20. Моделювання доходу від послуг зв’язку

Співавтор: Павлюк Дмитро Іванович

Для прогнозування дохідності послуг зв’язку виконано аналіз наявних даних про обсяги послуг та обсяги поступлень. Для обчислення прогнозу застосовано поєднання методів теорії динамічного хаосу та методу макромоделювання.

Поставлено задачу – на основі відомих дпаних про отримані послуги зв’язку і відомих даних про внесення оплати за них побудувати прогноз доходів підприємства зв’язку.

Нижче викладено метод розв’язання цієї задачі.

Задано дві дискретні залежності,

u(t_k), k=1,…,m; (20.1)

y(t_k), k=1,…,m; (20.2)

які відображають відповідно щоденну величину послуг зв’язку, вирахувану у грошових одиницях, та щоденну величину оплати, внесеної за раніше отримані послуги зв’язку, виражену в грошових одиницях.

В переважній більшості випадків оплата, внесена протягом приблизно одного місяця наближено дорівнює обсягу послуг, отриманих протягом попереднього місяця. Тобто, процес оплати відображає система типу кібернетичної “чорної скриньки” (див. рис. 1.5). І внесена оплата y(t) пов’язана з отриманими послугами через причинно-послідовний зв’язок як нелінійна динамічна система із параметром запізнення τ:

y(t) = F(u(t - τ), t), (20.3)

де F – невідомий оператор, τ – відома величина запізнення, яка відповідає тривалості виробничого циклу.

Тривалість виробничого циклу в об’єкті (1.1) – (1.2) достовірно відома, це один календарний місяць. Ця величина пов’язана з щомісячним розсиланням повідомлень клієнтам про величину оплати, яку їм необхідно внести. Проте, плануючи оплати послуг, громадяни нерідко переказують кошти не одного і того ж календарного дня місяця, а в різні дні. Це приводить до того, що майбутні поступлення y(t_i) залежить від попередніх послуг u(t_i-N), спожитих більше ніж за 31 день раніше. Тобто, в дискретному виразі тривалість технологічного періоду N необхідно вибрати дещо більшою за середню кількість днів в місяці. Точніше вибране значення N – дискретної тривалості виробничого циклу описано нижче.

Як зазначалося в огляді методів моделювання, перш ніж шукати математичні засоби для відтворення залежностей (20.1), (20.2) необхідно встановити. Чи наявні в них характерні швидкі зміни є реалізацією стохастичного процесу, чи це вияв поведінки об’єкта, який підпадає під закономірності динамічного хаосу [⁵¹].

З цією метою над даними (20.1), (20.2) було виконано ряд експериментів, спланованих для якісної ідентифікації їх статистичних властивостей та для вирахування значень параметрів, які відображають ці властивості.

Як відомо, [⁵²] псевдофазовий портрет реалізації стохастичного процесу ξ(t) дає послідовність точок, яка рівномірно розподілена в деякій області, або розподілена на цій області за деяким законом розподілу.

Псевдофазовий портрет динамічної хаотичної системи має особливий вид, – на ньому утворюються так звані області розбігання. В областях перемішування збігаються фазові траєкторії, котрі проходили через інші частини фазового простору, зокрема – віддалені області.

В областях роз бігання, котрі розміщені навколо областей перемішування, фазові траєкторії проходять, можуть зазнавати різних спіральних чи колоподібних рухів і знову повертаються в одну з областей перемішування. Хоч якісний аналіз псевдо фазового простору не дає строгих висновків про наявність детермінованого хаосу, все ж, коли на фазовому портреті чітко видно області з перемішуванням, це дає всі підстави твердити про наявність детермінованого хаосу.

Як відомо [⁵³] псевдофазовий простір є диффеоізоморфним з простором, утвореним диференціюванням одної із змінних стану динамічної системи. Тому для топологічного дослідження фазового простору системи (20.1), (20.2) було побудовано проекції її фазових траєкторій на координатну площину, утворену різним поєднанням похідних u⁽ⁱ⁾(t), y^(j)(t), де і, j – порядок похідної, який вибирався в межах і, j = 0, 1, 2 ,3. Для числового диференціювання дискретних залежностей (20.1), (20.2) було застосовано вільно доступну програмну бібліотеку [⁵⁴].

Деякі проекції фазової траєкторії на координатні площини (u⁽ⁱ⁾,u^(j)), (u⁽ⁱ⁾,y^(j)), (y⁽i⁾, y^(j)) показано на рисунках нижче.

