2.5. Определение перемещений узла рамы

Для определения перемещения какого-либо сечения или узла заданной рамы необходимо:

-выбрать любую основную систему, приложить к сечению или узлу соответствующее единичное воздействие (F=1 или М=1) и построить эпюру моментов от этого воздействия;

-сделать сопряжение этой эпюры с ранее построенной окончательной эпюрой моментов.

Найдем вертикальное перемещение и угол поворота узла «2» рамы. Эпюры моментов, построенные в основной системе от указанных единичных воздействий, приведены на рис.9. Сопрягая эпюру с окончательной эпюрой моментов (рис.5,г), получим

Результат соответствует симметричному загружению рамы заданной нагрузкой, то есть поворота узла, находящегося на оси симметрии, не происходит. Определим вертикальное перемещение того же узла

Рис. 9

3. Построение линий влияния внутренних сил

3.1. Вычисление элементов матриц грузовых перемещений

Каждый элемент матриц и канонических уравнений (1.5) и (1.6) физически представляют собой перемещение по направлению i-го неизвестного от воздействия силы при ее расположении в любом из заданных сечений «к» верхнего ригеля рамы. Эпюра моментов , построенная в основной системе для случая произвольного положения силы в пролете, показана на рис.10,а.

Используя группировки силы на симметричное и кососимметричное парные воздействия (рис.10,б,в) построим две грузовые эпюры моментов и , сумма ординат которых соответствует исходному воздействию. Вычислять перемещения с помощью этих эпюр значительно проще, так как первая дает отличный от нуля результат только при сопряжении с соответствующими эпюрами от симметричных неизвестных, а вторая – с эпюрами от кососимметричных неизвестных.

Сопрягая эпюру с эпюрой (симметричные относительно вертикальной оси участки этих эпюр показаны на рис.11,а), получим аналитическое выражение для элементов вектора

После соответствующих преобразований получим

(3.1)

Аналогично, сопрягая эпюры и , запишем

или (3.2)

Для сопряжения грузовой эпюры по правилу Верещагина с единичными эпюрами и , предварительно найдем положение центра тяжести треугольника (рис.11,б), который соответствует левой (относительно оси симметрии) части грузовой эпюры моментов.

Тогда ординаты на эпюрах и под центром тяжести грузовой эпюры моментов:

, .

Рис. 11

Перемножение, указанных выше эпюр приводит к следующим результатам:

или

; (3.3)

или

. (3.4)

Полученные аналитические выражения (3.1) и (3.4) позволяют вычислять элементы матриц и при изменении положения силы F=1 в следующих пределах: , т.е. до оси симметрии рамы.

3.2. Построение линий влияния неизвестных

Аналитические выражения для вычисления ординат линий влияния симметричных неизвестных получим, раскрывая следующие матричные записи решения систем канонических уравнений (1.5) и (1.6):

; (3.5)

; (3.6)

Подставив обратную матрицу (1.9) и вектор в виде зависимостей (3.1) и (3.2), можем записать

Перемножая элементы столбца матрицы на численные значения элементов первой строки матрицы с учетом постоянного коэффициента перед ней, получим (после сложения результатов и алгебраических преобразований) уравнение линии влияния

. (3.7)

Аналогично, путем перемножения того же столбца на элементы второй строки получим уравнение линии влияния

. (3.8)

Линии влияния симметричных неизвестных показаны рис.12,а,б. Ординаты линий влияния вычислены с шагом через один метр в сечениях ригеля с номерами от 0 до 6. С учетом симметрии ординаты этих линий влияния на правой части ригеля имеют те же значения, как по величине, так и по знаку.

Раскрывая матричную запись (3.6) подстановкой матрицы (1.10) и вектора в виде зависимостей (3.3) и (3.4), в общем виде, запишем:

.

Осуществив операции перемножения столбца на соответствующие строки матрицы , получим следующие уравнения линий влияния кососимметричных неизвестных:

; (3.9)

. (3.10)

Вид линий влияния кососимметричных неизвестных показан на рис.12,в,г. В сечениях ригеля рамы с номерами от 0’ до 5’ ординаты этих линий влияния имеют обратный знак.

Рис.12