які на графіку названого рисунка відображені короткочасними глибокими мінімумами.

Ще одна перевага запропонованого методу полягає у надзвичайні простоті його інтегрування в існуючу систему автоматизації. Для цього достатньо включити у програми проведення періодичних технологічних робіт процедуру оновлення граничної величини кредиту. Також цю операцію доцільно виконувати перед видачею кредиту, наприклад, не просто перевіряючи, чи він виходить за дозволену раніше встановлену межу, а кожен раз заново динамічно вираховуючи межу кредиту.

Завдяки цій простоті легко передбачити два методи встановлення граничного значення овердрафту – статичний і динамічний метод. При статичному межу кредиту визначається на основі запропонованого алгоритму періодично, під час проведення технологічних фінансово-інформаційних операцій. При динамічному визначенні межі кредиту ця величина вираховується безпосередньо перед проведенням трансакції кредитування й видачі готівки з банкомата. За її результатами приймається рішення щодо видачі або відмови у видачі кредиту.

Отже, проведена пробне застосування розробленої моделі вирахування граничної межі овердрафту дозволяє зробити наступні висновки.

Метод моделювання межі кредиту з карткового розрахункового рахунку на основі оцінки ймовірності обсягів овердрафт-кредитування, які загрожують погіршенням структури капіталу й виникненням «кредитного варіанту ліквідної пастки», виявляються надзвичайно ефективні як з точки зору економічних наслідків, так й з позицій зручності їх впровадження в інформаційну систему автоматизації.

Визначення межі кредиту на основі запропонованої імовірнісної оцінки залишає незмінною структуру капіталу банку, сприяє спрямуванню залишкових коштів на розрахункових карткових рахунках на кредитуванню з них, що відповідає суті організації банківського бізнесу, суттєво покращує якість доходів, стабілізує дохідність банку, зрівноважує інтенсивність активних та пасивних операцій.

Як показує практичне застосування моделі, введення визначеної межі кредиту сприяє зниженню ризиків кредитування, запобігає непродуктивним втратам доходів банку через надмірне запобігання ризикам.

Завдяки простоті технічної реалізації, яка зрівняна з обчисленням статистичних параметрів, розроблений метод дозволяє проектувати нові гнучкі інформаційні процеси автоматизації фінансових послуг, що відповідає актуальним тенденціям розвитку банківського ринку.

1 Матвійчук Я.М. Математичне макромоделювання динамічних систем: Теорія і практика. Львів: Вид-во ЛНУ, 2000. – 214 с.

2 Курганевич А., Матвійчук Я.М. Регуляризація задачі ідентифікації макромоделей нелінійних динамічних систем методом редукції апроксимаційного базису // Теоретична електротехніка. – 2000. – Вип. 55. – С. 31-36.

3 Гуриев С.М., Поспелов И.Г. Модель діятельности банка при отсутствии инфляции и экономического роста. // Экономика и математические методы, 1997, т.33, вып. 3. с. 35-47.

4 Автухович Э.В., Гуриев С.М., Оленев Н.Н. и др. Математическая модельт экономики переходного периода. ВЦ РАН, 1999, 143 с.

5 Андреев М.Ю., Поспелов И.С. Управление ликвидностью банка при случайно колеблющихся ставках процентов // Математическое моделирование. – 2004, т. 16, № 9. – с. 3-22.

6 Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей // ФАЗИС, 1998. – 144 с.

7 Смирнов А.Д. Монетаризация государственного долга // Экономический журнал ВШЭ. – 2005, № 2. – С. 135-169.

8 М.З.Згуровский, Ю.В.Бондаренко. Эмпирический анализ оценок волатильности в задачах управления финансовым риском // Кибернетика и системный анализ. – 2005, № 5. – С. 92-98.

9 Bachelier L. Theorie de la speculation // Ann. Ecoll. Norm. Sup. – 1999 / – 17. – P. 21-86.

10 Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. – 1965. – 6. – P.13-31.

11 Black F., Scholes M.S. The pricing of options and corporate liabilities // Journ. of Polit. Econom. – 1973. – 81. – P. 837-659.

12 Parkinson M. The extreme value method for estimating the variance of the rate of return // Journ. Of Business. – 1980. – 53. – P. 61-68.