Рис. 20.1. Обсяги послуг u(t) та їх тренд. Даны за 2001-2004 рр.

Рис. 20.2. Гістограма відхилення кількості послуг від тренду.

Рис. 20.3. Проекція фазової траєкторії u(t) на площину (u’, u’’).

Рис. 20.4. Проекція фазової траєкторії u(t) на площину (u⁽²⁾, u⁽³⁾).

Рис. 20.5. Проекція фазової траєкторії u(t) площину (u⁽⁰⁾, u⁽¹⁾).

Якісний аналіз псевдо фазового простору (див. рис.20.1 ) дає підстави твердити, що в об’єкті (20.1), (20.2) спостерігається динамічний хаос. Адже на проекціях псевдофазових траєкторій, утворених диференціюванням залежностей, що мають в середині областей розбігання.

Цей якісний аналіз псевдофазових портретів об’єкта (20.1), (20.2) дає підстави припускати, що модельований об’єкт лежать в середині областей розбігання. Це дає підстави припускати, що модельований об’єкт належить до систем з детермінованим хаосом. Тому для його моделювання недоцільно застосовувати методи теорії динамічного хаосу [⁵⁵]. Цікаво, що проекція фазової траєкторії на площину, утворену змінною та її трендом, також виявляє якісні властивості, притаманні системам з динамічним хаосом, що видно на рис. 20.5.

Для вирахування похідних від дискретного фазового процесу застосовано процедури з бібліотеки класів [⁵⁶]

Розміреність n об’єкта моделювання, тобто порядок системи диференційних рівнянь, записаних у канонічному виді – пов’язане з розмірністю псевдо фазового простору M відомого теоремою Такенса, згідно якої 2n=M+1, де n і M – відповідно розмірності фазового і псевдо фазового просторів динамічної системи. Перш ніж шукати моделюючі рівняння, які описують об’єкт (20.1) і (20.2) необхідно встановити розміреність цих рівнянь. Для визначення розмірності псевдо фазового, отже на основі теореми Такенса, і фазового простору, застосовують декілька близьких методів.

Для практичного вирахування розмірності n об’єкта (20.1) і (20.2) було застосовано наступний алгоритм [⁵⁷].

Алгоритм 20.1 Вирахування розмірності моделі.

1. Задано ряд x_k = x(t_k), де через x позначено величини u(t_k), y(t_k).

2. Вибираємо деяку відстань δ між двома точками ряду x_k, яка лежить в межах [δ_min, δ_max].

3. Вибираємо деяку розмірність псевдо фазового простору M, яка лежить в межах [M_min, M_max].

4. Для всіх δ Є [δ_min, δ_max] вираховуємо кореляційний інтеграл за наступним правилом:

с(M, δ) = {кількість пар хі ≠х_j з відстанню ║хі - х_j║<δ}/m².

5. На залежності с(M, δ) знаходимо точку крайнього лівого максимуму і зберігаємо це значення

d(M) = max{c(M, δ)}.

6. Повторюємо пункти 4 – 5 при всіх M Є [M_min, M_max] і отримуємо залежність d(M), M Є [M_min, M_max].

7. Якщо на залежності d(M) спостерігається зростання, яке переходить у горизонтальну лінію графіку d(M) переходить у горизонтальну лінію графіку, тоді об’єкт x_k, k=1,…,m належить до хаотичних об’єктів, а точка М*, в якій зростання графіку d(M) переходить у стале значення – відповідає кореляційній розміреності ряду x_k, котре своєю чергою є верхньою оцінкою розміреності M псевдофазового простору.

Інакше, якщо залежність d(M) зростає без досягнення максимуму, тоді об’єкт моделювання належить до стохастичних систем.

8. Якщо x_k – хаотична величина, врахувати розмірність псевдофазового простору M* як абсцису, в якій зростання d(M) змінюється на стале значення.

Вирахувати розмірність динамічної системи за формулою:

n= [(M-1)/2]+1,

де [ ] – позначає цілу частину раціонального числа.

Рис. 20.6. Графіки залежності кореляційної розмірності u_k, y_k. від розмірності псевдофазового простору М.

На рис. 20.2 зображено графік d(M) для величини u(t_k), і графік d(M) для величини y(t_k).

Обчислення, виконані над рядами u_k, y_k, виконані за алгоритмом 20.1 підтвердили раніше зроблене припущення про хаотичну природу цих величин. Нижче показані графіки кореляційної розмірності d(M), вирахувані для величин u_k, y_k.

