4. Прогнозна модель дохідності пасажирських перевезень

Співавтор: Антонів Зоряна Іванівна

Для прогнозування дохідності пасажирських перевезень автомобільним транспортом застосовано метод декомпозиції доходів за економічними та математичними ознаками адитивних складових загального доходу підприємства. Для виділення повільно-змінної складової доходів застосовано регуляризований метод усереднення.

Поставлено задачу побудувати прогнозну модель дохідності пасажироперевезень у міському, приміському та міжміському автомобільному сполученні. Розв’язання цієї задачі дає інформаційні підстави для розробки перспективних планів розвитку автотранспортного підприємства, дозволяє уточняти напрямки його розвитку, гнучкіше реагувати на нові потреби ринку перевезень.

Розв’язання цієї задачі, ґрунтується на використанні динамічних моделей дискретних числових рядів.

Задано наступні дискретні залежності:

y_i (t_k), k=1,…, m; _i=1,2,3, (4.1)

які відображають відповідно щоденну величину доходів автотранспортного підприємства від міських, приміських та міжміських автобусних пасажироперевезень. Ці доходи відповідають обсягам наданих послуг, адже плата за проїзд вноситься одночасно з проїздом. Величини y₁, y₂ та y₃ виражені в грошових одиницях.

Величини y₁, y₂ та y₃ мають подвійну природу. З однієї сторони – вони відображають потребу громадян, мешканців міста та району в транспортних послугах, і відтворюють реально спожиту потребу в цих послугах. З іншої – це фінансові доходи автотранспортного підприємства. Оскільки доходи залежать від попиту та ціни, то природно припустити, що зміна величин y₁, y₂ та y₃ зумовлена рекурсивним внутрішнім зв’язком, що й зображено на рисунку 4.1.

Рис. 4.1. Схематична рекурсивна залежність дохідності пасажироперевезень від часу

Оскільки модель дохідності y=(y₁, y₂, y₃) задана рекурсивною залежністю, тому для її математичного опису необхідно застосувати методи динамічного моделювання.

З апріорних даних також відомо, що величина yі(t) зазнає циклічних змін, пов’язаних з торговими потребами громадян, навчальним процесом, проте жодних інших властивостей цих змін апріорно не задано.

Також для модельованої величини властиві пікові піднесення, що пов’язані з вихідними та святковими днями. Важливо, що в пікові дні дохідність обмежена транспортними ресурсами підприємства і вже не відповідає попиту на транспортні послуги зі сторони пасажирів. Пікові сплески перевезень (попиту і дохідності) трапляються доволі часто і вони становлять значну частку доходів підприємства. Тому через розбіжність між попитом і доходами від перевезень в „години пік” є підстави розглядати обсяги поступлень від пасажироперевезень (4.1) лише як величину дохідності, і не пов’язувати її з величиною попиту. Адже в моменти пікових навантажень дохідність й попит пов’язані невідомою нелінійною функцією, що відтворює ресурсний потенціал автотранспортного підприємства.

Цей висновок дозволяє припускати, що для побудови моделі часового ряду (4.1) доцільне застосування методів динамічного відтворення дискретних часових залежностей. Врахування інших факторів, таких як попит і ціноутворення, призводить до появи інших задач, котрі виходять за межі досліджуваного питання.

Як зазначалося в огляді методів моделювання, для вибору математичних засобів опису залежностей (4.1), необхідно спочатку експериментально дослідити їх. Слід також встановити, чи наявні в них характерні швидкі зміни є реалізацією стохастичного процесу, чи це вияв поведінки об’єкта, який підпадає під закономірності динамічного хаосу [¹⁷]. І на цій основі зробити висновки про застосування того чи іншого математичного апарату.

З цією метою над даними (4.1), було виконано ряд експериментів, спланованих для якісної ідентифікації їх статистичних властивостей та для вирахування значень параметрів, які відображають ці властивості.

Як відомо, [¹⁸] псевдофазовий портрет реалізації стохастичного процесу дає послідовність точок, яка рівномірно розподілена в деякій області, або розподілена на цій області за деяким законом розподілу. Якісний аналіз псевдофазового портрету дає найпростішу інформацію про особливості динамічної системи, яка породила досліджуваний часовий ряд, в нашому випадку часову залежність y(t_k), (4.1). Зокрема, псевдофазові портрети динамічних систем детермінованої, стохастичної природи, або систем з реалізацією детермінованого хаосу, мають принципово різний вигляд.

Так, псевдофазовий портрет реалізації стохастичного процесу дає послідовність точок, що розподіляються на площині за деяким законом розподілу.

Псевдофазовий портрет динамічної хаотичної системи, хоч і зберігає вид стохастичного розподілу точок траєкторії, проте має особливий вид – на ньому утворюються додаткові графічні ефекти, так звані області перемішування і області розбігання. В областях перемішування збігаються у вузьку обмежену область фазові траєкторії, котрі проходили через інші частини фазового простору, зокрема – віддалені області.

В областях розбігання, котрі розміщені навколо областей перемішування, фазові траєкторії проходять, зазнають різних спіральних чи колоподібних рухів і знову повертаються в одну з областей перемішування. Зрозуміло, що фазові траєкторії детермінованих систем дають точні геометричні фігури. Відповідно це дає підстави для вибору математичних засобів моделювання - зокрема, методів моделювання детермінованих , стохастичних чи хаотичних систем. Хоч якісний аналіз псевдофазового простору не дає чітких висновків про наявність детермінованого хаосу чи наявність стохастичного процесу, все ж, коли на фазовому портреті чітко видно області з перемішуванням, це дає всі підстави твердити про наявність детермінованого хаосу.

Як відомо [¹⁹] псевдофазовий простір є диффеоізоморфним з простором, утвореним диференціюванням одної із змінних стану динамічної системи. Тому для топологічного дослідження фазового простору системи (4.1), було побудовано проекції її фазових траєкторій на координатну площину, утворену різним поєднанням похідних, y_i^(j)(t), i=1,2,3; де j – порядок похідної, який вибирався в межах j = 0,1,2,3. Для числового диференціювання дискретних залежностей (4.1), було застосовано програмні класи роботи з дискретними табличними залежностями [²⁰]. Деякі фазової траєкторії системи (4.1) показано на рисунках 4.2, 4.3 та 4.4.

Рис. 4.2 – Проекція фазової траєкторії y₁(t_k) на осі (y₁⁽⁰⁾, y₁⁽¹⁾).

Рис. 4.3. Проекція фазової траєкторії y₂(t_k) на осі (y₂⁽⁰⁾, y₂⁽¹⁾).

Рис. 4.4. Проекція фазової траєкторії y₃(t_k) на осі (y₃⁽⁰⁾, y₃⁽¹⁾).

