6. Модель валютної паніки
Співавтор: Савка Надія
Уточнено та експериментально досліджено модель валютної пініки, що відображає поведінку трьох учасників ринку – продавцв товару, комерційних банків, які купують іноземну валюту та національного банку, котрий, намагаючиь стабілізувати курс, продає іноземну валюту. Поведінка цчасників ринку зімітована логісичнми рівняннями.
Поставлено задачу змоделювати явище обвалу валютно-товарного ринку, зумовлене панічним збутом національної валюти і купівлею іноземної валюти або товару.
За основу розв’язку задачі взято підхід, запропонований у [28].
Розглянемо, поведінку брокерів на валютній біржі при валютній паніці. Введемо ряд позначень.
– швидкість приходу деякого ресурсу в
i-й вузол (к-сть / час);
– швидкість відходу деякого ресурсу з
і-го вузла;
– швидкість утворення деякого ресурсу
в i-му вузлі;
– швидкість зникнення деякого ресурсу
з i-го вузла;
– швидкість зміни вартості капіталу в
i-му вузлі за рахунок макропричин;
– ціна одиниці к-сті вхідного потоку в
і-ий вузол;
– ціна одиниці к-сті вихідного потоку
з і-го вузла;
– величина деякого ресурсу, накопичена
в і-му вузлі.
В найпростішому випадку зміна ресурсу буде описуватися рівнянням:
(6.1)
Зміна вартості в її грошовій формі:
(6.2)
Поведінку курсу валюти розглянемо для деяких ідеальних умов, що відповідають поширеній кризовій ситуації. Ця ситуація характеризується різким спадом виробництва, значним дефіцитом державного бюджету, негативним балансом зовнішньоторговельної діяльності, неконтрольованою грошовою емісією.
Ведемо позначення – номери учасників ринку.
1. Резервний фонд НБУ.
2. Оборотна каса НБУ.
3. Виробники, працівники і пенсіонери.
4. Ринок товарів і послуг.
5. Продавці.
6. Ринок валюти.
7. Комерційні банки.
8. Зовнішній ринок.
Позначатимемо верхнім індексом b змінні, що відносяться до валюти, d – що відносяться до національних грошей, m – що відносяться до товару.
Складемо рівняння вузлів, врахуємо і використаємо взаємозв'язки між вузлами. Очевидно, що ключовим повинні бути зв'язки комерційних банків і продавців через ринок валюти, проте складання рівнянь ми почнемо від НБУ, оскільки в даній схемі він являє собою початок ланцюжка.
Нехай
– швидкість емісії, наприклад, в гривнях.
Всі ці гроші потрапляють до споживачів і потім — до продавців. Продавці є центральною ланкою даної системи, оскільки тільки вони концентрують всі три види ресурсів: гроші, товари, валюту. Матеріальний баланс цих потоків для ланки Продавці дає наступну систему рівнянь:
(6.3)
(6.4)
(6.5)
де
.
Матеріальний баланс для ланки комерційних банків:
;
(6.6)
(6.7)
При цьому:
; (6.8)
; (6.9)
; (6.10)
Тоді
(6.11)
Курс
валюти
задовольняє наступній рівності вартості
балансу:
(6.12)
Продиференціювавши ліву частину й враховуючи (2.5), одержимо:
(6.13)
Функція
характеризує зміну курсу валюти, який
визначає ринок. Важливе значення для
цієї зміни має різниця попиту і пропозиції
не на локальному, а на глобальному
рівні.
Нехай банки виставили на ринку деяку частину 0 ≤ k(t,7) ≤ 1 наявного запасу валюти, тоді об’єм валюти на ринку рівний k(t,7)Vb(t,7).
Нехай продавці товару виставили встановлену частку 0 ≤ k(t,5) ≤ 1 наявного запасу грошей, тобто k(t,5)Vb(t,5).
Тоді «рушійна сила» зміни ціни, рівна k(t,5)Vd(t,5) – cb(t,7)k(t,7)Vb(t,7).
Коефіцієнти k(t,7) і k(t,5) описують ринкову поведінку. Змінна k(t,7) – це стратегія і тактика торгуючих валютою, тобто банків. Вона визначається, виходячи із різних точок зору. Перша з них – попередній досвід дій в подібних ситуаціях; інша – визначений сценарій валютної спекуляції, якщо вона має місце; наступна – психологічні фактори. Змінна k(t,5) – це стратегія і тактика продавців товару, яким потрібна валюта. В звичайній ситуації k(t,5)<<1, так як основна маса грошей є в обігу в середині країни на ринку товарів і послуг, що виробляються внутрішнім виробником. В момент валютних панік, спричинених гіперінфляцією, політичними чи економічними причинами, ця частка прямує до 1.