З графіків d(M), вирахуваних для величин u(t_k), y(t_k) видно, що спочатку d(M) зростає, а потім набуває сталого значення. Абсциса лівого максимуму в залежності d(M) вказує на розмірність псевдофазового простору.

Графічно встановлено розмірність псевдофазового простору u(t_k):

Mu= 6.4

а розмірність псевдофазового простору y(t_k):

My= 6.2.

Згідно теореми Такенна розмірність динамічної системи, яка породжує ряд М(t_k):

n_u= [2.7]+1=3;

розмірність динамічної системи, яка породжує ряд y(t_k):

n_y=[2.6]+1=3.

Тобто, для формування системи диференційних рівнянь, які описують залежності (20.1), (20.2) достатньо трьох рівнянь першого порядку. Інша річ, що структура цих рівнянь, їх математичний запис поки невідомі.

Отримавши якісні й кількісні підтвердження того, що об’єкт (20.1) (20.2) належить до систем з детермінованим хаосом, попробуємо дати економічну інтерпретацію отриманим висновкам.

Наявність в області розбіжності й області змішування свідчить про дві взаємо-суперечливі тенденції, що проявляються в отриманні послуг зв’язку. З однієї сторони громадяни намагаються дотримуватись одних і тих же витрат на зв’язок, телефонні розмови, з іншої ж – їм раз від разу доводиться розмовляти або менше або більше звичайного. Очевидно, в цьому проявляється специфічний техніко – економічний вимір людської психології.

Встановлене значення третього порядку n=3 системи рівнянь, які мають моделювати також потребує економічної інтерпретації. Досвід вивчення економіко-математичної моделі, описаної в пункті 1.3, дає підстави пропускати, що такі три змінні стану, які відповідають третьому порядку моделі наведені з потребою у зв’язку, оплачувати зв’язок із відчуттям напруги чи впевненості, зумовленими виникненням заборгованості, за спожиті послуги зв’язку. Втім, встановивши цей висновок, нічого не добавляємо до практичної розробки прогнозної динамічної моделі.

Максимальний показник Ляпунова рядів 20.1 20.2 відображає «швидкість» перебігу динамічних процесів, що відбуваються в них. У випадку лінійних динамічних систем максимальний показник Ляпунова збігається з власним числом матриці А рівняння (1.1), проте для нелінійних систем простого математичного методу вирахування та явної економічної інтерпретації показники Ляпунова не мають.

Максимальний показник Ляпунова важливий тим, що він не тільки відображає, на скільки швидко відбуваються рухи в динамічній системі. Він також дозволяє встановити, до якого типу систем, належить динамічний об’єкт, яким згенеровано часовий ряд u(t_k), y(t_k). Так, для хаотичних систем максимальний показник Ляпунова: λ_max ≥ 0; для стохастичних: λ_max >1 для детермінованих, які прямують до якогось стійкого стану: λ_max<0.

Якщо значення максимального показника Ляпунова вказує на хаотичну природу об’єкта, тобто λ_max – невелике додатне число, тоді величина обернення до максимального показника відображає час, протягом якого рух хаотичного динамічного атрактора зберігає одні і ті ж якісні властивості. В теорії динамічного хаосу величину τ = 1/λ_max називають «горизонтом прогнозу» – це тривалість часу, для якого може бути побудований прийнятний прогноз методами теорії динамічного хаосу.

Для вирахування максимального показника Ляпунова застосовують декілька алгоритмів [52]. Один з них викладено нижче.

Алгоритм 20.2. Вирахування максимального показника Ляпунова за М-історіями.

1. Отримати відоме значення розмірності псевдо фазового простору Mx, де x – позначає величини u, y.

2. Вибрати точку x_i, i = 1,…, m-M .

3. Сформувати з елементів, розміщеними за x_i вектор X_i = (x_i,…, x_i+M) – так званою М-історією.

4. Вибрати іншу точку x_j, j = 1,…,m-M, j≠i й сформувати для неї М-історію X_j=(x_j,…,x_j+M) .

5. Перебираючи всі j = 1,…, m-M, j≠i, знайти d_i, таке, що

||X_i – X_j || < d_min,

де d_min – деяка міра близькості М-історії між собою.

6. Для всіх j, які задовольняють умову п.5 вибрати вектори X_i+k, X_j+k, k=1,2…, поки задовольняється умова:

d_i =(|X_i+k – X_j+k|/|X_i – X_j|)<d_max де d_max – деяка міра надто великої відстані між М-історіями. Зберегти значення di при найбільшому k, при якому ще задовольняється вказана умова.