13 Garman M., Klass M. On the estimation of security price volatilities from data // Ibid. – 1980. – 53. – P.67-78.

14 Іларіонов А. "Фінансова стабілізація в республіках в СНГ" республіках

15 Козюк В. В. Співробітництво з міжнародними фінансово-кредитними організаціями в системі трансформації економіки України // Формування ринкової економіки в Україні: Наук. зб. — Вип. 5. — Львів: Інтереко, 1999. — С. 108-116.

16 Козюк В.В. Проблема вибору стратегічних орієнтирів управління державним боргом у трансформаційній системі України // Україна в XXI столітті: концепції та моделі економічного розвитку: Матеріали доп. V Міжнарод. конгресу укр. економістів: В 2-х частинах. — Львів: Ін-т регіональних досліджень НАН України, 2000. — С.234-236.

17 Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990. – 210 с.

18 Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических ситсем методами нелинейной динамики. – Запорожье: ЗГУ, 2002. – 227 с.

19 Takens F. Detecting Strange Attractor in Turbulence. // Lect. Notes in Math., 1981. –Vol. 898. – P. 366-381.

20 Паучок В. Библиотека математических классов // Argc&Argv. – 2003, № 1. – С. 30-33.

21 Матвійчук Я.М. Математичне моделювання хаотичних рухів у детермінованих системах // Розвиток фiзич. науки у Львівському ун-тi. Вісник Львів. ун-ту. Сер. фізична. Вип.26. Львів, 1993. –С.61-66.

22 Грибков Д.А., Грибкова В.В. и др. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по временной реализации одной динамической переменной процесса // Журн. техн. физ. – 1994, Т.64, - №3. – С. 1-12

23 Матвійчук Я.М. Математичне макромоделювання динамічних систем: Теорія і практика. Львів: Вид-во ЛНУ, 2000. – 214 с.

24 Алексеев А.А. До моделі фізичної економіки // Математичні машини і системи. – 2004, № 3. – С. 48-56.

25 Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Модели развивающихся систем. – М.: Наука, 1983. – 350 с.

26 Чернавський А.С., Старков Н.Н., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. – 2002. – С. 179 – № 9. – С. 1047-1067.

27 Бек Т.В. Математична модель ціноутворення на цукрову продукцію // Матеріали X наукової конференції ТДТУ ім. Пулюя. – 2006. – С. 13.

28 явище обвалу валютно-товарного

29 Клебанова Т.С., Кононов О.Ю. Адаптивная модель управлния структурой предприятия П’ЄС // Економычна кыбернетика. – 2003, № 3-4. – С. 83-89.

30 Курганевич А., Матвійчук Я.М. Регуляризація задачі ідентифікації макромоделей нелінійних динамічних систем методом редукції апроксимаційного базису // Теоретична електротехніка. – 2000. – Вип. 55. – С. 31-36.

31 Чернавський А.С., Старков Н.Н., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. – 2002. – С. 179 – № 9. – С. 1047-1067.

32 Л.О.Чуа, Пен-Мин Лин Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). – М.: Энергия, 1980. – 640 с. С. 416-421, 441-448, 458-474.

33. Чернавський А.С., Старков Н.Н., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. – 2002. – С. 179 – № 9. – С. 1047-1067.

34 Клебанова Т.С., Кононов О.Ю. Адаптивная модель управлния структурой предприятия П’ЄС // Економычна кыбернетика. – 2003, № 3-4. – С. 83-89.

35 Иванов В.В. Периодические колебания погоды и климата // Успехи физических наук. – Т. 172. – №7. – С. 777-811.

36 Клебанова Т.С., Кононов О.Ю. Адаптивная модель управлния структурой предприятия П’ЄС // Економычна кыбернетика. – 2003, № 3-4. – С. 83-89.

37 Чернавський А.С., Старков Н.Н., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. – 2002. – С. 179 – № 9. – С. 1047-1067.

38 Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Модели развивающихся систем. – М.: Наука, 1983. – 350 с.

39 Матвійчук Я.М. Математичне макромоделювання динамічних систем: Теорія і практика. Львів: Вид-во ЛНУ, 2000. – 214 с.