Якісний аналіз псевдо фазового простору (див. рис. 4.2, 4.3, 4.4 ) дає підстави твердити, що в модельованій системі (4.1) спостерігається поєднання повільної зміни тренду, що має коливальний характер, з псевдостохастичною (хаотичною) поведінкою та наявністю майже детермінованого коливання із точно визначеним, незмінним періодом. Останній процес пов’язаний із тижневими повтореннями дохідності пасажироперевезень. Хоча тижневі циклічні зміни обсягів перевезень і доходів характерні для всього відрізку спостереження, проте в них спостерігається незначна зміна амплітуди тижневих коливань та інколи – періоду повторення, що очевидно, зумовлено зміщенням робочого календаря з святковими днями, суміжними з вихідними датами.

Цей якісний аналіз псевдофазових портретів об’єкта (4.1), дає підстави припускати, що модельовані об’єкти належать до систем з детермінованим хаосом, проте, вплив власне хаотичних складових в порівнянні з повільним трендом, квазіперіодичними коливаннями, залишається доволі незначним. Тому одного лише якісного аналізу псевдофазових портретів недостатньо для вибору математичного апарату моделювання.

Ще одне непряме підтвердження останнього висновку випливає з якісного дослідження псевдофазових портретів суми величин y₁, y₂, y₃ - основних статей доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень. Як видно з фазових портретів системи, що породжує y₁(t_k) +y₂(t_k)+ y₃(t_k) (рис. 4.5), така система є більш хаотичною в порівнянні з її адитивними складовими – y₁, y₂, y₃, що непрямо підтверджує припущення про слабкий вплив детермінованого хаосу в системі (4.1).

Рис. 4.5а. Проекція фазової траєкторії системи y₁(t_k) +y₂(t_k)+ y₃(t_k) на площину (y ⁽⁰⁾, y ⁽¹⁾).

Порівнюючи загальний вид фазового портрета, зображеного на рис. 4.5, та фазових портретів, зображених на рис. 4.2-4.4, легко зауважити, що графіки окремих видів доходів відтворюють простішу динамічну залежність, ніж графік сукупного доходу. Це зауваження призводить до висновку, що для розробки прогнозної моделі доходів від пасажироперевезень досліджуваного підприємства транспортної галузі, доцільно скористатися декомпозицією його загальних доходів від пасажироперевезень на функціональні частини, котрі відповідають різним статтям доходів.

Очевидно, є підстави вважати, що декомпозиція основних економічних величин на окремі статті з метою їх подальшого моделювання, з врахуванням адитивного результату – слугує ефективним методом розв’язання цілого класу подібних задач.

Перш ніж шукати структуру диференціальних рівнянь моделі, необхідно встановити порядок цієї моделі. Як відомо, розмірність n об’єкта моделювання, тобто порядок системи диференційних рівнянь, записаних у канонічному виді – пов’язане з розмірністю псевдофазового простору M відомого за теоремою Такенса, згідно якої 2n=M+1, де n і M – відповідно розмірності фазового і псевдофазового просторів динамічної системи. Перш ніж шукати моделюючі рівняння, які описує об’єкт (4.1), необхідно встановити розмірність цих рівнянь. Для визначення розмірності псевдофазового простору, на основі теореми Такенса, застосовують декілька спеціальних близьких обчислювальних методів.

Для практичного вирахування розмірності n об’єкта (4.1) було застосовано наступний алгоритм [²¹].

Алгоритм 4.1 – Вирахування розмірності моделі.

1. Задано ряд x_k = x(t_k), де через x позначено величини y₁(t_k), y₂(t_k), y₃(t_k).

2. Вибираємо деяку відстань δ між двома точками ряду x_k, яка лежить в межах [δ_min, δ_max].

3. Вибираємо деяку розмірність псевдофазового простору M, яка лежить в межах [M_min, M_max].

4. Для всіх δ Є [δ_min, δ_max] вираховуємо кореляційний інтеграл за наступним правилом:

с(M, δ) = {кількість пар х_і ≠х_j з відстанню ║х_і – х_j║<δ}/m².

5. На залежності с(M, δ) знаходимо точку крайнього лівого максимуму і зберігаємо це значення d(M) = _max{c(M, δ)}.

6. Повторюємо пункти 4-5 при всіх M Є [M_min, M_max] і отримуємо залежність d(M), M Є [M_min, M_max].

7. Якщо на залежності d(M) спостерігається зростання, яке переходить у горизонтальну лінію графіку d(M) переходить у горизонтальну лінію графіку, тоді об’єкт x_k, k=1,…,m належить до хаотичних об’єктів, а точка М*, в якій зростання графіку d(M) переходить у стале значення – відповідає кореляційній розмірності ряду x_k, котре своєю чергою є верхньою оцінкою розмірності M псевдофазового простору.

Інакше, якщо залежність d(M) зростає без досягнення максимуму, тоді об’єкт моделювання належить до стохастичних систем.

8. Якщо x_k – хаотична величина, врахувати розмірність псевдофазового простору M* як абсцису, в якій зростання d(M) змінюється на стале значення.

9. Вирахувати розмірність динамічної системи за формулою:

n= [(M-1)/2]+1,

де [ ] – позначає цілу частину раціонального числа.

Обчислення, виконані над даними (4.1), виконані за алгоритмом 4.1 підтвердили раніше зроблене припущення про хаотичну природу цих величин. Графіки кореляційної розмірності d(M), вирахувані для величин y₁, y₂, y₃ показані нижче.

Графічно встановлено, що розмірність псевдофазового простору y₁(t_k): M_y1= 6.2, розмірність псевдофазового простору y₂(t_k): M_y2= 6.3, а розмірність псевдофазового простору y₃(t_k): M_y3= 6.7.

Згідно теореми Такенса (п.9 алгоритму 4.1) розмірність динамічної системи, яка породжує ряд (4.1): n_y=3. Тобто, для достатньо точного опису динамічних процесів, відображених рядом (4.1), достатньо системи диференціальних рівнянь третього порядку. Інша річ, що структура цих рівнянь, їх математичний запис поки невідомі.

Рис. 4.6. Графіки залежності кореляційної розмірності y_і(t_k),і=1,2,3 від розмірності псевдофазового простору М.

Наявність областей розбіжності та областей змішування у псевдофазових портретах досліджуваних об’єктів відображає особливості попиту на автотранспортні послуги, Які поєднують дві протилежні тенденції – прагнення переміщатися і потребу залишатися в межах одного населеного пункту.

Встановлене значення третього порядку n=3 системи рівнянь, також вказує, що для побудови економіко-математичної моделі досліджуваного явища достатньо трьох математичних співвідношень, записаних у вигляді диференціальних рівнянь.

Максимальний показник Ляпунова – величина, що відображає «швидкість» перебігу динамічних процесів, що відбуваються в динамічній системі. У випадку лінійних динамічних систем, околом максимального показника Ляпунова виступає неподільно власне значення фундаментальної матриці цієї величини, проте для нелінійних систем простого математичного методу вирахування та явної економічної інтерпретації показники Ляпунова не мають.