7. Вирахувати максимальний показник Ляпунова за формулами:

.

Алгоритм 20.2, запропонований в [52], дозволяє вирахувати як максимальний показник Ляпунова, так і горизонт прогнозу:

τ = 1/λ_max (20.4)

Обчислення, проведені з рядами u(t_k), y(t_k), які відповідають реальним даним послуг і оплати за них привели до наступних результатів.

З’ясувалося, що значення показника Ляпунова для рядів u(t_k), y(t_k) дещо змінюються при зміні критеріїв близькості. Так, при різних d_min, d_max для ряду u(t_k) отримано значення максимального показника Ляпунова в точках:

λ_Umax = [0.0294, 0.0335];

При таких же змінах границь для ряду y(t_k) отримано дещо більше значення максимального показника Ляпунова:

λ_Ymax = [0.03125, 0.03571].

Відповідні значення горизонту прогнозу: τu = [30, 32]; τy = [28, 32].

Знайдені величини τu ,τy вказують тривалість проміжку часу в днях (оскільки t_k– задано календарними днями), протягом яких модельовані залежності u(t), y(t) зберігають топологічну подібну поведінку. В економічному сенсі – протягом цього часу користувачі циклічно повторюють приблизно одні й ті ж технічні та економічні дії, пов’язані з отриманням послуг зв’язку.

Вирахуване значення максимального показника Ляпунова, який отримав для u(t_k), y(t_k) невеликі додатні значення підтверджує наявність в цих рядах детермінованого хаосу.

Отримана величина горизонту прогнозу τu ,τy показує, що, застосовуючи для моделювання u(t), y(t) методи детермінованого хаосу, можна сподіватися отримати модель доброї прогнозної якості, яка даватиме прийнятний прогноз тривалістю до одного місяця.

Те, що горизонт прогнозу для оплати дещо менший за горизонт прогнозу для послуг: τu <τy вказує, що, користуючись послугами, споживачі виявляють простішу ринкову поведінку, ніж при оплаті за ці послуги. Іншими словами, оплачуючи послуги, споживачі випереджують або запізнюються в порівнянні з синфазною датою отримання цих послуг. Це призводить до природного «скорочення» відрізків «схожої поведінки» на графіках y(t), а, отже й до скорочення горизонту прогнозу.

Перевірка наявності дрейфу. Якщо параметри динамічної системи, яка породжує детермінований хаос, повільно змінюється, про такі системи кажуть, що вони мають внутрішній дрейф. В математичному сенсі наявність дрейфу полягає у явній залежності параметрів від часу.

В теорії динамічних систем відомо декілька методів виявлення дрейфу у хаотичних атракторах. Зокрема, в [52] запропоновано наступний алгоритм.

Алгоритм 20.3. Графічне виявлення дрейфу дивного атрактора.

1. Задано послідовність x_k, k=1,…,m.

2. Розбити точки на дві пари по 4 суміжні точки: {(x_i, x_i+1), (x_i+2, x_i+3)}.

3. Відобразити точку (x_i, x_i+1) на координатній площині, утвореній осями {x, x} одним кольором.

4. Відобразити точу (x_i+2, x_i+3) на цій же площині цим же кольором.

5. Повторити п. 4-3 для всіх точок x_k, k=1,…, m-4.

В результаті роботи алгоритму 20.3 утвориться графічне зображення, на якому будуть перемішані точки двох різних кольорів. Виявляється, якщо точки різних кольорів розкидати площиною приблизно рівномірно, тоді в такому ряді x_k немає внутрішнього дрейфу, параметри динамічної системи, яка породила такий ряд – не залежить від часу.

Якщо ж на отриманому графічному зображенні точки різного кольору розміщені в різних частинах координатної площини, тоді це вказує на наявність дрейфу – залежності параметрів системи від часу.

Для реальних даних u_k, y_k було проведено обмеження за алгоритмом 20.3. графічні зображення, отримані в результаті таких обчислень, зображені на рис.20.3, 20.4.

Результати обчислень, виконаних за алгоритмом 20.3 для даних u(t_k), y(t_k) показують, що параметри динамічних систем, які породжують ці залежності, повільно змінюються з часом. З економічної точки зору це вказує на повільні зміни, що відбуваються в модельованому сегменті ринку. Можливо, що вплив інфляції, зменшення чи зростання купівельної спроможності, зміни інтересу до послуг зв’язку, наприклад під впливом реклами чи якихось соціальних процесів.

