18. Прогнозування надходження пенсійних коштів

Співавтор: Сивоус Ольга Федорівна

Розроблено ментод прогнозування дохідної чпстини бюджету пенсійного фонду. Для ортиання довготривалих прогнозів застосовано методи макромоделювання.

Поставлено задачу розробити методику періодичних обчислень показників бюджету, відповідно до потреб календарного графіку фінансових перерахунків пенсійних виплат. Така математична задача доповнена двома інформаційними задачами. Перед виконанням обчислень необхідно зібрати дані, необхідні для побудови прогнозу. Після закінчень обчислень – перетворити прогнозні дані до форми, що відповідає потребам системи календарного планування.

Розв’язання задачі полягає в обчисленні прогнозних екстраполяційних групи величин і отримання річного прогнозного бюджету на основі спеціально розроблених математичних методів і обчислювальних алгоритмів

В [⁴⁵] запропоновано метод прогнозування з допомогою методу макромоделювання.

Нехай задано залежність деякої величини від часу у формі дискретної послідовності:

, (18.1)

де – кількість вузлів спостереження. Таку залежність відображає [⁴⁶] макромодель зі структурою, заданою низкою звичайних диференційних рівнянь [⁴⁷]:

(18.2)

де – моделююча величина.

Параметрична ідентифікація структури (18.2) зводиться до обчислення похідних дискретної залежності (18.1):

(18.3)

та розв’язку лінійної задачі мінімізації відносно вектора коефіцієнтів апроксимації :

. (18.4)

Проте, задача (18.4) суттєво некоректна в сенсі Адамара. Замість неї взято оптимізаційну задачу, записану з допомогою регуляризаційного функціоналу Тіхонова [⁴⁸]:

, (18.5)

де – параметр регуляризації, який необхідно підібрати експериментально. Все ж, значення параметрів , знайдені з рівняння (18.5) не завжди дають бажану якість моделі (18.2). Тому поряд з регуляризацією ідентифікаційної задачі з допомогою функціоналу Тіхонова (18.5) розроблено і застосовано метод регуляризації задачі (18.5), який полягає у виявленні та видаленні «зайвих» доданків з багатовимірного степеневого полінома. Для цього у задану множину значень залежності (18.3) вносилися малі збурення, двічі розв’язувалася задача (2) при незбурених й збурених значеннях, і видалявся той елемент вектора коефіцієнтів , що отримав при збуренні найбільше відносне відхилення:

, (18.6)

де – розв’язки збуреної задачі (18.2), – кількість параметрів. Кращих результатів досягнуто при внесенні в значення випадкових рівномірно розподілених збурень.

Описаний вище метод придатний для отримання довготривалих екстраполяційних прогнозних даних, для розрізнених часових залежностей.

Проте, для поставленої задачі необхідно виконати екстраполяцію не однієї, а декількох величин – різних статей доходів бюджету, які між собою пов’язані алгебричним співвідношенням. Метод такого прогнозування викладений в наступному пункті.

Нехай, з допомогою процедури довготермінового прогнозування, в основі якої покладено методи динамічного макромоделювання, отримано прогнозні дані для окремих величин, що входять в дохідні статті бюджету. Список цих статей наведено в таблиці 18. 1.

Необхідно розробити алгоритм прогнозного формування дохідної частини бюджету, який враховує як прогнозні значення окремих залежностей, так прогнозні значення алгебричних співвідношення між ними.

Таблиця 18.1. Статті бюджету, для яких отримано окремі прогнозні значення для наступного року.

№ п/п Назва статей

1 Обов’язкові внески підприємств, установ і організацій ( з урахуванням внесків працюючих громадян – 2% )

2 Обов’язкові внески громадян, які працюють на сільськогосподарських підприємствах ( 1-2 % )

3 Надходження коштів за спрощеною системою

4 Інші надходження

5 Кошти банків за використання тимчасово вільними коштами Пенсійного фонду

6 Кошти за впровадження фіксованого сільськогосподарського податку

7 Надходження коштів на виплату різниці у пенсійному забезпеченні осіб льотних екіпажів та працівників льотно-випробного складу і наукових працівників, що відшкодовується у бюджетних підприємств та установ

8 Надходження коштів на виплату пенсій іноземним пенсіонерам, які проживають на території України

9 Кошти з місцевих бюджетів від сплати фіксованого податку громадянами-підприємцями

10 Кошти з місцевих бюджетів від сплати спеціального торгового патенту

11 Кошти від сплати суб’єктами підприємницької діяльності єдиного податку

12 Сплата страхового збору платниками, які перейшли на спрощену систему оподаткування

13 Пільгові пенсії

14 Фінансові санкції

Позначимо величини доходів за окремими статтями бюджету (див. табл. 18.1) протягом року величинами

x_i, i = 1,...,n, (18.7)

де xі – кількість коштів, що поступає протягом року за і-тою статтею бюджету Пенсійного фонду, n – кількість врахованих дохідних статей.