Максимальний показник Ляпунова важливий тим, що він не тільки відображає, на скільки швидко відбуваються рухи в динамічній системі. Він також дозволяє встановити, до якого типу систем, належить динамічний об’єкт, яким згенеровано часові ряди, y₁(t_k), y₂(t_k), y₃(t_k). Так, для хаотичних систем максимальний показник Ляпунова: λ_max ≥ 0; для стохастичних: λ_max >1 для детермінованих, які прямують до стану рівноваги: λ_max < 0.

Якщо значення максимального показника Ляпунова вказує на хаотичну природу об’єкта, тобто λ_max – невелике додатне число, тоді величина обернення до максимального показника відображає час, протягом якого рух хаотичного динамічного атрактора зберігає одні і ті ж якісні властивості. В теорії динамічного хаосу величину τ = 1/λ_max називають «горизонтом прогнозу» – це тривалість часу, для якого може бути побудований прийнятний прогноз методами теорії динамічного хаосу.

Для вирахування максимального показника Ляпунова застосовують декілька алгоритмів [18]. Один з них викладено нижче.

Алгоритм 4.2 – Вирахування максимального показника Ляпунова за М-історіями.

1. Отримати відоме значення розмірності псевдо фазового простору Mx, де x – позначає величини y₁, y₂, y₃.

2. Вибрати точку x_i, i = 1,…, m-M .

3. Сформувати з ряду елементів, розміщеними за x_i вектор X_i = (x_i,…, x_i+M) – так звану М-історію.

4. Вибрати іншу точку x_j, j = 1,…,m-M, j≠i й сформувати для неї М-історію X_j=(x_j,…,x_j+M) .

5. Перебираючи всі j = 1,…, m-M, j≠i, знайти d_i, таке, що

||X_i - X_j || <d_min,

де d_min – деяка міра близькості М-історій між собою.

6. Для всіх j, які задовольняють умову п.5 вибрати вектори X_i+k, X_j+k, k=1,2…, поки задовольняється умова:

d_i =(|X_i+k - X_j+k|/|X_i - X_j|)<d_max , (4.2)

де d_max – деяка міра надто великої відстані між М-історіями. Зберегти значення d_i при найбільшому k, при якому ще задовольняється вказана умова.

7. Вирахувати максимальний показник Ляпунова за формулою:

. (4.3)

Алгоритм 4.2, запропонований в [18], дозволяє вирахувати як максимальний показник Ляпунова, так і горизонт прогнозу:

τ = 1/λ_max (2.4)

Обчислення, проведені з рядами y₁(t_k), y₂(t_k), y₃(t_k), які відповідають реальним даним послуг пасажироперевезення і оплати за них привели до наступних результатів.

З’ясувалося, що значення показника Ляпунова для рядів y₁(t_k), y₂(t_k), y₃(t_k), дещо змінюються при зміні критеріїв близькості. Так, при різних d_min, d_max для ряду yі(t_k) отримано значення максимального показника Ляпунова в точках:

λ_max (y₁) = 0.167 - 0.143.

При таких же змінах границь для ряду y(t_k) отримано дещо більше значення максимального показника Ляпунова:

λ_max (y₂) = 0.210 - 0.125.

λ_max (y₃) = 0.125 - 0.066.

Відповідні значення горизонту прогнозу: τ₁=6-7; τ₂=5-8, τ₃=8-15.

Знайдені величини τ₁ ,τ₂, τ₃ вказують тривалість проміжку часу в днях (оскільки t_k– задано календарними днями), протягом яких модельовані залежності yі(t) зберігають топологічну подібну поведінку. В економічному сенсі – протягом цього часу користувачі циклічно повторюють приблизно одні й ті ж дії, пов’язані з отриманням послуг пасажироперевезення. Графік залежностей yі(t) та їх ковзних згладжень показано на рис. 2.7-2.9

Рис. 4.7. Графік модельованої величини y₁(t) та її лінійного згладження.

Вирахуване значення максимального показника Ляпунова, який отримано для y_і(t_k) та для їх усереднень і лінійно-згладжених значень показує суттєву відмінність в отриманих результатах. Це дозволяє зробити висновок, що знаходження тренду модельованої економічної величини є задачею некоректною в сенсі Адамара. Інша річ, що ця некоректність не проявляється, якщо знайдена залежність пізніше використовується лише для якісного аналізу і не береться за основу для подальших обчислень.

Рис. 4.8. Графік модельованої величини y₂(t) та її лінійного згладження.

Рис. 4.9. Графік модельованої величини y₃(t) та її лінійного згладження.

Отже, дослідження модельованих величин y₁(t_k), y₂(t_k), y₃(t_k) та їх тренду, отриманого методом елементарного ковзного усереднення, з допомогою вирахування максимального показника Ляпунова показує, що застосована операція виділення тренду – згладження модельованої величини є некоректною і при потребі використовувати згладжений ряд (тренд), необхідно застосовувати метод регуляризації.

Якщо параметри динамічної системи, яка породжує детермінований хаос, повільно змінюється, про такі системи кажуть, що вони мають внутрішній дрейф. В математичному сенсі наявність дрейфу полягає у явній залежності параметрів системи від часу.

В теорії динамічних систем відомо декілька методів виявлення дрейфу у хаотичних атракторах. Зокрема, в [18] запропоновано наступний алгоритм.

Алгоритм 4.3 – Графічне виявлення дрейфу дивного атрактора.

1. Задано послідовність x_k, k=1,…,m.

2. Розбити точки на дві пари по 4 суміжні точки: {(x_i, x_i+1), (x_i+2, x_i+3)}.

3. Відобразити точку (x_i, x_i+1) на координатній площині, утвореній осями {x, x} одним кольором.

4. Відобразити точу (x_i+2, x_i+3) на цій же площині іншим кольором.

5. Повторити п. 3-4 для всіх точок x_k, k=1,…, m-u

В результаті роботи алгоритму 4.3 утвориться графічне зображення, на якому будуть перемішані точки двох різних кольорів. Виявляється, якщо точки різних кольорів розкидати площиною приблизно рівномірно, тоді в такому ряді x_k немає внутрішнього дрейфу, параметри динамічної системи, яка породила такий ряд – не залежить від часу.

Якщо ж на отриманому графічному зображенні точки різного кольору розміщені в різних частинах координатної площини, тоді це вказує на наявність дрейфу – залежності параметрів системи від часу. Якщо ж на отриманому графічному зображенні точки різного кольору розміщені в різних частинах координатної площини, тоді це вказує на наявність дрейфу – залежність параметрів системи від часу.

Для реальних даних yі(t_k) було проведено обмеження за алгоритмом 4.3. графічні зображення, отримані в результаті таких обчислень, подано у третьому розділі даної роботи.