З точки зору математичного моделювання, це вказує, що будуючи модель об’єкта (20.1), (20.2) доцільно вибрати такі модельні структури, які б дозволяли записати ідентифікаційні рівняння для великих масивів даних (20.1), (20.2).

Рис. 20.7. Результат графічного тесту для виявлення дрейфу в атракторі u(t_k). Видно розподілення областей, в які потрапляють точки різного кольору, що свідчить на залежність параметрів системи, яка спороджує ряд u(t_k), від часу.

Рис. 20.8. Результат графічного тесту для виявлення дрейфу в атракторі y(t_k). Видно розподілення областей, в які потрапляють точки різного кольору, що також свідчить на залежність параметрів системи, яка спороджує ряд y(t_k), від часу.

Попередній апріорний аналіз даних (20.1), (20.2), експериментальне дослідження цих даних, виконане з допомогою алгоритмів ідентифікації характеристик стохастичних й динамічних систем, дозволяють зробити висновки, про взаємозв’язки параметрів моделі.

Так, величина y(t) виступає як відгук ринку послуг на величину U(t). Tому пару u(t) та y(t) величин та доцільно розглядати як вхід-вихід кібернетичної системи.

Вихід y(t)– величина оплати залежить від u(t) на відрізку τ, що вказує тривалість циклу оплати послуг, й інтервали від цих величин на τ мали б співпадати, якщо б споживачі оплачували послуги синхронно до їх отримання. Однак, в дійсності ці інтеграли не співпадають:

∫u(t)dt ≠ ∫y(t)dt (20.5)

Порушення умови неперервності (20.5) зумовлене передоплатою за послуги і затримкою з внесенням такої оплати. При чому відхилення динаміки внесення оплати від динаміки отримання послуг має свої закономірності, котрі виявляються при тривалому спостереженні за системою (20.1), (20.2).

Отже, це дозволяє зробити висновок, що для моделювання величини y(t) за відомою величиною u(t) необхідно побудувати модель на зразок моделі кібернетичної “чорної скриньки” або економічно-математичні моделі, яка відображала через з допомогою оператора.

F:u(t) → y(t) (20.6)

Огляд методів моделювання показує, що в якості такого оператора F можуть бути вибрані, зокрема диференційні або інтегральні рівняння.

До послідовностей y(t_k), u(t_k) були застосовані методи аналізу, що ґрунтуються на теорії динамічного хаосу. В результаті цього було встановлено, що обидві величини, як u(t) так й y(t) належать до хаотичних динамічних процесів. В них близькі значення максимального показника Ляпунова і приблизно рівний горизонту прогнозу. Причому в зовнішній дії – u(t) горизонт прогнозу більший на декілька днів, в порівнянні з реакцією y(t).

Чисельне значення горизонту прогнозу для u(t), y(t) дорівнює приблизно одному календарному місяцю. Це дозволяє сподіватися, що прогнози, отримані з допомогою теорії динамічного хаосу, дозволять знайти шукане значення – обсяг послуг й оплат.

Такі відмінності між статистичними характеристиками хаотичних величин u(t), y(t), дозволяють припускати, що для відображення y(t) на основі прогнозної величини u(t) достатньо лінійної моделі.

Розмірність простору, до яких належать величини (20.1), (20.2) співпадає й дорівнює 3. Це вказує, що для відображення величини y(t) на основі u(t) диференційного рівняння 3-го порядку.

Крім того, виявлено, що в рядах u(t_k), y(t_k) котрі є реалізаціями уявного атрактора, зберігається слабкий дрейф, тобто параметри моделі, яка має описувати послуги u(t) й поступлення y(t), виявляють слабку залежність від часу.

Такі властивості модельованих величин u(t), y(t) дають підстави припускати, ефективна структура прогнозної моделі величини поступлень має поєднувати дві ланки. Спершу, необхідно за допомогою методів теорії динамічного хаосу отримати прогноз величин послуг u(t) тривалістю впродовж одного виробничого циклу τu. А потім, знаючи u(t), з допомогою динамічної моделі типу вхід-вихід знайти прогнозну величину поступлень y(t) на цьому ж відрізку часу [t_m, t_m + τ_uy], де τ_uy деякий середній горизонт прогнозу, вибраний на основі відомих τ_u, τ_y. Перед визначенням y(t), розуміється, має бути побудована модель, що здійснює відображення (20.6).

Структурна схема такої моделі показана на рис.20.5.