Отже,
Fвих(t,7)=kcn(t)(k(t,5)Vd(t,5) – cb(t,7)k(t,7)Vb(t,7)). (6.14)
Виходячи з рівняння (2.7), (2.6) матиме вигляд
(6.15)
Тут kcn(t) деякий параметр – функція, що визначається з експерименту.
Позначивши
через
ціну у валюті, за яку продавці імпортують
товар, одержимо
. (6.16)
Для
цін на товар має бути виконана умова:
.
Тобто ціна, по якій продається товар на
внутрішньому ринку, має покривати
затрати на його закупку. Можна припустити,
що
r5>1.
Оскільки всі гроші користувачів
переходять продавцям, то
.
Отже:
(6.17)
Рівняння
(6.17) описє товарний потік і ціну товару.
Величину
в більшості випадків можна вважати
постійною, що спрощує розв’язок.
Система рівнянь, що описують курс валюти:
(6.18)
(6.19)
(6.20)
Уточнимо
зміст і вид функції
,
яка відображає швидкість потоку валюти
із банків. Вона має бути рівна або
пропозиції, або попиту, точніше, мінімуму
із цих двох величин. Тобто:
. (6.21)
В кризових ситуаціях мінімальним в цій парі є, звичайно, перший член. Але, як ми побачимо дальше, ажіотажний попит на валюту і знецінення національних грошей може призводити, залежно від подій визначеного часу, до протилежної ситуації.
Стратегію поведінки продавців запишемо з допомогою логістичного рівняння:
.
(6.22)
Стратегія поведінки банків:
.
(6.23)
В рівняннях (2.16), (2.17) коефіцієнти rk5, rk7 відображають швидкість реакції пробавців і банків на наростання ринкової паніки.
Система диференціальних рівнянь (2.11-2.14) описують явища обвалу на валютному-товарному ринку. Для її розв’язування необхідно задатися початковими умовами
cb(t0,5); vb(t0,7); Vd(t0,5); Vm(t0,5); k(t0,5), k(t0,7). (6.24)
Програмне забезпечення моделі розроблено мовою МАТЛАБ.
Також в модель включено три константи – що відображають логарифмічні декременти логістичного співвідношення в стратегіях продавців та комерційних банків. Також вважається сталою ціна товару. Таке припущення слушне з уваги на відносно коротку тривалість валютного обвалу.
З допомогою функції поведінки kcn(t) змодельовано інертність ринку валюти щодо різниці між величиною попиту і пропозиції. В експериментах було вибрано сталу та коливну величину інертності ринку конвертації іноземної валюти.
Систему шести диференційних рівнянь (6.17–20), (6.22), (6.23) описано з допомогою програмної функції ode_val(y,t). Текст цієї програми подано в додатку. Ця функція необхідна для розв’язування системи звичайних диференційних рівнянь засобами Matlab. Ця функція приймає два параметри – скалярну незалежні змінну t, і вектор динамічних змінних системи рівнянь y. Тобто, у функції ode_val(y,t) явно відображено систему звичайних диференційних рівнянь.
Математична модель обвалу валютного ринку розроблена в головній програмі роботи – процедурі val. В цій програмі задано значення параметрів моделі, описано звертання до функцій поведінки, розв’язано систему звичайних диференційних рівнянь, виконано відображення результатів моделювання й вивід їх у текстові файли, а також обчислено модельні прогнозні значення динамічних змінних після обвалу валютного ринку. Текст програми моделі подано в додатку.
Розроблене програмне забезпечення моделі дозволяє здійснювати експерименти з вивчення особливостей лавиноподібного явища валютної паніки, обвалу валютного курсу, спрогнозувати обсяги продаж валюти при цьому.
З допомогою розробленого програмного забезпечення було проведено ряд експериментів, спланованих для дослідження явищ валютної паніки.
Постановка експериментів зводилася до обчислення розв’язків динамічної моделі при різних сталих її параметрах та різних видах функцій поведінки, що разом імітує ти чи інші процеси, котрі відбуваються при наближенні валютної паніки та обвалу валютного ринку. Результати цих експериментів показані на ілюстраціях нижче.