Результати обчислень, виконаних за алгоритмом 4.3 для даних yі(t_k) показують, що параметри динамічних систем, які породжують ці залежності, повільно змінюються з часом. З економічної точки зору це вказує на повільні зміни, що відбуваються в модельованому сегменті ринку.

Проведений аналіз модельованої величини доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень показує, що різні статті доходів мають відмінні кількісні математичні характеристики, по кожному виду діяльності. Також в кожному з взятих до вивчення видів доходів – від міських, приміських та міжміських пасажироперевезень по різному проявляються швидкозмінні тенденції отримання доходів та відповідні повільнозмінні тенденції.

Це дозволяє зробити висновки про доцільність застосування декомпозиції при моделюванні доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень на окремі види діяльності. Також отримані результати дослідження свідчать про доцільність декомпозиції доходів від окремих видів пасажироперевезень на повільнозмінні та швидкозмінні, майже періодичні складові.

Після розкладення загального потоку доходів на окремі складові, з економічним, або лише математичним змістом, для них необхідно побудувати модель з допомогою відповідного математичного методу. Загальні прогнозні результати моделювання знайти як просту адитивну величину, вирахувану для окремих складових модельованої величини дохідності пасажироперевезень.

Схематично структуру такої моделі зображено на рис. 2.10.

Рис. 4.10. Структурна схема вирахування прогнозної величини дохідності пасажироперевезень зі застосуванням декомпозиції

В ході дослідження модельованих величин з’ясувалося, що для вирахування тренду необхідно застосувати метод регуляризованого усереднення. Адже від похибок визначення тренду суттєво залежать результати побудови моделі за виділеними усередненими значеннями.

В наступному пункті описано математичну модель дохідності пасажироперевезень, побудовану на основі вибраного методу декомпозиції доходів.

Опис експериментальних властивостей модельованих величин yі(t), поданий вище, показує, що для побудови прогнозної моделі дохідності пасажироперевезень, потрібно виконати низку дій, пов’язаних з декомпозицією складових загального доходу автотранспортного підприємства від пасажироперевезень, пошуком методів моделювання цих частин та власне отримання результатного прогнозу. Детальніше метод побудови прогнозної моделі дохідності пасажироперевезень описано в наступному алгоритмі.

Алгоритм 4.4 – Декомпозиційна прогнозна модель дохідності пасажироперевезень.

1. Розділити величину загального доходу автотранспортного підприємства від пасажироперевезень за окремими статтями yі(t) згідно наявних звітних даних.

2. Виділити з дохідності за окремою статтею yі(t) тренд та швидкозмінну адитивну складову η_i(t),i=1,...,n, застосовуючи регуляризований алгоритм згладжування.

3. Виконати аналіз тренду , i=1,...,n з метою автоматизованого вибору методу прогнозного моделювання.

4. Виконати аналіз адитивної швидкозмінної складової η_i(t), i=1,...,n з метою вибору методу прогнозного моделювання.

5. Побудувати прогнозну модель для тренду , i=1,...,n.

6. Побудувати прогнозну модель для швидкозмінної залишкової складової η_i(t), i=1,...,n.

7. Знайти прогнози дохідності за окремими статтями +η_i(t) та сумарну прогнозну дохідність +η_i(t), де , η_i(t) – відповідно прогнозні значення для тренду й залишкової складової, по кожній із статей доходів від пасажироперевезень.

Для практичного втілення алгоритму 4.4 необхідно виконати процедуру регуляризованого згладження часового ряду (4.1) та розробити декілька прогнозних моделей, придатних для екстраполяції тренду та залишкової складової η_i(t).

Похибка виділення тренду суттєво залежить від параметрів алгоритму ковзного усереднення. Запропоновано вирахувати значення тренду в точках t_j, j=1,…,m з допомогою ковзних апроксимаційних поліномів різних степенів s та кількості вузлів апроксимації v з наступним усередненням за формулою:

, (4.5)

де k – номер набору (s,v) який відповідає одному ковзному апроксимаційному поліномові; K – загальна кількість наборів; , - усереднені значення величин yі(t); y_k(t_j) – значення усередненої величини для k-того набору.

Доведемо твердження, на якому ґрунтується регуляризація виділення тренду з допомогою ковзних апроксимаційних поліномів.

Твердження 4.1 Нехай y(t_j)- дискретно задана дійсна функція дійсних значень. Тренд y_k(t_j) функції y(t_j) розраховується за методом ковзного апроксимаційного поліному для деякого k-того набору параметрів поліному (s,v). Усереднене значення тренду розраховується за формулою (4.5). Тоді для всіх t_j , , при .

Нехай y_k(t_j) обчислюється з похибкою h_k. Ця похибка обмежена, оскільки обмежені s та v. Відповідно обмеженими є похибки hK-₁, hK усереднених значень тренду , . Як наслідок, , при . Твердження доведено.

На основі цього твердження розроблено алгоритм вирахування тренду.

Алгоритм 4.5 – Ітераційне вирахування тренду.

Задано дискретну функціональну залежність (4.1). Необхідно знайти її тренд , i=1,...,n, в усіх точках j=1,…m.

1. Вибрати достатню кількість ковзних апроксимаційних поліномів з різними параметрами s та v (v>s), що застосовуються для вирахування тренду.

2. Знайти методом ковзного апроксимаційного полінома значення тренду y_k(t_j), k=1,2; j=1,…,m для перших двох ковзних поліномів.

3. Задати K=1. Знайти наступне наближення за формулою:

, j=1,…,m.

4. Задати K=K+1. Знайти наступне наближення за формулою (4.5) для j=1,…,m.

5. Повторювати п.4 поки |yK(t_j)-yK_-1(t_j)| не стане достатньо малим для всіх точок t_j , j=1,…,m.

6. Останнє усереднене значення є шуканим трендом , j=1,…,m.

Числові експерименти показали, що процедура знаходження усереднених похідних за алгоритмом 4.5 швидко збігається. Застосовано усереднення ковзними поліномами з параметрами s=5÷8 та v=6÷12. Внаслідок регуляризації вирахування тренду стійкість обчислення динамічних характеристик , j=1,…,m значно покращилася.

Після обчислення тренду за алгоритмом 4.5 необхідно вирахувати для тренду , i=1,…,n; j=1,…,m, та залишку η_i(t_j)=y_i(t_j) – , i=1,…,n; j=1,…,m показники, задані в попередньому пункті – розмірність фазового простору n, розмірність псевдофазового простору M, максимальний показник Ляпунова λ_max, кореляційну розмірність d, горизонт прогнозу τі.

Після розрахунку вищезгаданих показників, за їхніми значеннями необхідно вибрати метод прогнозного моделювання. Застосовано наступні методи моделювання, котрі разом становлять базу моделей запропонованого підходу. Це метод лінійної динамічної автономної моделі, заданої звичайним диференціальним рівнянням; метод нелінійного динамічного макромоделювання; метод моделювання квазіперіодичного коливного процесу; метод моделювання випадкової величини. Опишемо ці методи детальніше.