На схемі, показаної на рис. 20.5, опущено обчислювання дослідження параметрів u(t_k), y(t_k) – розмірності, показника Ляпунова тощо, адже сама структура моделі була вибрана на основі результатів цих досліджень. Також зауважимо, що модель (1.6) має бути побудована один раз, а обчислення u(t), y(t) – періодично повторюються відповідно до практичних потреб в прогнозних даних. Також, при значному поновленні рядів (20.1), (20.2) новими значеннями необхідно заново вказувати ідентифікацію моделі (1.6).

Рис. 20.9. Cтруктурна схема моделі прогнозування поступлень y(t) на основі екстраполяції u(t) методами теорії динамічного хаосу і визначено y(t) методами динамічного моделювання.

Огляд методів моделювання показує, що за структуру (1.6) може бути взятий будь який з приведених методів, а також інші, які близькі до них, - наприклад методи нейронних мереж й методи макромоделювання.

Огляд взаємозв’язків між параметрами моделі, виконано в попередньому пункті, показує, що для побудови моделі необхідно виконати дві задачі – отримати прогноз u(t) і на його основі вирахувати y(t).

Розглянемо першу задачу вирахування прогнозу u(t).

В теорії динамічного хаосу відомий оригінальний метод побудови прогнозів, який для досліджуваної задачі, котра відрізняється порівняно невеликою розмірністю масиву u(t_k) і наявність дрейфу, потребує уточнення.

Знайдемо у залежності u_k=u(t_k) фрагменти траєкторії, які близькі до прикінцевого реального фрагменту

На рис.20.6 цей відрізок позначено x_̃end. Тоді передбачаючи масив , знайти в ньому відрізки близькі до x̃_end. Ця близькість може бути визначена, наприклад в Евклідової норми різниці між векторами x̃_i й x̃_end. На Рис. 20.6 відрізки близькі до прикінцевого позначені x₁,…,xN, де N – кількість таких знайдених близьких відрізків. Дальше, знайшовши для кожного з близьких відрізків їх продовження x_i, i=1,…,N, маємо підстави стверджувати, що очікуваний прогноз x̃_end буде близький до цих продовжень x̃_i. Адже це основна властивість хаотичних динамічних систем. Тобто, прогноз x̃_end можна знайти, наприклад як усереднення x_̃i, i=1,…,N.

Проте, цей метод безпосередньо не придатний для досліджуваної задачі через наявність дрейфу й малу розмірність масиву (20.1). Щоб обійти цю складність введемо поняття близькості відрізків

||x̃_i – x̃_end || < δ (20.7)

як умову, що для всіх елементів x̃_i = (u_1i,…,u_nj), x_̃end = (u_1end,…,u_nend), де n – тривалість прикінцевого відрізку, задана дискретним часом, різниця між ними буде приблизно однаковою. Тобто відрізки x̃_i, x̃_j близькі в сенсі норми d_i, якщо

d_i = (x_ki – x_kj), k=1,…,n, |d_i| < δ (20.8)

де – δ деяке мале число. Тобто між близькими відрізками x̃_i, x̃_j зберігається стала відстань d_i для всіх їх елементів.

Ввівши норму (20.8) замість Евклідової норми для оцінки відстані між векторами, отримуємо наступний алгоритм прогнозування u(t).

Алгоритм 20.4. Прогнозування хаотичної величини послуг зв’язку u(t).

1. Виділити в масиві u(t_k) (20.1) прикінцеву ділянку x_end.

2. Знайти відрізки x₁,…,x_N близькі до x_end в сенсі норми (20.8), де N – їх кількість.

3. Сформувати продовження близьких відрізків x₁,…,x_N, кількість елементів яких відповідає раніше встановленому горизонту прогнозу τ.

4. Сформувати з подовження близьких відрізків прогноз x_end з допомогою усереднення:

(20.9)

Описаний алгоритм 20.4 дозволяє знайти прогноз величини u(t), яка належить до хаотичних динамічних величин з допомогою методів теорії динамічного хаосу.

Зауважимо, що замість арифметичного усереднення можуть бути використані інші методи усереднення, наприклад в [52].

Знайшовши x_end = (u_m+1,…,u_m+l) де l – кількість вузлів прогнозу, першу частину задачі вирахування y(t), виконано.

Дальше розглянемо модель величини y(t) як реакції на відоме значення u(t). В [⁵⁸] вперше запропоновано, а в [5] обґрунтовано модель типу вхід-вихід, задану структурою:

(20.10)

та ідентифікаційними рівняннями, заданими регуляризаційним функціоналом Тіхонова:

Методи ідентифікації системи (20.10), (20.11) достатньо добре вивчені, тому вона придатна як практичний інструмент для розв’язання поставленої задачі – вирахування прогнозу y(t) за відомим значенням послуг u(t).