В таблиці 18.1 відображено 14 статей, за якими отримують кошти установи Пенсійних фондів. Всім дохідним статтям x_i, i = 1,...,n відповідає сумарна величина доходу. Прогнозуючи її, зводимо поставлену задачу до крайнього випадку, при якому ділення джерел доходу знижено до одної величини.

Статті дохідної частини бюджету можуть бути вільно згруповані в сумарні величини, які також мають економічний зміст, і така операція зменшує кількість величин, взятих до прогнозування.

Обидва крайні випадки – врахування всіх статей бюджету і зведення їх всіх до однієї суми не відповідає оптимальній постановці задачі прогнозування. Заміна всіх показників одним – загальною сумою надходжень, хоч і спрощує обчислення, проте суб’єктивно занижує очікувану точність прогнозу. Крім того, при такому підході постає задача визначення окремих статей бюджету за відомою величиною дохідної частини, методи якої невідомі. Окреме прогнозування всіх статей бюджету сильно збільшує обсяги обчислень.

Тому припускається, що вибір деякої проміжної кількості показників – окремих статей збору, для яких будуються екстраполяційні прогнози дасть оптимальний з точки зору похибки прогнозування та запобігання інформацій надмірності отриманих прогнозних даних.

Тому подальшому для обчислень прогнозних значень дохідної частини бюджету будуть братися до уваги n=14 показників, список яких поданий в таблиці 18.1, які також належать до основних пунктів календарного фінансового прогнозування в установі ПФУ.

Річні доходи x_i, i=1,…,n відображені як загальною сумою, що має сенс кількості отриманих протягом року коштів (гривень / рік). Для календарного планування потрібні місячні значення цих величин, тобто потрібно обчисляти для кожної статті доходу, i=1,...,n, 12 значень, що відповідають місячним поступленням:

x_ij, i = 1,...,n; j = 1,…,12. (18.8)

У векторній формі запису:

x_i = (x_i1,….,x_i12 ), (18.9)

де вектор x_i містить 12 елементів – величин поступлень за і-тою статтею в окремий місяць прогнозованого року. Тобто, вектор (18.9) відображає прогнозну залежність надходжень за окремими статтями від часу:

x_i=x_i( t_j ), j = 1,…,12; i = 1,…,n. (18.10)

Всі прогнозовані залежності x(t) задані на одній і ті ж дискретні множині значень аргументів (t₁,…,t₁₂ ), що відповідають номерам місяців. Їх сума відображає очікуване прогнозне значення надходжень за всіма статтями:

xz (t)= x₁(t) +… + x_n(t). (18.11)

Сумарна величина надходжень xz(t) також обчислюється з допомогою методу екстраполяції. Два прогнози, вирахувані з допомогою екстраполяції окремих статей і екстраполяції їх суми не співпадатимуть між собою внаслідок похибок апроксимації.

Тобто, сумарна величина доходів, відображена в графі «разом» розділу бюджету обчисляється як через її безпосереднє прогнозування, так і через суму прогнозних значень, отриманих для окремих доданків, що складають цю величину, так .

Постає обчислювальна й методологічна проблема – як вираховувати задану величину доходів, – через суму окремих прогнозних значень доданків, чи безпосередньо, екстраполюючи її за відомими минулими сумарними значеннями.

Оскільки прогнозні дані містять помилки, неточності, які неможливо оцінити в момент побудови прогнозу, для вирішення задачі доцільно вирахувати два прогнози, – для суми x(t) і для окремих доданків xz(t).

Проте, зіставляючи прогноз суми поступлень x(t), з сумою прогнозів поступлень за окремими статтями xz(t) необхідно добитися, щоб в обох пронозах була співмірна невідома похибка прогнозування.

Прогноз x(t) містить похибки однієї екстраполяційної задачі. Прогноз xz(t) містить похибки n таких задач. Тому для зіставлення цих прогнозів немає підстав.

Надходження за окремими статтями відображають їх абсолютні значення x_i(t), i=1,…,n, або відносні значення, що вказують, яка частка окремої статті в загальній сумі:

z_i(t)=x_i(t)/x(t), (18.12)

де x_i(t) – величина i-тої статті бюджету; x(t) – сума всіх бюджетних статей.