В [²²] вперше запропоновано, а в [²³] обґрунтовано модель автономного об’єкта, задану структурою:

(4.6)

де - багатовимірний степеневий поліном

(4.7)

з ідентифікаційними рівняннями, заданими регуляризаційним функціоналом Тіхонова:

. (4.8)

Методи ідентифікації системи достатньо добре вивчені, тому ця система придатна для розрахунку прогнозів трендів , i=1,…,n, де y₁ з рівняння (4.6) y₁= , i=1,…,.

Допустимо, що з модельованої величини (4.1) з допомогою алгоритму 4.5 виділено тренд та залишкову складову η_i(t). Якщо різниця між кількістю вузлів апроксимації та степенем поліному перевищує тривалість горизонту прогнозу τі , тоді виділення тренду зводиться до дії фільтра високих частот, який виділяє залишкову швидкозмінну складову. В деяких випадках ця швидкозмінна складова має чітко виражену хаотичну природу, як це зазначалося в попередньому пункті, тому для її моделювання доцільно застосовувати алгоритм, описаний нижче.

Знайдемо у залежності η_i(t_k), i=1,…,n; k=1,…,m фрагменти траєкторій, які близькі до прикінцевого фрагменту, як це схематично зображено на рисунку 4.11.

x, y

y_ik=|x_j+k- x_j+k |

y_i0=|x_i+0- x_j+0 |

x_i

d_max

x_j

t_i

t_i+k

t_j

t_j+k

t

Рис. 4.11. Ілюстрація до методу розрахунку прогнозу хаотичної системи

Тоді передбачаючи масив η_i(t_k), знайти в ньому відрізки близькі до x̃_end. Ця близькість може бути визначена, наприклад в застосуванні Евклідової норми різниці між векторами x̃_i й x̃_end. На рис. 4.11 відрізки близькі до прикінцевого позначені x₁,…,x_N, де N – кількість таких знайдених близьких відрізків. Дальше, знайшовши для кожного з близьких відрізків їх продовження x_i, i=1,…,N, маємо підстави стверджувати, що очікуваний прогноз x̃_end буде близький до цих продовжень x̃_i. Адже це основна властивість хаотичних динамічних систем. Тобто, прогноз x̃_end можна знайти, наприклад як усереднення x̃_i, i=1,…,N.

Проте, цей метод безпосередньо не придатний для досліджуваної задачі через наявність дрейфу у системі (4.1). Проте він цілком підходить для моделювання залишку тренду η_i(t_k), адже дрейф повністю перенесено в основну складову процесу (4.1). Детальний опис цього алгоритму викладено нижче.

Алгоритм 4.6 – Прогнозування хаотичної складової величини доходів від пасажироперевезень.

1. Виділити в масиві η_i(t_k), прикінцеву ділянку x_end.

2. Знайти відрізки x₁,…,xN близькі до x_end в сенсі Евклідової норми, де N – їх кількість.

3. Сформувати продовження близьких відрізків x₁,…,xN, кількість елементів яких відповідає раніше встановленому горизонту прогнозу τ.

4. Сформувати з подовження близьких відрізків прогноз x_end з допомогою усереднення:

. (4.9)

Описаний алгоритм 4.6 дозволяє знайти прогноз залишкової величини η_i(t_k), яка містить коливні складові, якщо під час виділення тренду було виконано сильне згладження величини (4.1).

Практично трапляються випадки, коли залишок тренду η_i(t) відповідає стохастичній величині. Зокрема, такий ефект можна спостерігати, коли різниця між кількістю вузлів апроксимації та степенем полінома вказує на таку кількість вузлів y_i(t_k), котра буде коротшою за горизонт прогнозу τ_і. Тобто, при виділенні тренду не повністю видаляється швидкозмінна складова. В таких випадках для моделювання η_i(t) доцільно застосувати методи відтворення випадкових послідовностей.

Алгоритм 4.7 – Імітаційне моделювання залишку тренду.

1. Знайти закон розподілу P(η) випадкової величини η_i(t) k=1,…,m.

2. Згенерувати послідовність випадкових величин потрібної довжини, які відповідають заданому закону розподілу P(η).

Методи генерування випадкових величин потрібної за заданим законом розподілу добре відомі.

Отже, для побудови прогнозу тренду дохідності пасажироперевезень за окремими статтями та залишку цього тренду запропоновано модельних підходів. Це – методи макромоделювання автономних об’єктів, методи моделювання об’єктів з прихованими періодичностями, моделювання хаотичних процесів, відтворення випадкових процесів та лінійна поліноміальна апроксимація.

Для вибору того чи іншого методу моделювання запропоновано застосувати якісний та кількісний аналіз основних параметрів числового ряду (4.1) та його трендів і залишкових частин.

Для розв’язання задачі прогнозування величини доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень запропоновано декомпозиційний підхід. Згідно даного підходу сумарну величину доходів підприємства від пасажироперевезень з метою прогнозного моделювання розділено на окремі статті доходів відповідно до виду (доходи від міських, приміських та міжміських пасажироперевезень), з котрих, в свою чергу виділено регулярну та залишкову швидкозмінну складову.

Для виділення тренду застосовано оригінальний алгоритм регуляризованого усереднення з допомогою ковзних апроксимаційних поліномів. Для даного алгоритму доведено також теоретичне обґрунтування. Для моделювання тренду та залишкового ряду запропоновано застосувати ряд різних моделей: макромоделювання, моделювання циклічних рухів, моделювання хаотичних та стохастичних процесів, лінійну поліноміальну оцінку. Вибір одного з цих методів моделювання запропоновано виконувати на основі попереднього розрахунку кореляційної розмірності, динамічного порядку, порядку псевдофазового простору, максимального показника Ляпунова для окремих статей модельованих доходів та їх трендів і залишкових величин.

Завдяки такому підходу, отримано простий і точний метод побудови прогнозного моделювання дохідності автотранспортного підприємства від пасажироперевезень. Застосування моделі дозволяє розв’язати актуальну задачу визначення прогнозної величини доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень, що слугує основою планування фінансової і технологічної діяльності підприємства на перспективні періоди. До переваг запропонованого методу належить його придатність до розширення бази прогнозних моделей, призначених для по окремого розрахунку прогнозів трендів і залишкових величин різними математичними методами.

Суттєва особливість розробленого алгоритму пов’язана з гнучким регуляризованим розділенням модельованої величини – дохідності пасажироперевезень за окремими статтями на три складові, в яких свідомо, шляхом вибору співвідношень між параметрами апроксимаційних поліномів потрапляють повільно -, середньо - та швидкозмінні складові модельованого процесу.

Це суттєво спрощує задачі прогнозування окремих числових рядів, розширює коло математичних методів, придатних для їх моделювання, послаблює обчислювальні труднощі при розв’язанні ідентичних задач.