Зауважимо, що безпосередньо застосувати методи динамічного хаосу для вирахування, y(t) без урахування даних, що описують послуги, – не зовсім обґрунтовано, адже горизонт прогнозу y(t) менший за потрібну величину – календарний місяць. Застосувавши ж динамічну модель (20.10), (20.11) до прогнозу u(t) достатньої тривалості, знаходимо прогноз поступлень такої ж тривалості.

Загальний порядок обчислень. Необхідних для вирахування прогнозу поступлень, описано в наступному алгоритмі.

Алгоритм 20.5. Вирахування прогнозної величини поступлень за послуги зв’язку.

1. Отримати дійсні значення прогнозованих величин u(t_k), y(t_k), k = 1,…,m.

2. За алгоритмом 20.1 визначити розмірність n модельованих даних.

3. За алгоритмом 20.2 знайти максимальний показник Ляпунова і визначити горизонти прогнозу τu τy модельованих залежностей.

4. За алгоритмом 20.4 знайти прогнозне значення величини послуг u(t) на області прогнозування t Є [ tm, tm₊l ] , яка відповідає горизонту прогнозу.

5. З допомогою моделі (20.10), (20.11) знайти шукане прогнозне значення величини поступлень.

Описаний вище алгоритм дає послідовність обчислень, необхідну для вирахування прогнозу за вперше отриманими даними. Якщо ж дані періодично поповнюється новими значеннями, тоді необхідно щоденно перераховувати прогноз u(t), застосовуючи при цьому алгоритм 20.4, і уточнити модель (20.10), (20.11) з допомогою спеціального алгоритму її уточнення [⁵⁹].

Послідовність обчислень, виконуваних для періодичного вирахування нового прогнозу, викладено в наступному алгоритмі.

Алгоритм 20.6. Періодичне уточнення прогнозу величини поступлень.

1. Отримати залежність u(t_k), y(t_k), k = 1,…, m*,… новими значеннями при k = m,…,m*.

2. Вирахувати прогноз поступлень u(t) для поновленої множини даних.

3. Уточнити модель (20.10), (20.11) згідно алгоритму її перебудови при поновленні даних [19].

4. Розв’язати (20.10), знайти прогноз величини поступлень.

Виконуючи обчислення за алгоритмом 20.6 легко отримати щоденне уточнення прогнозу поступлень на наступний часовий відрізок – календарний місяць.

Отже, основі аналізу реальних даних величини послуг зв’язку і величини оплати за них, які були виконані за методами теорії динамічного хаосу, встановлено, що ці модельовані величини належать до хаотичних величин, тобто є реалізаціями дивного атрактора.

З допомогою окремих експериментів, виконаних з модельованими даними, встановлено, що їм відповідає динамічна система 3-го порядку. Горизонт прогнозу величини послуг приблизно дорівнює тривалості календарного місяця, а горизонт прогнозу поступлень дещо менший. З допомогою окремого графічного тесту виявлено, що в обох модельованих величинах наявна повільна зміна параметрів – так званий дрейф.

Для виявлення закономірностей, притаманних величинам u(t), y(t) дало економічну інтерпретацію.

Для побудови прогнозу величини поступлень запропоновано модель, в якій спершу методом моделювання динамічного хаосу отримано прогноз величини послуг, а потім з допомогою методів динамічного моделювання розраховано прогноз величини відповідних поступлень коштів за ці послуги.

Вперше запропоновано метод вирахування прогнозу величини послуг на основі алгоритму зі спеціальною метрикою, яка фіксує рівновіддаленість фрагментів модельованого ряду.

Запропоновано алгоритм вирахування прогнозу поступлень та алгоритм періодичного уточнення цього прогнозу.

Методи прогнозування поступлень за послуги зв’язку, запропоновані в цій роботі, придатні для розробки програмного забезпечення, яка дозволить оперативно вирахувати очікувану величину поступлень.

На основі даних був проведений обчислювальний експеримент з вирахування прогнозної величини доходів з допомогою запропонованого алгоритму 20.5.

Спершу для величини послуг u(t) було знайдено середньо тривалий прогноз з допомогою запропонованого методу моделювання динамічно-хаотичних величин згідно алгоритму 20.4. Графік прогнозованої величини показано нижче.