40 Чернавський А.С., Старков Н.Н., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // УФН. – 2002. – С. 179 – № 9. – С. 1047-1067.

41 Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Модели развивающихся систем. – М.: Наука, 1983. – 350 с.

42 Алексеев Д.А. Экономико-матемаическая модель трансформационного типа. // Кибернетика и системный анализ. – 2002, № 6. – С.30-33.

43 Алексєєв А.А., Алексєєв Д.А. Макроекономічна модель трансформаційного напрямку школи В.М.Глушковва. // Математичні машини і системи. – 2003, № 2. – С. 12-18.

44 Новахацька С. Гроші – за кордон, а сміття – Україні. // Урядовий кур’єр, 26 серпня 2002 р. – С. 6.

45 Матвійчук Я., Курганевич А. Олива О., Паучок В. Математичне макромоделювання динамічних систем: теорія і практика // Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика. Збірник доповідей українсько-польської школи-семінару. Соліна, 10-13 вересня 2000 р. – С. 103-106.

46. Матвійчук Я.М. Математичне макромоделювання динамічних систем: Теорія і практика. Львів: Вид-во ЛНУ, 2000. – 214 с.

47. Грибков Д.А., Грибкова В.В. и др. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по временной реализации одной динамической переменной процесса // Журн. техн. физ. – 1994, Т.64, - №3. – С. 1-12.

48. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990.– 232 с.

49 Богданов А.И. Об одной математической модели прогнозирования циклических процессов // Математическое моделирование. – 2004. – Т. 16. – № 4. – С. 47-54.

50 Кендалл М., Стьюарт А., Многомерный статистический анализ и временные ряды. – М.: Наука, 1976, – 736 с.

51 Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990. – 210 с.

52 Сергеева Л.Н. Моделирование поведения экономических ситсем методами нелинейной динамики. – Запорожье: ЗГУ, 2002. – 227 с.

53 Takens F. Detecting Strange Attractor in Turbulence. // Lect. Notes in Math., 1981. –Vol. 898. – P. 366-381.

54 Паучок В. Библиотека математических классов // Argc&Argv. – 2003, № 1. – С. 30-33.

55 Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Окрокверцов Г.А., Стрелкова Г.И. Статистические свойства динамического хаоса // УФН. – 2005, т.175, №2. – с.163 – 179.

56 Паучок В. Классы статистического анализа // Argc&Argv. – 2004, № 4. – С. 6-10.

57 Матвійчук Я.М. Математичне моделювання хаотичних рухів у детермінованих системах // Розвиток фiзич. науки у Львівському ун-тi. Вісник Львів. ун-ту. Сер. фізична. Вип.26. Львів, 1993. –С.61-66.

58 Грибков Д.А., Грибкова В.В. и др. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по временной реализации одной динамической переменной процесса // Журн. техн. физ. – 1994, Т.64, - №3. – С. 1-12.

59 Матвійчук Я., Курганевич А., Олива О., Паучок В.Математичне макромоделювання динамічних систем: теорія і практика // Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика. Збірник доповідей українсько-польської школи-семінару. Соліна, 10-13 вересня 2000 р. – С. 103-106.

60 Грис П. Наука программирования. – М: Мир, 1984. – 321 с.

61 реляційній базі даних

62 Вожжов А.П., Хохлов В.В. Стабілізація перемінної частини поточних пасивів коротко­строковими запозиченнями на міжбанківському ринку // Економічні науки. Вісник ДДФЕІ. – 2002. – Л5 1(7). – С.126.

63 Вожжов А.П. Депозити до запитання у формуванні стабільної і керованої ресурсна: бази банків // Вісник НБУ. – 2002. – №11.– С.5–7.

64 Вожжов A.П. Формування ресурсів комерційних банків //Фінанси України. – 2003. –№1. – С. 116–129.

65 Жлуктенко B.І. Наконечний C.І. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навч. метод, посіб.: У 2 ч. – Ч. І: Теорія ймоверностей. – К.: КНЕУ, 2000. – 232 c.

66 Паучок В. Библиотека математических классов // Argc&Argv. – 2003, № 1. – С. 30-33.

28