Тому прогноз окремих статей та їхньої суми може бути вирахуваний двома способами – через абсолютні значення статей та через їх відносні значення. Похибки цих двох способів мають бути близькі між собою, адже в обох екстраполяційних задачах вираховується рівна кількість прогнозів. Тому до них можна застосувати процедуру усереднення.

Якщо в першому випадку взяти за незалежні одну групу елементів, а в другому – іншу, тоді отримаємо два прогнози, які ідентичні сенсі невизначеності похибки прогнозування. Розбіжність між цими прогнозами лежить в межах цієї похибки, тому їхнє усереднення також не має виходити за її межі.

На такому припущенні ґрунтується метод прогнозування векторної величини з допомогою екстраполяції її окремих елементів.

Розглянемо задачу прогнозування скалярних величин x_i(t), i=1,…,m та їхньої суми s(t)=x₁(t)+…+x_n(t), відомих на (t₁, tm). Нехай із задачі прогнозування встановлено абсолютні значення прогнозних величини,

s(t_k), x1(t_k), …, x_n(t_k)), k=m+1,...,M, (18.13)

та їхні відносні значення z(t)=x_i(t)/s(t), вирахувані екстраполяцією відповідних співвідношень:

z₁(t_k), …, z_n(t_k), k=m+1,...,M. (18.14)

Суми s₁ та s₂, вирахуваних відповідно за абсолютними і відносним значеннями:

, (18.15)

, (18.16)

не співпадають внаслідок похибок прогнозування. Проте їхнє середньоарифметичне зберігає ту ж величину невизначеності, що й його доданки. Вирахувавши за ним абсолютні значення x_i(t)

x_i(t_k)= z_i(t_k)(s₁(t_k)+s₂(t_k))/2; i=1,…,n; k=m+1,…, M, (18.17)

знаходимо за ними прогнозну суму:

, k=m+1,…, M, (18.18)

Формули (18.17), (18.18) відображають як величини x_i(t), так й співвідношення між ними z_i(t).

Стислий опис алгоритму вирахування статей бюджету викладено в наступному алгоритмі.

Алгоритм 18.1. Прогнозне вирахування дохідних статей бюджету.

1. Отримати реальні абсолютні значення поступлень (18.13).

2. Вирахувати реальні значення часток доходів у загальному доході (18.14).

3. Вирахувати за (18.15), (18.16) прогнозні значення суми доходів.

4. Вирахування за (18.17 ) прогнозні значення постатейних доходів.

5. Вирахувати за (18.18) суму поступлень.

Алгоритм 18.1 дозволяє отримати прогнозні значення показників бюджету та її суми. Перед його виконанням необхідно підготовити 2n екстраполяцій окремих скалярних величин.

Вище описано алгоритм розрахунку прогнозу для групи взаємопов’язаних статей бюджету – окремого бюджетного розділу. Початкові дані, необхідні для виконання цих обчислень, зберігаються в базах даних інформаційної системи управління ПФУ.

Формуючи прогнозний бюджет, важливо використати всю наявну корисну інформацію про майбутній розвиток Пенсійного фонду, економічного середовища, в якому він функціонує. Якщо експертам відома інформація про майбутню зміну деяких статей поступлень x_i(t), тоді доцільно, опираючись на цю інформацію, вилучити величину з x_i(t) алгоритму вирахування групи взаємопов’язаних показників.

Тому, розробляючи план-прогноз, доцільно поєднувати екстраполяційні методи оцінки окремих статей з визначенням інших статей на основі наявних достовірних даних.

Для того, щоб вирахувати прихідну частину бюджету за даними платників збору, які вважаються достовірними, достатньо замість n показників (див. табл. 18.1), використати в алгоритмі 18.1 частину з них n₁, решту n₂ = n – n₁ показників вирахувати за даними, поданими платниками пенсійного збору (табл. 18.2).

Таблиця 18.2. Список прихідних статей бюджету Пенсійного фонду, які вираховуються за даними платників пенсійного збору

№ п/п Назва збору

1 Фонд оплати праці від фонду оплати праці

2 Організації, установи, підприємств, які сплачують збір на загальних підставах

3 Громадські організації пенсіонерів та інвалідів

4 Громадяни – підприємці, а також адвокати, їх помічники, приватні нотаріуси, діяльність яких заснована на приватній власності та виключно їхній праці

5 Працюючі громадяни

6 Сільськогосподарські підприємства

7 Фонд оплати праці за даними Мінекономіки

Вирахування частини плану-прогнозу бюджету за даними платників пенсійного збору, скорочує обсяги обчислень, адже зменшується кількість екстрапольованих показників, підвищується достовірність прогнозу.