Поті при відомому прогнозному значенні величині послуг u(t) було знайдено середньо тривалий прогноз поступлень y(t) з допомогою методу динамічного макромоделювання, за моделлю, записаною у формі рівнянь (20.10), (20.11). Графік змодельованої величини поступлень показано на рис 20.11.

Результати обчислювальних експериментів, виконаних за розробленим алгоритмом вирахування величини поступлень, показують, що застосування методів прогнозного моделювання динамічних хаотичних процесів з характерними циклічними повтореннями рухів, які в них відбувається, доцільно виконувати за методом виявлення схожих фрагментів траєкторій з подальшою екстраполяцією їх усереднення. З допомогою цього методу отримано якісний прогноз тривалістю один місяць для величини послуг зв’язку.

Для відображення динамічної залежності між величиною послуг зв’язку й внесенням оплати за них з успіхом використано методи динамічного макромоделювання.

Рис. 20.10. Графік залежності величини послуг зв’язку від часу u(t) та проноз цієї величини на 1 місяць Реальні дані за 265 днів, прогноз на 30 днів в прикінцевій частині графіка.

Рис. 20.11. Графік залежності величини послуг зв’язку від часу y(t) та проноз цієї величини на 1 місяць.

Окремо було зроблено спробу отримати прогноз поступлень y(t) за послуги зв’язку з допомогою динамічної макромоделі (2.10), (2.11) без врахування величини послуг u(t). Проте, такий підхід призводив до помітного погіршення якості прогнозу. Тобто, цим підтверджено припущення, що моделювання динаміки двох процесів дає кращу точність, ніж відображення лише другого з них, котрий є наслідком першого.

Отже, експерименти з моделюванням обсягу послуг, та розмірів поступлень за ці послуги показують, що добрі прогнозні значення отримано як з допомогою окремого використання методів динамічного макромоделювання, так й при використанні методів теорії динамічного хаосу. В остаточному ж результаті для практичного розв’язання поставленої задачі – визначення дохідності послуг зв’язку використано алгоритм, в якому спершу з допомогою методів динамічного хаосу побудовано прогноз обсягів операцій, а потім з допомогою макромоделювання оцінено величину поступлень.

Таке поєднання методів моделювання складних динамічних залежностей дозволило отримати якісну прогнозну модель, в якій враховано як циклічність процесів, що відбуваються в галузі зв’язку, так й динаміку внесення плати за послуги зв’язку.

Для виконання обчислювальних експериментів з даними, визначення параметрів даних за методами теорії динамічного хаосу було розроблено програмне забезпечення мовою Matlab. Зокрема, з допомогою цього програмного забезпечення побудовано псевдофазовий портрет модельованого об’єкта, вирахувано максимальні показники Ляпунова, виконано тест на виявлення дрейфу для даних.

Обчислювальні експерименти з моделлю, побудованою на основі екстраполяції вхідної величини – обсягів послуг зв’язку й вихідної величини – обсягів поступлень за ці послуги, дозволяє зробити наступні висновки.

Обидві модельовані величини належать до реалізації хаотичного динамічного процесу. В обох випадках в них проявляється тренд, тобто параметри відповідних динамічних систем повільно змінюються з часом. Ці величини дещо відрізняються максимальним параметром Ляпунова. Так, для більшості експериментів, виконаних з різними даними, взятими з декількох відділень підприємства зв’язку, максимальний показник Ляпунова був дещо меншим для вхідної величини, тобто динаміка вихідної величини – поступлення оплат виявляє складнішу поведінку, ніж динаміка отримання послуг. Втім, горизонт прогнозу для цих двох величин майже рівний і близький до одного місяця.

Експерименти з вибором методу прогнозування пари скалярних величин, зв’язаних причинно-наслідковою залежністю, показують, що найкращого результату було досягнуто в тих випадках, коли вхідну величину (обсяги послуг) було проекстрапольовано методом з теорії динамічного хаосу, а результуючу величину (обсяги оплат) визначено з допомогою макромоделі неавтономної динамічної системи, у якій в якості входу взято раніше встановлений прогноз вхідної величини.

Практичне обчислення прогнозів, виконане з реальними даними декількох відділень підприємства зв’язку, показують, що вибраний метод прогнозування відповідає поставленій задачі. Програмне забезпечення, розроблене на основі побудованої моделі оплати за послуги зв’язку придатне для практичного використання як високо складний наукомісткий інструмент при оперативному фінансовому плануванні в підприємстві зв’язку.

Розроблений метод прогнозування величини поступлень придатний для застосування в ряді інших галузей, для яких характерне запізнення між динамікою надання товару й динамікою поступлення коштів за це.