Розроблено метод моделювання на основі структурної декомпозиції модельованих величин та регуляризованого їх розкладення на ряди з різними характерними тривалостями динамічних рухів. Для прогнозування окремих числових рядів, отриманих внаслідок декомпозиції, розроблено базу моделей, які ґрунтуються методах динамічного моделювання автономних об’єктів.

Практичне застосування розробленого методу моделювання полягає в тому, що він дозволяє розв’язати важливу задачу прогнозної оцінки величини доходів від пасажироперевезень автотранспортного підприємства, що в свою чергу відкриває шлях для подальшого технічного оновлення його основних засобів, сприяє загальному покращенню господарської ефективності його роботи, дає позитивний соціальний ефект для регіону загалом.

Для дослідження розробленої моделі було виконано ряд експериментів з даними, взятими на автотранспортному підприємстві. Зокрема, за даними про обсяги доходів від пасажироперевезень за 2004-2005 роки було вирахувано параметри: максимальну розмірність фазового простору моделі за алгоритмом 4.1, вирахувано максимальний показник Ляпунова за алгоритмом 4.2 та визначено горизонт прогнозу для цих величин згідно (4.4).

На основі цих даних, були проведені обчислювальні експерименти з вирахування прогнозної величини доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень з допомогою запропонованого алгоритму 4.8. Схематично план цього експерименту зображено на рис. 4.11.

Для розв’язання задачі прогнозування величини доходів автотранспортного підприємства від пасажироперевезень запропоновано декомпозиційний підхід. Згідно даного підходу сумарну величину доходів підприємства від пасажироперевезень з метою прогнозного моделювання розділено на окремі статті доходів відповідно до виду (доходи від міських, приміських та міжміських пасажироперевезень), з котрих, в свою чергу виділено регулярну та залишкову швидкозмінну складову.

Для моделювання тренду та залишкового ряду запропоновано застосувати ряд різних моделей: макромоделювання, моделювання циклічних рухів, моделювання хаотичних та стохастичних процесів, лінійну поліноміальну оцінку. Вибір одного з цих методів моделювання запропоновано виконувати на основі попереднього розрахунку відповідних вищезгаданих показників для окремих статей модельованих доходів та їх трендів і залишкових величин.

Після того, як було застосовано описаний вище декомпозиційний підхід, над наявними даними про обсяги поступлень від пасажироперевезень по окремих їх видах було проведено ряд експериментів. Розглянемо кожен з них більш детально.

Розпочнемо з прогнозування дохідності АТП від внутріміських пасажироперевезень.

Спершу для величини доходів від внутріміських пасажироперевезень y₁(t) було виділено тренд згідно алгоритму 4.5 та залишкову швидкозмінну складову η₁(t). Для виділення тренду застосовано оригінальний алгоритм регуляризованого усереднення з допомогою ковзних апроксимаційних поліномів. Графік змодельованої величини поступлень показано на рис 4.1.

Рис. 4.1. Графік обсягів доходів АТП від внутрішньоміських пасажироперевезень.

Відображені на рисунку дані – доходи АТП від внутріміських пасажироперевезень за період 2004-2005 рр. Зелена лінія відображає реальні значення поступлень. Синя лінія – згладжена величина (регуляризований тренд), отримана з допомогою розробленого алгоритму регуляризованого згладжування. Червона лінія являє собою відхилення тренду модельованої величини.

Рис. 4.4. Графік моделі тренду величини доходів від внутрішньго-міських пасажироперевезень.

На рисунку 4.2 відображено графік моделі тренду величини доходів від внутріміських пасажироперевезень. Для моделювання даної величини, на основі попереднього аналізу даних, було застосовано нелінійну динамічну макромодель ((4.6)-(4.8)), загальна концепція якої описана у пункті 4.4. Зелена лінія на рисунку відображає реальні значення поступлень від внутріміських перевезень. Синя лінія – модель тренду, отримана з допомогою макромоделювання. Червона лінія – відхилення тренду.

Потім, на основі попередньо відомих даних про отримані доходи від внутріміських пасажироперевезень, та при використанні змодельованого за допомогою методу динамічного макромоделювання тренду даної величини, було отримано прогноз тренду на 200 днів, за моделлю, записаною у формі рівнянь (4.6), (4.8). Графік прогнозу тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень показано на рис.4.3.

Рис. 4.5 – Прогноз тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень. Реальні дані за 731 день, прогноз на 200 днів в прикінцевій частині графіка.

Тепер проаналізуємо та змоделюємо залишкову швидкозмінну складову η₁(t) для величини доходів від внутріміських пасажироперевезень. Графік цієї величини показано на рис.4.4.

Рис. 4.6 – Відхилення тренду для доходів від внутріміських пасажироперевезень.

Для того, щоби вибрати адекватний метод моделювання швидкозмінної складової η₁(t) для величини доходів від внутріміських пасажироперевезень, необхідно, перш за все, встановити, чи наявні в даних характерні швидкі зміни є реалізацією стохастичного процесу, чи це вияв поведінки об’єкта, який підпадає під закономірності динамічного хаосу. І на цій основі зробити висновки про застосування того чи іншого математичного апарату. В теорії динамічних систем відомо декілька методів виявлення дрейфу у хаотичних атракторах.

Скористаємося для цього описаним у пункті 4.1 алгоритмом 4.3. Для реальних даних y₁(t_k) було проведено обмеження за алгоритмом 4.3. графічне зображення, отримане в результаті таких обчислень, зображено на рис.4.5.

Рис. 4.7 – Графічний тест Гілмора для відхилення тренду для доходів від внутріміських пасажироперевезень.

На отриманому зображенні чітко видно три області скупчення точок. Це вказує на наявність хаотичного коливного процесу. Тому слід зробити висновок, що для прогнозування випадкової складової доходів від внутріміських пасажироперевезень придатні методи динамічного хаосу. Проаналізуємо паралельно також графік, що відображає закон розподілу відхилення тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень (рис.4.6).

Рис. 4.6 – Закон розподілу відхилення тренду для внутріміських перевезень.

Як видно з рисунка, для відхилення тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень, закон розподілу є полімодальним, тобто тут характерна наявність не одного максимуму вищевказаної величини, а декількох. При чому причина виникнення декількох максимумів не встановлена, її визначення виходить за межі вирішуваної задачі і не впливає на результат моделювання, а лише підтверджує висновок про приналежність модельованої величини до систем з детермінованим хаосом. Це наводить на висновки, що модельована величина не належить до категорії випадкових величин, а отже для її моделювання будуть придатні методи теорії динамічного хаосу. В результаті використання цих методів отримано прогноз для відхилення тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень, графічне зображення якого представлено на рис. 4.7, а також у збільшеному масштабі (рис. П.4).

Рис. 4.7 – Прогноз відхилення тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень. Прогноз на 200 днів в прикінцевій частині графіка.

Прогноз отримано методом теорії динамічного хаосу, з використанням алгоритму 4.6, описаного у попередньому розділі.

Результати обчислювальних експериментів, виконаних за розробленим алгоритмом вирахування величини поступлень, показують, що застосування методів прогнозного моделювання динамічних хаотичних процесів з характерними циклічними повтореннями рухів, які в них відбувається, доцільно виконувати за методом виявлення схожих фрагментів траєкторій з подальшою екстраполяцією їх усереднення.

З допомогою цього методу отримано якісний прогноз відхилення тренду доходів від внутріміських пасажироперевезень тривалістю 200 днів.

Тепер, коли вже отримано прогноз тренду та залишкової швидкозмінної складової η₁(t) для доходів від внутріміських пасажироперевезень, знайдемо загальні прогнозні результати моделювання як просту адитивну величину, вирахувану для дохідності пасажироперевезень від внутріміських перевезень.

Результуючий сумарний прогноз зображено на рисунку 4.8. Результуючий прогноз – сума прогнозу тренду, вирахуваного з допомогою макромоделі, і прогнозу відхилення тренду, вирахуваного методом теорії динамічного хаосу.

Рис. 4.8 – Результуючий прогноз дохідності АТП від внутріміських пасажироперевезень.

Тепер перейдемо до прогнозування дохідності АТП від приміських пасажироперевезень.

Спершу для величини доходів від приміських пасажироперевезень y₂(t) було виділено тренд згідно алгоритму 4.5 та залишкову швидкозмінну складову η₂(t).

Для виділення тренду застосовано оригінальний алгоритм регуляризованого усереднення з допомогою ковзних апроксимаційних поліномів.

Графік змодельованої величини поступлень показано на рис 4.9. Графік тренду.

Рис. 4.9. Графік доходів від приміських перевезень.

Відображені на рисунку дані – доходи АТП від приміських пасажироперевезень за період 2004-2005 рр. Зелена лінія відображає реальні значення поступлень. Синя лінія – згладжена величина (регуляризований тренд), отримана з допомогою розробленого алгоритму регуляризованого згладжування. Червона лінія являє собою відхилення тренду модельованої величини.

Для моделювання тренду даної величини, на основі попереднього аналізу даних, було застосовано нелінійну динамічну макромодель.

На основі попередньо відомих даних про отримані доходи від приміських пасажироперевезень, та при використанні змодельованого за допомогою методу динамічного макромоделювання тренду даної величини, було отримано прогноз тренду на 250 днів, за моделлю, записаною у формі рівнянь (4.6), (4.8). Графік прогнозу тренду доходів від приміських пасажироперевезень показано на рис.4.10.

Рис. 4.10 – Прогноз тренду для величини доходів від приміських пасажироперевезень на 250 днів. Реальні дані за 731 день, прогноз на 250 днів в прикінцевій частині графіка.

Тепер проаналізуємо та змоделюємо залишкову швидкозмінну складову η₂(t) для величини доходів від приміських пасажироперевезень. Графік цієї величини показано на рис.4.9 червоним кольором.

Для того, щоби вибрати адекватний метод моделювання швидкозмінної складової η₂(t) для величини доходів від приміських пасажироперевезень, необхідно, перш за все, встановити, чи наявні в даних характерні швидкі зміни є реалізацією стохастичного процесу, чи це вияв поведінки об’єкта, який підпадає під закономірності динамічного хаосу. І на цій основі зробити висновки про застосування того чи іншого математичного апарату. В теорії динамічних систем відомо декілька методів виявлення дрейфу у хаотичних атракторах. Скористаємося для цього описаним у пункті 4.1 алгоритмом 4.3. Для реальних даних y₂(t_k) було проведено обмеження за алгоритмом 4.3. графічне зображення, отримане в результаті таких обчислень, зображено на рис.4.11.

Рис. 4.11 – Тест Гілмора для відхилення тренду доходів від приміських пасажироперевезень.

На отриманому зображенні (рис.4.11) чітко видно області скупчення точок. Це вказує на наявність хаотичного коливного процесу.

Тому слід зробити висновок, що для прогнозування випадкової складової доходів від приміських пасажироперевезень придатні методи динамічного хаосу.

Проаналізуємо паралельно також графік, що відображає закон розподілу відхилення тренду доходів від приміських пасажироперевезень (рис. 4.12).

Рис. 4.12 – Закон розподілу відхилення тренду для доходів від приміських пасажироперевезень.

Як видно з рисунка, для відхилення тренду доходів від приміських пасажироперевезень, закон розподілу є бімодальним, тобто тут характерна наявність двох максимумів вищевказаної величини. При чому причина виникнення цих максимумів не встановлена, її визначення виходить за межі вирішуваної задачі і не впливає на результат моделювання, а лише підтверджує висновок про приналежність модельованої величини до систем з детермінованим хаосом. Це наводить на висновки, що модельована величина не належить до категорії випадкових величин, а отже для її моделювання будуть придатні методи теорії динамічного хаосу. В результаті використання цих методів отримано прогноз для відхилення тренду доходів від приміських пасажироперевезень, графічне зображення якого представлено на рис.4.13, та у збільшеному масштабі.

Рис. 4.13 – Прогноз відхилення тренду доходів від приміських пасажироперевезень. Прогноз на 250 днів в прикінцевій частині графіка.

Прогноз отримано методом теорії динамічного хаосу з використанням алгоритму 4.6, описаним у попередньому розділі. Результати обчислювальних експериментів, виконаних за розробленим алгоритмом вирахування величини поступлень, показують, що застосування методів прогнозного моделювання динамічних хаотичних процесів з характерними циклічними повтореннями рухів, які в них відбувається, доцільно виконувати за методом виявлення схожих фрагментів траєкторій з подальшою екстраполяцією їх усереднення. З допомогою цього методу отримано якісний прогноз відхилення тренду доходів від приміських пасажироперевезень тривалістю 250 днів.

Тепер, коли вже отримано прогноз тренду та залишкової швидкозмінної складової η₂(t) для доходів від приміських пасажироперевезень, знайдемо загальні прогнозні результати моделювання як просту адитивну величину, вирахувану для дохідності пасажироперевезень від приміських перевезень.

Результуючий сумарний прогноз зображено на рисунку 4.14. Результуючий прогноз – сума прогнозу тренду, вирахуваного з допомогою макромоделі, і прогнозу відхилення тренду, вирахуваного методом теорії динамічного хаосу.

Рис. 4.14 – Прогноз тренду і сумарної величини дохідності приміських пасажироперевезень.

Прогнозування дохідності АТП від міжміських пасажироперевезень.

Спершу для величини доходів від міжміських пасажироперевезень y3(t) було виділено тренд згідно алгоритму 4.5 та залишкову швидкозмінну складову η3(t). Для виділення тренду застосовано оригінальний алгоритм регуляризованого усереднення з допомогою ковзних апроксимаційних поліномів.

