3. Проблема метода в математике

Если исходить из того, что метод — это система регулятивных правил и принципов практической деятельности, выработанных субъектом на основе закономерностей изучаемого объекта, то в методах естественных наук и методах математики мы найдем нечто общее. Вместе с тем методы естественных наук в гораздо большей степени обусловлены материальными объектами, несут в себе черты реальной области исследования. Физика, биология, химия могут изучать один и тот же объект различными методами (как и математика), но они остаются в рамках одной естественно-научной дисциплины, ибо для них реальный объект, а не метод исследования составляет основную специфическую черту. Что же касается математики, то для нее применение того или иного своего метода решается не конкретной материальной природой предмета исследования, а исключительно его формальными, структурными свойствами, и прежде всего теми количественными отношениями и пространственными формами, которые определяют сущность предмета математики.

Специфика методов математики, по мнению В.А. Мейдера, приемы абстрагирования и идеализации в науке обусловили особое внимание математиков и философов к проблемам гносеологических оснований. Совсем непростым для них оказался вопрос о том, какие способы построения («конструирования») математических объектов допустимы. Оказалось, что важное значение для решения данного вопроса имеет уяснение сущности аксиоматического метода, который придает математике дедуктивный характер. Математика добровольно «соглашается» ограничить свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений. Она не требует в дальнейшем дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью. Поэтому везде (в физике, химии или других науках), где обнаруживается такой «механизм» познания, можно утверждать, что осуществляется аксиоматическое построение науки.

В статье «Содержательная истинность и формально-логическая доказуемость в математике» известный специалист в математической логике и философии математики С.А. Яновская (1896— 1966) писала, характеризуя особенности математического метода: «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении или не вытекающими из него. В последнем случае он должен уметь доказать (используя опять-таки то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кегель руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, то есть, строго соблюдая все правила игры».

Если рассматривать процесс развития аксиоматического метода от «Начал» Евклида, то можно выделить по меньшей мере три основных периода:

1) период содержательной аксиоматизации;

2) период полуформальной аксиоматизации и

3) период формальной (формализованной) аксиоматизации.

Исходя из этого можно говорить о содержательных, полуформальных и формализованных системах аксиом тех или иных теорий (причем, не только математических). Правда, формализованные системы аксиом имеют отношение к фундаменту математики (скажем, к математической логике, теории множеств, арифметике натуральных и действительных чисел и др.).

Принципы содержательной аксиоматики господствовали примерно до середины XIX в., полуформальной — в последней четверти XIX в., а датой рождения формализованного аксиоматического метода принято считать 1904 г., когда немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943) выдвинул основные принципы формализации математики в работе «Основания геометрии».

При построении той или иной теории на содержательной системе аксиом они (аксиомы) описывают свойства и отношения объектов лишь из одной области. Эти объекты получают прямое истолкование (определение) до задания списка аксиом рассматриваемой теории. Рассуждение строится на формальной логике Аристотеля.

Истоки этого метода приводят нас к древнегреческим математикам и философам: Пифагору, Зенону, Архиту, Евдоксу, Теэтету, Платону, Аристотелю и др. Наиболее совершенным построением этого периода были «Начала» Евклида в 13 книгах (точнее, главах), показавшие образец содержательно-аксиоматического метода построения теории не только в геометрии, но и определившие методологию всей математики и других наук на многие столетия вперед.

В фундаменте «Начал» лежат определения, постулаты и аксиомы, то есть те предложения, которые принимаются без доказательства, но на основе которых логически строится (и в которых в скрытой форме содержится) все содержание «Начал». Различие между постулатами и аксиомами состоит в том, что первые имеют конструктивный характер, относятся только к геометрически фигурам и задают алгоритмы их построения, а вторые — частично и к числам, связанным с геометрическими величинами (длина, величина угла, площадь, объем и т. д.).