Прогнози, отримані за даними платників пенсійного збору і з даними управління ПФУ відрізняються між собою. Перший прогноз в більшій мірі відображає суб’єктивні наміри платників щодо планування своєї роботи в майбутньому. Другий прогноз ґрунтується на припущенні, що в майбутньому залишаться незмінними ті тенденції розвитку, які тривали в минулому. Тому під час формування плану-прогнозу бюджету необхідно враховувати обидва прогнози, застосовуючи при цьому методи експертного аналізу.

Початкові дані задачі прогнозування містяться в інформаційній системі управління ПФУ у вигляді даних про щоденні поступлення.

Приймаючи ці дані, алгоритм прогнозного уточнення прихідної частини бюджету спершу вираховує екстраполяції для їхніх абсолютних й відносних значень, потім знаходить усереднення, яке приймається за шуканий прогноз групи показників.

Екстраполяцію виконано з допомогою програмного забезпечення динамічної макромоделі, або з допомогою поліноміальної апроксимації.

Результат прогнозування, згідно діючих технологій уточнення бюджету, необхідно вивести в текстовий файл з метою подальшого використання в роботі ПФУ.

Огляд задач, які необхідно розв’язати, з допомогою проектованого програмного забезпечення показує, що до його роботи потрібні мінімальні функції щодо вводу-виводу та достатньо розвинуті засоби роботи з обчислювальними алгоритмами.

Для приблизної оцінки тенденцій розвитку відповідних економічних процесів доцільного застосувати лінійну екстраполяцію.

Для точного обчислення прогнозних значень необхідно брати прогнозні дані з результатів роботи програми довго термінованого прогнозування.

Для коротко термінованого прогнозування – на один наступний місяць та на 2-3 останні місяці року, на квартал доцільно використовувати поліноміальну квартальну екстраполяцію.

Розроблене програмне забезпечення прогнозування групи величини дозволяє ефективно розрахувати прогнозні значення дохідної частини бюджету. Завдяки включенню в нього різних алгоритмів апроксимації, запропонована програма дає різні варіанти обчислення прогнозу, що надає додаткової зручності у використанні запропонованого методу.

Рис. 3.1. Схема взаємодії програмного забезпечення моделі з системою автоматизації управління ПФУ та зовнішньою програмою екстраполяції скалярних залежностей.

Запропонований спосіб вирахування прогнозних значень показників бюджету дозволяє, гнучко оперуючи наявними даними, швидко отримувати прогнозні оцінки для оперативного планування, визначати довготривалі прогнози, необхідні для організації роботи установи ПФУ.

З допомогою програмного забезпечення, розробленого за алгоритмом вирахування групи взаємопов’язаних показників бюджету було виконано обчислення величини надходжень в районному управління ПФУ. Вихідні дані для обчислень було взято зі звітності за 2000-2003 р.. В результаті обчислень встановлено прогнозні значення величин, що входять в дохідну частину бюджету Управління. Прогноз обчислено на 12 місяців 2004 року.

Вирахування пробного плану-бюджету виконано двома методами – з допомогою лінійної екстраполяції, та з використанням програми динамічного макромоделювання. Графіки прогнозної величини суми поступлень вираховують з допомогою лінійної екстраполяції показані на рисунку 3.2.

Рис. 3.2. Залежність сумарної величини поступлень від часу та її лінійна екстраполяція для даних за 2000-2001 рр.

Графіки прогнозної величини сумарних поступлень в бюджет, вирахуваної з допомогою динамічної макромоделі, показана на рисунку 3.4.

Рис. 3.3. Прогнозне значення суми поступлень, вирахуване з допомогою динамічної макромоделі за даними за 2003 рік.

Прогнозне значення дохідної частини бюджету ПФУ були застосовані на час роботи Стрийського ПФУ при підготовці плану-прогнозу бюджету на 2004 рік

Для уточнення плану-прогнозу були виконані експерименти з лінійною екстраполяцією на 1 місяць.

Результати порівняння цих екстраполяцій (рис. 3.2, 3.3) показують, що обидва методи придатні для окремих задач. Лінійна екстраполяція дозволяє виявити тенденцію розвитку. Нелінійна екстраполяція дає значно точніше наближення прогнозу.

Обчислення прогнозних значень дохідної частини бюджету доцільно виконувати для планування місячному, квартальному, та піврічного бюджетів, а також для щомісячного уточнення бюджету.