Графік змодельованої величини поступлень показано на рис 4.15.

Рис. 4.15. Графік доходів від міжміських пасажироперевезень.

Відображені на рисунку дані – доходи АТП від міжміських пасажироперевезень за період 2004-2005 рр.

Зелена лінія відображає реальні значення поступлень. Синя лінія – згладжена величина (регуляризований тренд), отримана з допомогою розробленого алгоритму регуляризованого згладжування. Червона лінія являє собою відхилення тренду модельованої величини.

Для моделювання тренду даної величини, на основі попереднього аналізу даних, було застосовано нелінійну динамічну макромодель ((4.6)-(4.8)), загальна концепція якої описана у пункті 4.2.

Рис. 4.16 – Прогноз тренду величини доходів від міжміських пасажироперевезень на 200 днів. Реальні дані за 731 день, прогноз на 200 днів в прикінцевій частині графіка.

На основі попередньо відомих даних про отримані доходи від міжміських пасажироперевезень, та при використанні змодельованого за допомогою методу динамічного макромоделювання тренду даної величини, було отримано прогноз тренду на 200 днів, за моделлю, записаною у формі рівнянь (4.6), (4.8). Графік прогнозу тренду доходів від міжміських пасажироперевезень показано на рис.4.16.

Тепер проаналізуємо та змоделюємо залишкову швидкозмінну складову η₃(t) для величини доходів від міжміських пасажироперевезень. Графік цієї величини показано на рис.4.15 червоним кольором.

Для того, щоби вибрати адекватний метод моделювання швидкозмінної складової η₃(t) для величини доходів від міжміських пасажироперевезень, необхідно, перш за все, встановити, чи наявні в даних характерні швидкі зміни є реалізацією стохастичного процесу, чи це вияв поведінки об’єкта, який підпадає під закономірності динамічного хаосу. І на цій основі зробити висновки про застосування того чи іншого математичного апарату. Скористаємося для цього описаним у пункті 4.1 алгоритмом 4.4. Для реальних даних y₃(t_k) було проведено обмеження за алгоритмом 4.3. графічне зображення, отримане в результаті таких обчислень, зображено на рис.4.17.

Рис. 4.17 – Графічний тест Гілмора для залишку тренду величини доходів від міжміських пасажироперевезень.

На отриманому зображенні відсутні чітко визначені області скупчення точок, точки на графіку рівномірно розподілені і утворюють одну площину. Це вказує на відсутність хаотичного коливного процесу. Тому слід зробити висновок, що для прогнозування випадкової складової доходів від міжміських пасажироперевезень непридатні методи динамічного хаосу. Видно, що області перекриваються, отже залишок тренду є випадковою величиною, її необхідно моделювати з допомогою імітаційного відтворення стохастичної величини.

Проаналізуємо паралельно також графік, що відображає закон розподілу відхилення тренду доходів від міжміських пасажироперевезень (рис. 4.18)

Рис. 4.18 – Розподіл відхилення тренду для доходів від міжміських пасажироперевезень.

Як видно з рисунка, для відхилення тренду доходів від міжміських пасажироперевезень, характерна наявність одного максимуму вищевказаної величини. Це наводить на висновки, що модельована величина має сенс стохастичної, отже для прогнозування залишку тренду доцільно вибрати методи імітаційного моделювання.

В результаті використання цих методів отримано прогноз для відхилення тренду доходів від міжміських пасажироперевезень, графічне зображення якого представлено на рис. 4.19,а також у збільшеному масштабі (рис. Т.2).

Рис. 4.19 – Прогноз відхилення тренду доходів від міжміських пасажироперевезень.

Прогноз відхилення тренду отримано з допомогою методів імітаційного моделювання випадкових величин із застосуванням алгоритму 4.7, що описаний у попередньому розділі.

Тепер, коли вже отримано прогноз тренду та залишкової швидкозмінної складової η3(t) для доходів від міжміських пасажироперевезень, знайдемо загальні прогнозні результати моделювання як просту адитивну величину, вирахувану для дохідності пасажироперевезень від міжміських перевезень.

Результуючий сумарний прогноз зображено на рисунку 4.20. Результуючий прогноз – сума прогнозу тренду, вирахуваного з допомогою макромоделі, і прогнозу відхилення тренду, вирахуваного методом імітаційного моделювання випадкових величин.

Рис. 4.20 – Прогноз тренду і сумарний прогноз доходів від міжміських пасажироперевезень.

Тепер, коли вже отримано сумарні прогнози трендів та залишкових швидкозмінних складових по кожному з видів пасажироперевезень, необхідно знайти загальний прогноз дохідності автотранспортного підприємства від пасажироперевезень +η_i(t), де , η_i(t) – відповідно прогнозні значення для тренду й залишкової складової, по кожній із статей доходів від пасажироперевезень, відповідно до розробленої схеми 4.10.

Загальні прогнозні результати моделювання знайдемо як просту адитивну величину, вирахувану для окремих складових модельованої величини дохідності пасажироперевезень.

Графічні результати – загальний прогноз дохідності автотранспортного підприємства від пасажироперевезень, отримані за допомогою системи Matlab, відображені на рис. 4.21-4.23.

Рис. 4.21 – Загальний прогноз тренду дохідності автотранспортного підприємства від пасажироперевезень.

На даному рисунку синя лінія відображає прогноз тренду по внутріміських пасажироперевезеннях; зелена – прогноз тренду по приміських пасажироперевезеннях; червона - прогноз тренду по міжміських пасажироперевезеннях, кожен з яких отриманий за допомогою макромоделювання; блакитна лінія відображає загальний прогноз тренду доходів від пасажироперевезень.

На рис.4.22 відображено сумарний прогноз тренду.

Рис. 4.22 – Результуючий прогноз тренду дохідності автотранспортного підприємства від пасажироперевезень.

Рис. 4.23 – Результуючий прогноз суми трендів і адитивних залишків тренду

На даному рисунку зображено результуючий графік даної роботи, тобто результат прогнозного моделювання – кінцевий сумарний прогноз трендів і залишкових складових по всіх видах пасажироперевезень. Синім кольором на графіку позначено сумарний прогноз трендів дохідності пасажироперевезень, зеленим кольором відображено кінцевий прогноз дохідності автотранспортного підприємства від пасажироперевезень.

В остаточному результаті для практичного розв’язання поставленої задачі – прогнозного визначення дохідності послуг пасажироперевезення використано алгоритм, в якому спершу запропоновано декомпозиційний підхід. Згідно даного підходу сумарну величину доходів підприємства від пасажироперевезень з метою прогнозного моделювання розділено на окремі статті доходів відповідно до виду, з котрих, в свою чергу виділено регулярну та залишкову швидкозмінну складову.