Рис. 3.1. Ціна валюти під час валютної паніки.
Рис. 6.2. Коливне зростання ціни валюти під час валютної паніки.
Рис. 6.3. Обсяги проданої валюти.
Рис. 6.4. Обсяги проданої національної валюти.
Рис. 6.5. Обсяги проданої національної валюти (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.6. Спад обсягів продажу товару під час валютної паніки.
Рис. 6.7. Спад обсягів продажу товару під час валютної паніки (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.8. Стратегія поведінки банків щодо накопичення національної валюти.
Рис. 6.9. Стратегія поведінки продавців щодо товару.
Рис. 6.10. Проекція фазової траєкторії на площину «ціна валюти – обсяги національної валюти в банках».
Рис. 6.11. Проекція фазової траєкторії на площину «ціна валюти – обсяги валюти в банках».
Рис. 6.12. Проекція фазової траєкторії на площину «ціна валюти – обсяги товару в продавців».
Рис. 6.13. Проекція фазової траєкторії на площину «ціна валюти – стратегія поведінки банків».
Рис. 6.14. Проекція фазової траєкторії на площину «ціна валюти – стратегія поведінки банків» (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.15. Проекція фазової траєкторії на площину «ціна валюти – стратегія поведінки продавців» (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.16. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок валюти – залишок національної валюти в банках».
Рис. 6.17. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок валюти – залишок товару в банках».
Рис. 6.18. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок валюти – стратегія поведінки банків».
Рис. 6.19. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок валюти – стратегія поведінки продавців».
Рис. 6.20. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок національної валюти – залишок товарів».
Рис. 6.21. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок національної валюти – залишок товарів» (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.22. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок національної валюти – стратегія поведінки банків».
Рис. 6.23. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок національної валюти – стратегія поведінки банків» (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.24. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок національної валюти – стратегія поведінки продавців».
Рис. 6.25. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок національної валюти – стратегія поведінки продавців» (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.26. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок товару – стратегія поведінки банків».
Рис. 6.27. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок товару – стратегія поведінки продавців».
Рис. 6.28. Проекція фазової траєкторії на площину «залишок товару – стратегія поведінки продавців» (у збільшеному масштабі).
Рис. 6.29. Проекція фазової траєкторії на площину «стратегія поведінки банків – стратегія поведінки продавців».
За результатами обчислювальних експериментів отримано наступні висновки.
При наближенні параметрів ринку стану з рекурсивним лавинним обвалом за деяких констант та функцій поведінки цей обвал не проявляється. Ринок залишається стійким. Проте, якщо параметри, що описують ринок починають наближатися до реальних значень, модель відтворює стрибкоподібний перехід у стан з іншими стійкими показниками ринку валюти і товарів.
Тобто ринок валюти і товарів, в якому стратегія поведінки продавців та банків задана логістичним співвідношенням, інколи зазнає стрибкоподібного переходу у стан з вищими показниками. Це не пов’язано з покращенням продуктивності економіки, адже йдеться лише про торгівлю та обмін валют. Тобто, в цих двох галузях, які не є носіями дійсної матеріальної вартості, а лише пов’язані з рухом їх еквівалентного замінника – грошей, стрибкоподібно відбуваються явища, котрі потім прямо впливають на дійсну економіку, пов’язану з товарним виробництвом та споживанням.
В усіх експериментах валютний обвал призводив до підвищення ціни валюти, втрати вартості національних грошей. В деякому розуміння товар починав виконувати роль грошей, адже він менше втрачав вартість, ніж національна валюта, хоч інтенсивність з якою товар починав виконувати функції грошей, залежала від особливостей поведінки продавців та банків, моделювання якої пов’язане з суб’єктивними неточностями.
Експерименти з моделлю показують, що явища стрибкоподібного обвалу ринку зумовлені поведінкою учасників ринку, які діють лише в межах інтересів, пов’язаних з обміном «еквіваленту товару». Наслідки ж обвалу заторкують всі галузі економіки, погіршуючи її стан.
Отримати «обвал з позитивними наслідками» для виробництва в межах вибраної концептуальної моделі не вдалося.
Отже, з цього випливають висновки, що в економіці необхідне управління, спрямоване на те, щоб запобігти валютній паніці, адже це призводить до негативних наслідків для економіки загалом.
Також стан очікування перед валютною панікою стимулює бартерні операції, в яких товар виконує роль грошей.
Обчислювальні експерименти з моделлю добре відтворити поведінку економіки України під час кризи першої половини та середини 1990-х років.
Розроблена модель придатна для використання як інструмент підтримки прийняття рішень під час управління валютним ринком зі сторони НБУ, спрямованого на те, щоб зберегти його стабільність.
Також модель дозволяє прогнозувати величину обвалу валютного ринку під час валютної паніки.
Рис. 6.30. Курс долара США, 1998 р.
Рис. 6.31. Курс австралійського долара, 1998 р.
Зокрема, з її допомогою отримано точне відтворення обвалу української гривні у серпні 1998 року відносно долара та інших валют. Ці результати видно з порівняння графіків 6.1 та 6.30, 6.31.
Отже, практичне використання розробленої моделі для управління валютним ринком потребує уточнення параметрів моделі відповідно до дійсного стану ринку та відображення поведінки учасників рину з допомогою виділених функцій поведінки. Після цих уточнень модель стає повністю придатною для підтримки прийняття рішень при управління валютно-товарними риками.
В другому експерименті з допомогою моделі було відтворено дрібно-елементну поведінку учасників ринку.
Як видно з графіків реальних даних (рис. 6.30, 6.31) – стрибок ціни валюти відбувається не плавно, а через ряд дрібних сходинок, які подібні до коливного, часом випадкового піднесення. Для моделювання цього піднесення було враховано періодичну зміну з часом поведінки учасників ринку. При цьому не було враховано протилежних інтересів учасників ринку, які зацікавлені підняти і знизити ціну (т.зв. «ведмедів і волів») З’ясувалося, що тільки врахувавши тижневі коливання модельованих величин, зокрема – інтересу до обміну валют, прив’язаного до вихідних днів, спроектована модель почала відтворювати поведінку систем з динамічним хаосом.
Зокрема – появилася коливна поведінка, яку добре видно у збільшеному масштабі (рис. 6.14, 6.23, 6.25). Яка за деяких умов перетворюється у вихор.
Також виникла псевдо-стохастична поведінка (рис. 6.7, 6.21, 6.28). При зменшенні масштабу з’ясувалося, що перші ознаки валютної паніки відповідають власне дещо вищим випадковим відхиленням величин, в порівнянні з деяким середнім значенням їхнього відхилення.
Отже, навіть такого детермінованого впливу як наявність вихідних достатньо для виникнення коливних рухів в цінах валюти, а, отже, – появи прошарку спекулянтів на її курсі.
Макроперехід курсу з одного стабільного значення на інший відбувається через низку мікроскопічних переходів, що мають хаотичну природу.
Отже, розроблена модель дає інструмент для підтримки прийняття рішення при плануванні управління валютно-товарними ринками. Зокрема, з її допомогою відкривається шлях для завбачення обвалів валютних ринків, посилення бартеризації.
Також модель слугує практичним засобом дослідження дрібно-елементної поведінки валютно-товарних ринків в момент стрімкого переходу з одного стабільного стану в інший.
Додаток. Програма моделювання валютної паніки.
% file [val.m]
function ret = val
ret = 0;
global cmbvx; cmbvx = 1.0;
global rr5; rr5 = 0.00001;
global rr7; rr7 = 0.002;
global r5; r5 = 2.3;
cv7_0 = 4.41; %1
Vb7_0 = 100; %2
vd5_0 = 200; %3
vm5_0 = 30; %4
k7__0 = 0.0001; %5
k5__0 = 0.00001; %6
tspan = [0, 8000];
y0 = [cv7_0; Vb7_0; vd5_0; vm5_0; k7__0; k5__0];
[t,y] = ode45 (@ode_val, tspan, y0);
figure; hndl = plot (t, y(:, 1));title('c^b_7(t)');ylabel('c^b_7( [UAH/USD]');xlabel('t [day]');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (t, y(:, 2));title('V^b_7(t)');ylabel('V^b_7( [USD]' );xlabel('t [day]');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (t, y(:, 3));title('V^d_7(t)');ylabel('V^d_7( [UAH]' );xlabel('t [day]');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (t, y(:, 4));title('V^m_5(t)');ylabel('V^m_5( [tovar]' );xlabel('t [day]');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (t, y(:, 5));title('k_7(t) ');ylabel('k_7 ( [ 1 ]' );xlabel('t [day]');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (t, y(:, 6));title('k_5(t) ');ylabel('k_5 ( [ 1 ]' );xlabel('t [day]');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 1), y(:, 2));title('phase-plane portrait [c^b_7 - V^b_7]');xlabel('c^b_7');ylabel('V^b_7');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 1), y(:, 3));title('phase-plane portrait [c^b_7 - V^d_7]');xlabel('c^b_7');ylabel('V^d_7');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 1), y(:, 4));title('phase-plane portrait [c^b_7 - V^m_5]');xlabel('c^b_7');ylabel('V^m_5');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 1), y(:, 5));title('phase-plane portrait [c^b_7 - k_7 ]');xlabel('c^b_7');ylabel('k_7 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 1), y(:, 6));title('phase-plane portrait [c^b_7 - k_5 ]');xlabel('c^b_7');ylabel('k_5 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 2), y(:, 3));title('phase-plane portrait [V^b_7 - V^d_7]');xlabel('V^b_7');ylabel('V^d_7');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 2), y(:, 4));title('phase-plane portrait [V^b_7 - V^m_5]');xlabel('V^b_7');ylabel('V^m_5');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 2), y(:, 5));title('phase-plane portrait [V^b_7 - k_7 ]');xlabel('V^b_7');ylabel('k_7 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 2), y(:, 6));title('phase-plane portrait [V^b_7 - k_5 ]');xlabel('V^b_7');ylabel('k_5 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 3), y(:, 4));title('phase-plane portrait [V^d_7 - V^m_5]');xlabel('V^d_7');ylabel('V^m_5');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 3), y(:, 5));title('phase-plane portrait [V^d_7 - k_7 ]');xlabel('V^d_7');ylabel('k_7 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 3), y(:, 6));title('phase-plane portrait [V^d_7 - k_5 ]');xlabel('V^d_7');ylabel('k_5 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 4), y(:, 5));title('phase-plane portrait [V^m_5 - k_7 ]');xlabel('V^m_5');ylabel('k_7 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 4), y(:, 6));title('phase-plane portrait [V^m_5 - k_5 ]');xlabel('V^m_5');ylabel('k_5 ');set(hndl,'LineWidth',2)
figure; hndl = plot (y(:, 5), y(:, 6));title('phase-plane portrait [k_7 - k_5 ]');xlabel('k_7 ');ylabel('k_5 ');set(hndl,'LineWidth',2)
% end file [val.m]
%file [ode_val.m]
function dydt = ode_val (t, y)
global cmbvx;
global rr5;
global rr7;
global r5;
dydt = [
%1
kcn(t).*(y(5).*y(3)./y(2) - y(1).*y(5))
% %2
(y(5).*y(2) <= y(6).*y(3)./y(1)).*y(5).*y(2) + ...
(y(5).*y(2) > y(6).*y(3)./y(1)).*y(6).*y(3)./y(1)
% %3
wdym1(t) - y(1).*( ...
(y(5).*y(2) <= y(6).*y(3)./y(1)).*y(5).*y(2) + ...
(y(5).*y(2) > y(6).*y(3)./y(1)).*y(6).*y(3)./y(1) ...
)
% %4
( ...
(y(5).*y(2) <= y(6).*y(3)./y(1)).*y(5).*y(2) + ...
(y(5).*y(2) > y(6).*y(3)./y(1)).*y(6).*y(3)./y(1) ...
)./cmbvx ...
- wbvux1(t)./(r5 * y(1) * cmbvx)
% %5
(1 - y(5)).*(1 - exp(rr7 * y(5)))
% %6
(1 - y(6)).*(1 - exp(rr5 * y(6)))
];
%end file [ode_val.m]
%file [kcn.m]
function ret = kcn (ttt)
%ret = 0.002 + 0.00001 * ttt;
ret = 2.0*(1.0 + sin((2*pi/60)*ttt));
%end file [kcn.m]
% file [wbvux1.m]
% valutni intervencii NBU
function ret = wbvux1 (ttt)
ret = 1.0 + 0.001 * ttt;
% end file [wbvux1.m]
% file [wdym1.m]
% emisija UAH
function ret = wdym1 (ttt)
%ret = 2.0 + 0.003 * ttt;
ret = 1.5*(1.0 + sin((2*pi/90)*ttt));
% end file [wdym1.m]
% file [wbvux1.m]
% valutni intervencii NBU
function ret = wbvux1 (ttt)
%ret = 1.0 + 0.001 * ttt;
ret = 20.0*(1.0 + sin((2*pi/30)*ttt));
% end file [wbvux1.m]