Глава 1. Философия математики
Математические таблички
II тыс. До н.Э. Хранится в Британском музее, Лондон, Великобритания
Глава 1. Философия математики
Форма и место математики в системе теоретического знания
Предмет и отличительные особенности математики
Математика это особая наука, ее трудно отнести к одному из традиционно различаемых направлений в познании — к наукам естественным, гуманитарным или техническим. По словам В.А. Мейдера, ее можно отнести ко всем этим направлениям, ибо со всеми науками она находится в диалектическом единстве1.
Философия математики является восхитительной ветвью философии. Согласно Б. Расселу, «проблема, которую Кант положил в основу своей философии, а именно, "Как возможна чистая математика?", интересна и трудна, и любая философия, если она не полностью скептическая, должна найти какое-то ее решение»2.
В мировоззрении математика играет весьма существенную роль. Она формирует духовную культуру человека, взаимодействуя с философией, поэзией, музыкой, скульптурой. В ее огромном саду «каждый найдет букет себе по вкусу» (Д. Гильберт), ибо в самой математике эти элементы культуры непосредственно содержаться и тем самым стимулируют интерес ученых.
В системе культуры математика занимает важное и почетное место. Ее значимость в развитии наук и техники постоянно возрастает. Это обусловлено тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и усвоение, а во-вторых, развитие многих наук предполагает широкое использование аппарата и методов математики. Математизация той или иной науки, начиная со времен Пифагора, есть объективная закономерность ее развития. Да и сам термин «математика» восходит к греческому (матэма), что означает «познание, знание путем рассуждения, наука»3.
Пифагорейцы называли свои исследования «математа» и делили их на четыре части («квадривиум»): арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Древнегреческие философы считали, что в основаниях Вселенной и в самой деятельности человека лежат математические отношения. Не случайно Платон в «Государстве» писал, что правители, воины (стражи), философы, ремесленники, купцы и торговцы должны изучать квадривиум для усвоения «войскового строя», «для постижения сущности», для понимания законов Вселенной и «стройных созвучий». Знание геометрии, пояснял он, необходимо «при устройстве лагерей, при стягивании и развертывании войск», а также в разных других «военных построениях как во время сражения, так и в походах...».
Математика один из самых мощных и универсальных методов познания. Думается, что одно из самых точных высказываний, определяющих ее место в системе наук, принадлежит датскому физику Н. Бору (1885—1962): «Математика — это больше, чем наука, это — язык». В отличие от языка других наук над языком математики усилиями многих поколений ученых воздвигнуто достаточно стройное здание дедуктивных построений. Поэтому высказывание Бора можно дополнить: «Математика — это больше, чем язык, это язык с воздвигнутым над ним зданием дедуктивных построений».
Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается качественно-количественная определенность сторон реального мира, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. С созданием «машинной математики» объектом изучения науки стала общая теория языков, теория исчисления предметов произвольной природы.
Сущность математического мышления во многом определяется символизацией и действиями над символами по строгим правилам логики. Современная математика обладает довольно богатым символическим языком, представляющим собой своеобразную «стенографию абстрактной мысли» (Луи де Бройль). Зачатки этого языка можно связать с вавилонскими клинописными числами, с исследованиями древнегреческих ученых — Героном (ок. I в.) и К. Птолемеем (ок. 90 — ок. 160), в творчестве которых наметился поворот к вычислительной математике, расширению понятия числа, к отказу от геометрической алгебры. С особой силой эта тенденция проявилась у Диофанта Александрийского (ок. III в.), которого по праву считают основоположником буквенной алгебры. Свое введение к «Арифметике» он начинает с описания символики: задает символы для неизвестного и первых шести его степеней как положительных, так и отрицательных, а также знаки действия.
Таким образом, изменение характера математического творчества явилось одной из причин возникновения, развития и совершенствования символического (знакового) языка науки4. Со времен Диофанта он позволял компактно представить информацию о свойствах материальных и идеальных объектов, выразить соотношения между ними. Знаки взяли на себя важнейшие функции человеческого интеллекта — запоминание, вычисление, рассуждение. И если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный ее язык — это язык алгоритмов и программ. Он становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы.
По отношению к другим наукам язык математики, по мнению В.И. Мейдера, позволяет осуществить описание и систематизацию их эмпирических и теоретических данных, сформулировать и в знаковой форме выразить внутринаучные законы, построить математическую модель класса задач, осуществить ее (модели) решение, исследовать и сверить (по возможности) это решение с натурным экспериментом и т. п5.
Вместе с тем очень важно иметь в виду, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он, во-первых, является вторичным по отношению к тем природным системам и процессам, качественно-количественные характеристики которых отражаются этим языком; во-вторых, математический язык не порывает связей с многообразным «живым» (естественным) языком, выступающим исторически первым средством выражения и хранения знаний человека о мире; в-третьих, во всякой научной области, подвергающейся математизации, человек имеет дело с «двуязычностью» — естественным языком и математическим (искусственным). И если математический язык удовлетворяет требованиям однозначности, точности и строгости, то язык естественный «реалистичен». Он вселяет в человека уверенность о том, что действительно постигается объективная реальность. В силу этого математик стремится синтезировать достоинства того и другого языка.
Начиная с Г.Галилея (1564—1642), провозгласившего, что грандиозная книга природы написана на математическом языке, а знание ее (природы) есть математические формулы, и до наших дней этот язык остается одним из важнейших средств построения естественных и технических наук. Математика выступает одним из эвристических источников представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории.